結(jié)構(gòu)非線性問題

1、O結(jié)構(gòu)非線性問題結(jié)構(gòu)非線性問題可分為兩大類，第一類為材料非線性問題，第二類為幾何非 線性問題。少數(shù)特殊結(jié)構(gòu)甚至考慮材料和幾何雙重非線性。除了結(jié)構(gòu)存在明顯的 非線性特征，需要研究非線性分析方法外，在工程精度范圍內(nèi)，許多問題可以用 線性分析方法來解決。1.1.材料非線性與極限荷載在單純的材料非線性問題中，假定結(jié)構(gòu)位移微小，位移與應(yīng)變的幾何關(guān)系（幾 何方程）是線性的，而應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系是非線性的。這時(shí)表征材料特性的彈性模 量E和泊松比U不再是常數(shù)，而是應(yīng)力。和應(yīng)變的函數(shù)。在有限元分析中， 表現(xiàn)在原彈性矩陣D式應(yīng)變的函數(shù)，也是位移的函數(shù)。當(dāng)確定位移模式后，導(dǎo) 出的單元?jiǎng)偠染仃噆就是結(jié)點(diǎn)位移列陣0 的函數(shù)

2、。材料非線性問題有非線性彈性問題和非線性彈塑性問題之分。后者是材料超 過屈服極限后呈現(xiàn)出的非線性，常見于各種結(jié)構(gòu)的彈塑性分析。在簡(jiǎn)單加載過程 中的非線性階段兩者并無本質(zhì)區(qū)別，但卸載過程，前者是可逆過程，即卸載后結(jié) 構(gòu)會(huì)恢復(fù)到加載前的位置；后者是不可逆的，將出現(xiàn)殘余變形。除了加載之外， 其它因素如蠕變、溫變、裂紋擴(kuò)展時(shí)也存在材料非線性問題。大多數(shù)工程材料（如鋼材、鋼筋混凝土）的結(jié)構(gòu)隨著荷載的增加，將進(jìn)入彈 塑性狀態(tài)。這時(shí)雖然部分已進(jìn)入塑性狀態(tài)，但尚有相當(dāng)大的部分材料仍處于彈性 范圍，因而結(jié)構(gòu)仍可繼續(xù)承載，直至塑性部分進(jìn)一步擴(kuò)展而發(fā)生崩潰。工程設(shè)計(jì) 中，允許材料進(jìn)入塑性的結(jié)構(gòu)分析稱為材料非線性分析

3、，分析基于：理想彈塑性、 比例加載和平截面等基本假定。結(jié)構(gòu)最終破壞時(shí)，與極限彎矩對(duì)應(yīng)的極限承載能 力稱為極限荷載。極限狀態(tài)設(shè)計(jì)所關(guān)心的不是荷載作用下結(jié)構(gòu)彈塑性的演變歷 程，而是結(jié)構(gòu)出現(xiàn)塑性變形直到崩潰時(shí)所能承受的最大荷載，然后考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)有 足夠的安全儲(chǔ)備，以此作為設(shè)計(jì)依據(jù)。承受著極限彎矩，只能沿彎矩方向轉(zhuǎn)動(dòng)的單向鉸稱塑性鉸。當(dāng)彎矩減小、材 料恢復(fù)彈性時(shí)，塑性鉸即消失。結(jié)構(gòu)出現(xiàn)塑性鉸而喪失承載能力所成的幾何可變 或瞬變的體系稱破壞機(jī)構(gòu)。結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時(shí)應(yīng)同時(shí)滿足的條件是:機(jī)構(gòu)條件、 屈服條件和平衡條件。比例加載時(shí)判定極限荷載的定理有:極小定理（上限定理）； 極大定理（下限定理）和惟一性定理（單

4、值定理）。超靜定結(jié)構(gòu)極限荷載計(jì)算特點(diǎn)：只考慮最后的破壞機(jī)構(gòu)只考慮靜力平衡條件 不受溫度變化，支座移動(dòng)等因素的影響 忽略剪力對(duì)承載力的影響不能使用疊加原理。計(jì)算極限荷載的方法：（1）窮舉法；（2）試算法（示例）參考文獻(xiàn) 1王煥定，章梓茂，景瑞.結(jié)構(gòu)力學(xué).高等教育出版社，20002趙振銘，陳寶春.桿系與箱型梁橋結(jié)構(gòu)分析及程序設(shè)計(jì).華南理工大學(xué)出版社，19972. 2.幾何非線性與大位移小應(yīng)變結(jié)構(gòu)分析中的幾何非線性問題，常見于結(jié)構(gòu)大撓度（大位移）問題。自1910 年，Von Karman發(fā)表了平板大撓度非線性方程以后，殼體大撓度非線性問題獲 得較大進(jìn)展，在這方面，錢學(xué)森、錢偉長(zhǎng)都有突出貢獻(xiàn)。由于結(jié)構(gòu)

5、變形大，影響 荷載的作用方向，平衡方程必須建立在變形后的幾何位置上。對(duì)于柔性結(jié)構(gòu)，變 形后的應(yīng)變?nèi)詫傩?yīng)變，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系還是線性的。大變形與小變形是相 對(duì)的量級(jí)概念，例如在橫展10km的地層上，局部隆起10m,在地質(zhì)圖上仍是小 變形。但是對(duì)于厚度為0.1mm的話筒薄膜，如中心撓度也為0.1mm，則可稱為 大撓度，此時(shí)非線性效應(yīng)增長(zhǎng)，若不考慮大撓度的幾何條件，算出的形變與應(yīng)力 的誤差可能超出真實(shí)的合理范圍。在大變形問題中，轉(zhuǎn)動(dòng)有時(shí)比形變占有更重要 的地位。在結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析中，有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理 論，分支點(diǎn)失穩(wěn)后的大變形形態(tài)是非線性的，據(jù)此得以解釋壓潰現(xiàn)象；但計(jì)算分

6、 支點(diǎn)的臨界荷載時(shí)，可以略去高階微量簡(jiǎn)化為線性問題，最終歸結(jié)為廣義特征問 題，得出正確結(jié)果。極值點(diǎn)失穩(wěn)用非線性大撓度理論考慮有限變形對(duì)平衡的影響， 其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好；此外，線性理論計(jì)算結(jié)果Pcr比非線性理論計(jì)算 結(jié)果大，因而偏于不安全。（示例）參考文獻(xiàn) 陳至達(dá).桿、板、殼大變形理論.北京：科學(xué)出版社，19943. 3.非線性振動(dòng)簡(jiǎn)介從伽利略、牛頓的古典力學(xué)時(shí)代起就有人開始研究振動(dòng)理論，拉格朗日曾系 統(tǒng)地研究過微小振動(dòng)的理論。在振動(dòng)理論發(fā)展的過程中，起先局限于對(duì)線性振動(dòng) 系統(tǒng)的研究。由于線性微分方程的理論早已發(fā)展得比較完善，所以將振動(dòng)系統(tǒng)線 性化便于數(shù)學(xué)求解。更主要的是，線性振動(dòng)理論能

7、解決許多工程問題，并給出滿 意的結(jié)果。但無根據(jù)地拋棄非線性項(xiàng)的理論結(jié)果，不僅引起數(shù)量上的誤差，有時(shí) 還導(dǎo)致根本性質(zhì)上的錯(cuò)誤。一些表面上看起來極不相同的現(xiàn)象（如化學(xué)反應(yīng)，橋梁風(fēng)振，火箭發(fā)射，電 磁振動(dòng)，氣象變化等等）都可以通過振動(dòng)方程統(tǒng)一到振動(dòng)理論中來。若阻尼力或 彈性力或兩者都是非線性函數(shù)fSx）和f2（x），而f為周期干擾力或非線性干 擾力，則振動(dòng)方程成為非線性微分方程mx + f （X） + f （x） = f （t）此時(shí)系統(tǒng)稱為非線性振動(dòng)系統(tǒng)。2非線性振動(dòng)系統(tǒng)由如下幾個(gè)主要特點(diǎn)：（1）疊加原理不再適用。如作用在非線 性系統(tǒng)上有可以展成富里埃級(jí)數(shù)的周期干擾力，其強(qiáng)迫振動(dòng)的解不等于每個(gè)諧波

8、單獨(dú)作用時(shí)解的疊加。（2）在非線性系統(tǒng)中，對(duì)應(yīng)于平衡狀態(tài)和周期振動(dòng)的定常 解一般有數(shù)個(gè)，必須研究解的穩(wěn)定性才能決定實(shí)際解。（3）在有阻尼的線性系統(tǒng) 中，自由振動(dòng)總被衰減掉，只有在干擾力作用下，才有定常周期解；然而非線性 的自激振動(dòng)系統(tǒng)，在有阻尼無而干擾力情況下，也有定常的周期振動(dòng)。（4）非線 性系統(tǒng)在單頻干擾力作用下，其定常強(qiáng)迫振動(dòng)的解，除了有和干擾力同頻成分外， 還有倍頻成分存在。（5）在非線性振動(dòng)中，固有頻率與振幅有關(guān)；振動(dòng)三要素（振 幅、頻率、相位）與初始條件有關(guān)。（6）非理想系統(tǒng)、自同步系統(tǒng)等不能線性化。對(duì)工程技術(shù)中出現(xiàn)的非線性振動(dòng)問題的研究，一般從兩方面進(jìn)行。一方面是 實(shí)驗(yàn)研究，根據(jù)原理相似條件建立模型，研究各種參數(shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響以及解 的穩(wěn)定條件，需要時(shí)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究。另一方面是理論研究，從本世紀(jì)二十年 代起理論獲得迅速發(fā)展，由于沒有通用的解析方法，目前僅有極少數(shù)非線性振動(dòng) 方程求得精確解。但已研究出不少有效的近似方法，如定性方法相平面法； 定量方法有數(shù)值法（迭代法、有限元法、配置法）和解析法（攝動(dòng)法、漸近法）簡(jiǎn)化實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)，合理選取力學(xué)模型是十分重要的。一般