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1、第八章解析幾何高考大題規(guī)范解答系列(五)解析幾何(2018浙江高考)如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y24x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上例1考點(diǎn)一范圍問題【分析】設(shè)出A,B的坐標(biāo)及點(diǎn)P的坐標(biāo),利用PA,PB的中點(diǎn)在拋物線上建立方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)A,B,P的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,由此證明結(jié)論成立先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,求得|PM|,再表示出PAB的面積,最后結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上,并利用二次函數(shù)在給定區(qū)間的值域,求得三角形面積的取值范圍【評(píng)分細(xì)則】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)得1分利用PA,PB的中點(diǎn)在C上,建立二次方程得2分由韋達(dá)定理得y1y22y0得1分由y1y22
2、y0得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y0,又點(diǎn)P縱坐標(biāo)為y0,因此PM垂直于y軸,得1分結(jié)合韋達(dá)定理求|PM|,得2分求出|y1y2|,得2分正確寫出PAB的面積,得1分合理的轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求出PAB面積的范圍,得2分【名師點(diǎn)評(píng)】1核心素養(yǎng):本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查考生分析問題、解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力,考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算2解題技巧:在解析幾何中,求某個(gè)量(直線斜率,直線在x、y軸上的截距,弦長(zhǎng),三角形或四邊形面積等)的取值范圍或最值問題的關(guān)鍵是利用條件把所求量表示成關(guān)于某個(gè)變量(通常是直線斜率,動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等)的函數(shù),并求出這個(gè)變量的取值范圍(即函數(shù)的定義
3、域),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值3解決范圍問題的答題模板例2考點(diǎn)二定點(diǎn)、定值問題【名師點(diǎn)評(píng)】1核心素養(yǎng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理核心素養(yǎng)2解題技巧:(1)得分步驟:對(duì)于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟,有則給分,無則沒分,所以對(duì)于得分點(diǎn)步驟一定要寫全,如第(1)問中不寫a2b2c2就扣分(2)得分關(guān)鍵:對(duì)于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn),有則給分,無則沒分,所以在答題時(shí)一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn),即各得分點(diǎn)3解決定值(點(diǎn))問題的答題模板例3考點(diǎn)三最值問題【評(píng)分細(xì)則】列方程組求出a2與b2給2分寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程給1分根據(jù)題意恰當(dāng)設(shè)出直線方程
4、,給2分,不討論m0的情況,扣1分方程聯(lián)立消元,結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo),給2分證明OT平分線段PQ,給1分【名師點(diǎn)評(píng)】1核心素養(yǎng):本題主要考查橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí),是一道綜合能力較強(qiáng)的題,意在考查考生的分析問題、解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力2解題技巧:(1)注意通性通法的應(yīng)用在解題過程中,注意答題要求,嚴(yán)格按照題目及相關(guān)知識(shí)的要求答題,不僅注意解決問題的巧解,更要注意此類問題的通性通法如在解決本例(2)時(shí),注意本題的實(shí)質(zhì)是直線與圓錐曲線的相交問題,因此設(shè)出直線方程,然后聯(lián)立橢圓方程構(gòu)造方程組,利用根與系數(shù)關(guān)系求出y1y2,y1y2的值即為通法(2)關(guān)鍵步驟要全面閱卷時(shí),
5、主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn),有關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)則得分,沒有要相應(yīng)扣分,所以解題時(shí)要寫全關(guān)鍵步驟,踩點(diǎn)得分,對(duì)于純計(jì)算過程等非得分點(diǎn)的步驟可簡(jiǎn)寫或不寫,如本例(2)中,消元化簡(jiǎn)時(shí),可直接寫出結(jié)果,利用弦長(zhǎng)公式求|PQ|時(shí),也可省略計(jì)算過程3最值問題(1)常見解法有兩種:幾何法與代數(shù)法若題目中的條件或結(jié)論能明顯體現(xiàn)某種幾何特征及意義,或反映出了某種圓錐曲線的定義,則直接利用圖形的性質(zhì)或圓錐曲線的定義來求解,這就是幾何法代數(shù)法解最值問題的答題模板(2)易錯(cuò)點(diǎn)利用基本不等式求最值問題要指出能取到最值,或求出取到最值的條件;利用函數(shù)觀點(diǎn)解決最值問題時(shí),要注意自變量的取值范圍變式訓(xùn)練3(2021廣東梅州質(zhì)檢)
6、已知直線l:xy10與焦點(diǎn)為F的拋物線C:y22px(p0)相切(1)求拋物線C的方程;(2)過點(diǎn)F的直線m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),求A,B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值例4考點(diǎn)四存在性問題(2)設(shè)c1,過定點(diǎn)(0,c)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),在y軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得y軸始終平分MQN?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由【分析】(1)直接計(jì)算兩距離的比值即可;(2)假設(shè)符合條件的點(diǎn)Q(0,t)存在,根據(jù)條件求解t即可,有解則存在,無解則不存在寫出根與系數(shù)的關(guān)系得1分寫出kQMkQN0得1分求出t得2分得出正確結(jié)論得1分【名師點(diǎn)評(píng)】1核心素養(yǎng):本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理探究的核心素養(yǎng)2解題技巧存在性問題的求解方法(1)解決存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化一般步驟:假設(shè)滿足
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