2022年《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)doc

1、正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A 版必修第一章1.1.1 的內(nèi)容 ,是使同學(xué)在已有學(xué)問的基礎(chǔ)上, 通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的爭(zhēng)論, 發(fā)覺并把握三角形中的邊與角之間的數(shù)量關(guān)系； 通過創(chuàng)設(shè)問題情形, 從而引導(dǎo)同學(xué)產(chǎn)生探究愿望,激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)的愛好, 并指出解決問題的關(guān)鍵在于爭(zhēng)論三角形中的邊、角關(guān)系； 在教學(xué)過程中,要引導(dǎo)同學(xué)自主探究三角形的邊角關(guān)系,先由特別情形發(fā)覺結(jié)論, 再對(duì)一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明 ,并引導(dǎo)同學(xué)分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問 題：（1）已知兩角和一邊,解三角形；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形；二、學(xué)情分析 本節(jié)授課對(duì)象是高一同學(xué), 是在同學(xué)學(xué)習(xí)

2、了必修基本初等函數(shù)和三角恒 等變換的基礎(chǔ)上, 由實(shí)際問題動(dòng)身探究爭(zhēng)論三角形邊角關(guān)系,得出正弦定理； 高 一同學(xué)對(duì)生產(chǎn)生活問題比較感愛好,由實(shí)際問題動(dòng)身可以激起同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好,使同學(xué)產(chǎn)生探究爭(zhēng)論的愿望；,制定如下教學(xué)目標(biāo) 依據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析,立足同學(xué)的認(rèn)知水平 和重、難點(diǎn)；三、教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)問與技能： 通過創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺正弦定理,并推證正弦定 理；會(huì)初步運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定懂得斜三角形的兩類問題；2.過程與方法： 引導(dǎo)同學(xué)從已有的學(xué)問動(dòng)身,共同探究在任意三角形中,邊與其對(duì)角正弦的比值之間的關(guān)系,培育同學(xué)通過觀看, 猜想,由特別到一般歸納得出結(jié)論的才能和化未知為已知

3、的解決問題的才能；3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 面對(duì)全體同學(xué),制造公平的教學(xué)氛圍,通過同學(xué)之間、師生之間的溝通、合作和評(píng)判,調(diào)動(dòng)同學(xué)的主動(dòng)性和積極性,給同學(xué)勝利的 體驗(yàn),激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)的愛好；四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：正弦定理的探究和證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)：正弦定理的證明；明白已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),解的情形不唯獨(dú)；五、學(xué)法與教法學(xué)法 ：引導(dǎo)同學(xué)第一從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：aAbBcC,sinsinsin接著就一般斜三角形進(jìn)行探究, 發(fā)覺也有這一關(guān)系； 分別利用傳統(tǒng)證法和向量證 法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo), 讓同學(xué)發(fā)覺向量學(xué)問的簡(jiǎn)捷, 新奇,培育同學(xué)“ 會(huì)觀看” 、“ 會(huì)類比” 、“ 會(huì)分

4、析” 、“ 會(huì)論證” 的才能；教法： 運(yùn)用“ 發(fā)覺問題自主探究嘗試指導(dǎo)合作溝通” 的教學(xué)模式（1）新課引入提出問題, 激發(fā)同學(xué)的求知欲；（2）把握正弦定理的推導(dǎo)證明分類爭(zhēng)論,數(shù)形結(jié)合, 動(dòng)腦摸索 ,由特別到一般,組織同學(xué)自主探究,獲得正弦定理及證明過程；（3）例題處理始終從問題動(dòng)身,層層設(shè)疑, 讓他們?cè)谔骄恐械靡鈱W(xué)問；（4）鞏固練習(xí)深化對(duì)正弦定理的懂得；六、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)問題情境：如圖,設(shè)A、B 兩點(diǎn)在河的兩岸,要測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離；測(cè)量者在 A 的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn) C,測(cè)出兩點(diǎn)間 A、C 的距離 55m ,ACB=600,BAC=450求 A、B 兩點(diǎn)間的距離；B A C 引導(dǎo)同學(xué)

5、理清題意,爭(zhēng)論設(shè)計(jì)方案,并畫出圖形,探究解決問題的方法啟示同學(xué)發(fā)覺問題實(shí)質(zhì)是：已知ABC 中A、C 和 AC 長度,求 AB 距離.即：已知三角形中兩角及其夾邊,求其它邊新知探究1.提出問題：我們知道,在任意三角形中有大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系我們是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系的精確量化的表示呢？2.解決問題：回憶直角三角形中的邊角關(guān)系：A 依據(jù)正弦函數(shù)的定義有：sinAa,sinBb,sinC=1 ；b c B ccC a 經(jīng)過同學(xué)摸索、溝通、爭(zhēng)論得出：aAbBcC,sinsinsin問題 1：這個(gè)結(jié)論在任意三角形中仍成立嗎？（引導(dǎo)同學(xué)第一分為兩種情形, 銳角三角形和鈍角三角形, 然后依據(jù)化

6、未知為已知的思路,構(gòu)造直角三角形完成證明；）當(dāng) ABC 是銳角三角形時(shí),設(shè)邊 AB 上的高是 CD,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,有 CD a sin B , CD b sin A ；C 由此,得 a bsin A sin B ,b a 同理可得 sin cC sin bB,A D B 故有 sin aA sin bB sin cC . 從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立 . 當(dāng) ABC 是鈍角三角形時(shí), 過點(diǎn) C 作 AB 邊上的高, 交 AB 的延長線于點(diǎn)D,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,有 CD a sin CBD a sin ABC,CD b sin A；C a b由此,得sin A sin ABC,

7、b a 同理可得sin cC sin bABC A B D 故有sin aA sin bABC sin cC . 由可知,在a ABC 中, sinAbBcC成立 . sinsin從而得到 ： 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等,即abc正弦定理sinAsinBsinC . 這就是我們今日要爭(zhēng)論的摸索 ：你仍有其它方法證明正弦定理嗎？（由同學(xué)爭(zhēng)論、分析）證明一：（等積法）在任意斜 ABC 當(dāng)中SABC=1absinC1acsinB1bcsinAC2RCOaDB222兩邊同除以1abc即得：aA=bB=c2sinsinsin證明二：（外接圓法）如下列圖,asinAaDCDbsinAc

8、同理bB=2R ,cC2R sinsin證明三：（向量法）過 A 作單位向量 j 垂直于 AC由AC + CB = ABj得j . AC + CB = j . AB兩邊同乘以單位向量就 j . AC + j . CB = j . AB| j | AC |cos90 +| j | CB |cos90 C=| j | AB |cos90 A a ca sin C c sin A=sin A sin C同理,如過 C 作 j 垂直于 CB 得：c = bsin C sin Ba = b = c；sin A sin B sin C正弦定理 ：a = b = c =2R （R 是 ABC 外接圓的半徑）

9、sin A sin B sin C變形：a b c sin A :sin B :sin C ；接著給出解三角形的概念：一般地,把三角形的三個(gè)角 A、B、C 和它們的對(duì)邊 a、b、c 叫做三角形的元素,已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形問題 2：你能否從方程的角度分析一下,元素？解三角形需要已知三角形中的幾個(gè)問題 3：我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？（1）已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊,求其他兩邊和另一角；（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角,運(yùn)算另一邊的對(duì)角,進(jìn)而運(yùn)算出其他的邊和角；3. 應(yīng)用定理：例 1. 應(yīng)用正弦定懂得決提出的求河岸兩側(cè)兩點(diǎn)間距離問題 . 題

10、目見創(chuàng)設(shè)問題情境 , 引導(dǎo)同學(xué)給出解決方法例 2.（1 ）在 ABC 中,b 3 , B 60 0, c ,1 求 a 和 A , C（2） 在 ABC 中,c 6 , A 45 0, a 2 , 求 b 和 B , C0b c c sin B 1 sin 60 1解：（1）, sin C,sin B sin C b 3 20b c , B 60 , C B , C 為銳角,0 0 2 2C 30 , B 90a b c 20 0 0 0（C 30 或 C 150,而 C B 210 180）0（2）a c, sin C c sin A 6 sin 45 3sin A sin C a 2 20

11、 0c sin A a c , C 60 或 1200當(dāng) C 60 0時(shí),B 75 0, b c sin B 6 sin 750 3 1,sin C sin 600當(dāng) C 120 0時(shí),B 15 0, b c sin B 6 sin 150 3 1sin C sin 60b3,1B750,C600或b3,1B150,C1200變式訓(xùn)練：依據(jù)已知條件 ,求解三角形七、課堂小結(jié)：（同學(xué)發(fā)言,相互補(bǔ)充,老師評(píng)判 .）1用三種方法證明白正弦定理：（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；（2）利用向量的數(shù)量積（3）外接圓法 2理論上正弦定理可解決兩類問題：（1）兩角和任意一邊,求其它兩邊和一角；（2）兩邊和

12、其中一邊對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而可求其它的邊和角八、布置作業(yè)：1.摸索：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角 從理論上說明 . 2.P10.習(xí)題 1.1.A 組：1,2. 九、教學(xué)反思：,解三角形時(shí) ,解的情形可能有幾種？試本設(shè)計(jì)通過解斜三角形的一個(gè)實(shí)際問題引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺三角形的邊角關(guān)系,將斜三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角關(guān)系導(dǎo)出正弦定理,思路自然,學(xué)生樂于接受； 通過引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺直角三角形中的正弦定理,進(jìn)而探究在任意三角形中是否仍成立？將同學(xué)帶入探究新知的氛圍,同學(xué)從已有的學(xué)問體會(huì)動(dòng)身, 探索得出新結(jié)論, 體驗(yàn)了勝利的樂趣, 對(duì)如何運(yùn)用定懂得決問題也是躍躍欲試,在 課堂小結(jié)教學(xué)中,給同學(xué)一個(gè)暢所欲言的機(jī)會(huì),相互評(píng)判,最終得到完善的答 案這樣做,可以錘煉同學(xué)的語言表達(dá)才能,