清華控制工程基礎課件-2

1、控制工程基礎 （第二章） 清華大學2022/8/7控制工程基礎第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型2.1 基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型2.2數(shù)學模型的線性化2.3拉氏變換及反變換2.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.5系統(tǒng)函數(shù)方塊圖及其簡化2.6系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式2.7受控機械對象數(shù)學模型2.8繪制實際機電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖2.9狀態(tài)空間方程2022/8/7控制工程基礎第二章 控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，并在此基礎上對控制系統(tǒng)進行分析、綜合，是機電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學表達式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學模型。 經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學模型

2、主要以傳遞函數(shù)為基礎。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎。2022/8/7控制工程基礎本章要熟悉下列內(nèi)容：1、建立基本環(huán)節(jié)（質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)和電路網(wǎng)絡）的數(shù)學模型及模型的線性化2、重要的分析工具：拉氏變換及反變換3、經(jīng)典控制理論的數(shù)學基礎：傳遞函數(shù)4、控制系統(tǒng)的圖形表示：方塊圖及信號流圖5、受控機械對象的數(shù)學模型6、繪制實際機電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖7、現(xiàn)代控制理論的數(shù)學基礎：狀態(tài)空間模型2022/8/7控制工程基礎2.1 基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型 數(shù)學模型是描述物理系統(tǒng)的運動規(guī)律、特性和輸

3、入輸出關(guān)系的一個或一組方程式。 系統(tǒng)的數(shù)學模型可分為靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學模型。 靜態(tài)數(shù)學模型：反映系統(tǒng)處于平衡點（穩(wěn)態(tài)）時，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學模型。即只考慮同一時刻實際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學關(guān)系，不管各變量隨時間的演化，輸出信號與過去的工作狀態(tài)（歷史）無關(guān)。因此靜態(tài)模型都是代數(shù)式，數(shù)學表達式中不含有時間變量。 2022/8/7控制工程基礎 動態(tài)數(shù)學模型：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實際系統(tǒng)各物理量隨時間演化的數(shù)學表達式。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學模型。 對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學模型不

4、是唯一的。工程上常用的數(shù)學模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價的。針對具體問題，選擇不同的數(shù)學模型。 建立數(shù)學模型是控制系統(tǒng)分析與設計中最重要的工作！2022/8/7控制工程基礎2.1.1 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng) 機電控制系統(tǒng)的受控對象是機械系統(tǒng)。在機械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無質(zhì)量的彈簧。這樣受控對象的機械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎見光盤課件

5、（第二章第一節(jié)）2022/8/7控制工程基礎有源電路網(wǎng)絡2022/8/7控制工程基礎2.2 數(shù)學模型的線性化線性模型：滿足疊加性與齊次性，用來描述線性系統(tǒng)。 疊加性指當幾個激勵信號同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出響應等于每個激勵單獨作用所產(chǎn)生的響應之和。齊次性指當輸入信號乘以某常數(shù)時，響應也倍乘相同的常數(shù)。 即若 為線性系統(tǒng)，則 非線性模型：不滿足疊加性或齊次性，用非線性方程表示。 用來描述非線性系統(tǒng)。2022/8/7控制工程基礎 線性化方法：一般可在系統(tǒng)工作平衡點附近，對非線性方程采用臺勞級數(shù)展開進行線性化，略去高階項，保留一階項，就可得到近似的線性模型。 由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這

6、種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。2022/8/7控制工程基礎閥控液壓缸例2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎線性化方法：假設變量相對于某一工作狀態(tài)（平衡點）偏差很小。設系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系為簡寫為 。如果系統(tǒng)的工作平衡點為 ，則方程可以在 點附近臺勞展開 如果 很小，可以忽略其高階項，因此上述方程可寫成增量方程形式 其中， ， ，2022/8/7控制工程基礎2.3 拉氏變換及反變換Laplace（拉普拉斯）變換是描述、分析連續(xù)、線性、時不變系統(tǒng)的重要工具！2.3.1 拉氏變換定義 定義 拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時域和

7、頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時域和復頻域間的聯(lián)系。 見光盤課件（第一章第二節(jié)）2022/8/7控制工程基礎2.3.2簡單函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)sint1（t）和余弦函數(shù)cost1（t）的拉氏變換2022/8/7控制工程基礎 2022/8/7控制工程基礎 的拉氏變換 證： 2022/8/7控制工程基礎周期函數(shù)的象函數(shù) 設函數(shù)x(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即x(t+T)=x(t)，則證：2022/8/7控制工程基礎 令 則2022/8/7控制工程基礎 拉氏反變換公式為 簡寫為2022/8/7控制工程基礎在一般機電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式 其中，使分母為零的s值稱為極點，使分子為零

8、的s值稱為零點。則有其中，2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎式中， 是常值， 為極點處的留數(shù)，可由下式求得 將式（2.19）拉氏反變換，可利用拉氏變換表得2022/8/7控制工程基礎例 試求 的拉氏反變換。解：2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎含共軛復數(shù)極點情況2022/8/7控制工程基礎式中， 是常值，可由以下步驟求得將上式兩邊乘 , 兩邊同時令 （或同時令 ），得 （2.21）分別令式（2.21）兩邊實部、虛部對應相等，即可求得 。 可通過配方，化成正弦、余弦象函數(shù)的形式，然后求其反變換。2022/8/7控制工程基礎例 試求 的拉氏反變換。解：將

9、該式兩邊同乘 ，并令 ，2022/8/7控制工程基礎即 解 得 又2022/8/7控制工程基礎故 則2022/8/7控制工程基礎含共軛復根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時共軛復根相應兩個分式的分子 和 是共軛復數(shù)，只要求出其中一個值，另一個即可得到。例 求 的拉氏反變換。解：2022/8/7控制工程基礎則則2022/8/7控制工程基礎含多重極點的情況 2022/8/7控制工程基礎式中，可由下式求得 2022/8/7控制工程基礎 利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程 例 解方程 ，其中， 解： 將方程兩邊取拉氏變換，得 將 代入，并整理，得 所以 2022/8/7控制工程基礎2.4

10、 傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，而與輸入量或驅(qū)動函數(shù)無關(guān)。它可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所需要的量綱。它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)，許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。 見光盤課件（第二章第三節(jié)）2022/8/7控制工程基礎表2-2 等效彈性剛度說明2022/8/7控制工程基礎表2-2 復阻抗說明2022/8/7控制工程基礎 比例環(huán)節(jié) （其中k為常數(shù)）20

11、22/8/7控制工程基礎 比例環(huán)節(jié) （其中k為常數(shù)）2022/8/7控制工程基礎一階慣性環(huán)節(jié) （其中T為時間常數(shù)）2022/8/7控制工程基礎一階慣性環(huán)節(jié) （其中T為時間常數(shù)）2022/8/7控制工程基礎積分環(huán)節(jié) (其中k為常數(shù)）2022/8/7控制工程基礎二階振蕩環(huán)節(jié) （其中 01）2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎二階振蕩環(huán)節(jié) （其中 01）2022/8/7控制工程基礎2022/8/7控制工程基礎 見光盤課件（第二章第四、五節(jié)）2022/8/7控制工程基礎 2.6 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式信號流圖中的網(wǎng)絡是由一些定向線段將一些節(jié)點連接起來組成的。其中，節(jié)點用來表示變量或

12、信號，輸入節(jié)點也稱源點，輸出節(jié)點也稱阱點，混合節(jié)點是指既有輸入又有輸出的節(jié)點；定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標明了增益，即支路上的傳遞函數(shù)；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上通過任何節(jié)點不多于一次的通路稱為前向通路，起點與終點重合且與任何節(jié)點相交不多于一次的通路稱為回路。2022/8/7控制工程基礎從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由梅遜公式求得。梅遜公式可表示為 第k條前向通路的傳遞函數(shù)； 第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式,將與第k條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的即為 。2022/8/7控制工程基礎例：2022/8/7控制工程基礎 2.7 受

13、控機械對象數(shù)學模型 一般整個機械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。其中每部分的動力學特性可表示為如下傳遞函數(shù) 2022/8/7控制工程基礎 為了得到良好的閉環(huán)機電系統(tǒng)性能，對于受控機械對象，應注意以下方面: （1）高諧振頻率 一般整個機械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。 為了滿足機電系統(tǒng)的高動態(tài)特性，機械傳動的各個分系統(tǒng)的諧振頻率均應遠高于機電系統(tǒng)的設計截止頻率。各機械傳動分系統(tǒng)諧振頻率最好相互錯開。另外，對于可控硅驅(qū)動裝置，應注意機械傳動系統(tǒng)諧振頻率不能與控制裝置的脈沖頻率接近，否則將產(chǎn)生機械噪聲并加速機械部件的磨損。2022/8/7控制工程基礎

14、 （2）高剛度 在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性下降，與摩擦一起，造成反轉(zhuǎn)誤差，引起系統(tǒng)在被控位置附近振蕩。 在剛度的計算中，需要注意機械傳動部件的串并聯(lián)關(guān)系。對于串聯(lián)部件（例如在同一根軸上），總剛度k為 (2.36)式中， 各分部件剛度。2022/8/7控制工程基礎對于并聯(lián)部件（例如同一支承上有幾個軸承），總剛度k為 (2.37)式中， 各分部件剛度。 從低速軸上的剛度折算到高速軸上時，等效的剛度k為 (2.38)式中，i 升速比。2022/8/7控制工程基礎 （3）適當阻尼 機械傳動分系統(tǒng)的阻尼比為 (2.39) 一般電機驅(qū)動裝置從驅(qū)動電壓到輸出轉(zhuǎn)速的數(shù)學模型是二階振蕩環(huán)節(jié),存在所需要的

15、機械傳動環(huán)節(jié)較合適的阻尼比。增加機械傳動阻尼比往往引起摩擦力增加，進而產(chǎn)生摩擦反轉(zhuǎn)誤差的不利影響。另一方面，為了衰減機械振動和顫振現(xiàn)象，又需要增加機械傳動阻尼比。針對以上矛盾的要求，根據(jù)經(jīng)驗，適當?shù)臋C械傳動阻尼比可選為0.10.2。2022/8/7控制工程基礎 （4）低轉(zhuǎn)動慣量 快速性是現(xiàn)代機電一體化系統(tǒng)的顯著特點。在驅(qū)動力矩一定的前提下，轉(zhuǎn)動慣量越小，加速性能越好。 機械傳動部件對于電動機等驅(qū)動裝置是負載，通常將其折算成電動機轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動慣量來評價它對快速性的影響。2022/8/7控制工程基礎如圖齒輪傳動機構(gòu)，主動輪由電動機驅(qū)動，從動輪通過軸帶動負載轉(zhuǎn)動。假設電動機軸上的轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，

16、轉(zhuǎn)動慣量為 ；從動軸上的負載轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，轉(zhuǎn)動慣量為 ，阻尼系數(shù)為 ；主動輪和從動輪的齒數(shù)分別為 和 ，速比 。 , 2022/8/7控制工程基礎依題意，有2022/8/7控制工程基礎消去中間變量，可得 (2.45) （2.46）其中，方程（2.45）是折合到主動軸的關(guān)系式，方程（2.46）是折合到從動軸的關(guān)系式。2022/8/7控制工程基礎當折合到主動軸上時，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)都要除以傳動比的平方，負載轉(zhuǎn)矩除以傳動比。因此，減速傳動時，相當于電動機帶的負載變小了，也可以說電動機帶負載的力矩增大了。反之，當折合到從動軸上時，主動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)都要乘以傳動比的平方，輸入

17、轉(zhuǎn)矩乘以傳動比。2022/8/7控制工程基礎將方程（2.45）和（2.46）進行拉氏變換后，可得2022/8/7控制工程基礎當從動軸彈性剛度為時，可列寫主動軸和從動軸的動力學方程為2022/8/7控制工程基礎可見，當折合到主動軸上時，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要除以傳動比的平方，負載轉(zhuǎn)矩除以傳動比，從動軸的轉(zhuǎn)角則乘以傳動比。反之，當折合到從動軸上時，主動軸上的轉(zhuǎn)動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要乘以傳動比的平方，輸入轉(zhuǎn)矩乘以傳動比，主動軸的轉(zhuǎn)角則除以傳動比。2022/8/7控制工程基礎聯(lián)立求解代數(shù)方程組（2-51）和（2-52），可得 若 ，變?yōu)閯傂詡鲃?，前面推導的完全剛性情況。2022

18、/8/7控制工程基礎絲杠螺母副傳動有類似的結(jié)果。如下圖，設電動機驅(qū)動轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，電動機轉(zhuǎn)子與絲杠一起的轉(zhuǎn)動慣量為 ；設工作臺連同工件一起的質(zhì)量為m，位移為x，負載阻力為f，工作臺與導軌之間的粘性阻尼系數(shù)為D，基本導程為 。 mx D f m2022/8/7控制工程基礎根據(jù)上圖，可得 （2.55） （2.56）式中，絲杠螺母副傳動比定義為2022/8/7控制工程基礎若絲杠彈性剛度為，則有2022/8/7控制工程基礎上述結(jié)果可以推廣到更加復雜的機械傳動系統(tǒng)。任何機械傳動系統(tǒng)，經(jīng)過簡化，都可以得到類似上述方程所描寫的動態(tài)數(shù)學模型。由這些方程可以看出，若阻尼系數(shù)D比較小，分母方括號中將有一對共

19、軛復根。不考慮負載力（或轉(zhuǎn)矩），由輸入轉(zhuǎn)矩到主動軸轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù)，由于分子和分母多項式都有一對數(shù)值相近的共軛復根，可以作為一對偶極子相消，因而，可以近似為二階系統(tǒng)；而由輸入轉(zhuǎn)矩到工作臺位移的傳遞函數(shù)，由于分子為常數(shù)項，因而是一個四階系統(tǒng)，且有一對共軛復根。2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎進給傳動鏈例2022/8/7控制工程基礎 狀態(tài)空間方程 伴隨計算機的發(fā)展，以狀態(tài)空間理論為基礎的現(xiàn)代控制理論的數(shù)學模型采