2022年《正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式》教案

1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式教案河南省南陽(yáng)市一中 賈海山一、 教學(xué)目標(biāo)：1、 懂得利用單位圓定義的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念 2、 會(huì)利用單位圓爭(zhēng)論正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性及誘導(dǎo)公式3、 通過(guò)借助單位圓爭(zhēng)論正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的過(guò)程,感悟數(shù)形結(jié)合思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一 二、 教學(xué)重、難點(diǎn) 1、 正、余弦函數(shù)的定義及正、余函數(shù)值的符號(hào)；會(huì)利用單位圓求三角函數(shù)值；2、 明白周期性及一般函數(shù)周期性的定義,會(huì)求簡(jiǎn)潔函數(shù)的周期性；3、 把握誘導(dǎo)公式,包括推導(dǎo)、記憶、應(yīng)用（求值、化簡(jiǎn)等）；4、 利用單位圓的特殊性,是高中數(shù)學(xué)中的一種重要方法 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1、由銳角的正、余弦函數(shù)

2、推廣到任意角的正、余弦函數(shù)的過(guò)程中,體會(huì)特殊與一般的關(guān) 系,形成一種辯證統(tǒng)一的思想；2、通過(guò)單位圓的學(xué)習(xí),建立數(shù)形結(jié)合的思想,激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培育同學(xué)分析問(wèn) 題、解決問(wèn)題的才能；四、教學(xué)過(guò)程 4.1 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 4.2 單位圓與周期性（1 課時(shí)）嘗試回憶1、1 弧度的角； 2、角度制與弧度制的互化；3、弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式；4、用弧度制表示第一象限內(nèi)的角的集合和x 軸上的角的集合；0 90 ,kZ ,應(yīng)寫成k18000 90 ,kZ 或2、特殊留意：角度與弧度不要混用；如kk2,kZ3、中學(xué)所學(xué)的銳角的正、余弦函數(shù)是如何定義的？由銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)

3、,由直角中的邊之比定義,推廣到直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)定義；探究新知 1、單位圓 在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)為半徑的圓,稱為單位圓；單位長(zhǎng)：可以是 1cm、1m、 1km、1 光年等；單位圓可依據(jù)需要移到其它地方；2、任意角的正、余弦函數(shù)定義 在直角坐標(biāo)系中,給定單位圓,對(duì)于任意角 ,使角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與 x 軸 v 叫作角 的正弦函數(shù),記作 正半軸重合,終邊與單位圓交于點(diǎn) Pu,v ,就交點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) v=sin ; 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) u 叫作角 的余弦函數(shù) , 記作 u=cos . 通常,用 x 表示自變量,用x 表示角的大小,用y 表示函數(shù)值,因此2y O 定義任意

4、角的三角函數(shù)y=sinx 和 y=cosx, 定義域?yàn)?R,值域?yàn)?-1 , 1 ；Pa,b 補(bǔ)充：人教版定義（P16 練習(xí) 2 就類似人教版定義）x 設(shè)點(diǎn) P（a,b ）是角 終邊上除原點(diǎn)之外的任意一點(diǎn),記ra2b就定義 sinb,cosa.更具有一般性；rr3、三角函數(shù)值的符號(hào)依據(jù)定義,三角函數(shù)值的符號(hào)僅與點(diǎn) P 的縱、橫坐標(biāo)的符號(hào)有關(guān)；sin 在一、二象限為正,三、四象限為負(fù)；cos 在一、四象限為正,二、三象限為負(fù) . 軸線角的正余弦函數(shù)值也有符號(hào)；程例 1 功能：會(huì)求任意角的三角函數(shù)值；其步驟（1）畫角；（ 2）求交點(diǎn)坐標(biāo)；可聯(lián)立方x2y21,解得；（ 3）求值；yx .動(dòng)手實(shí)踐給我

5、們另一種方法：利用對(duì)稱性可求交點(diǎn)坐標(biāo),從而解其它超過(guò)銳角的特殊角的三角函數(shù)值；表 1-5 中的數(shù)據(jù)變化特點(diǎn)：說(shuō)對(duì)稱性可以,說(shuō)周期性可以,說(shuō)正余弦函數(shù)圖像關(guān)系可以；4、單位圓與周期性在單位圓中找到角6,26,46等與單位圓的交點(diǎn),說(shuō)明：（1）終邊沒(méi)變；（2）交點(diǎn)沒(méi)變；（ 3）交點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)沒(méi)變；從而說(shuō)明正弦函數(shù)值沒(méi)變,余弦函數(shù)值沒(méi)變；即sin46sin26sin6,cos46cos26cos6.從而說(shuō)明終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等,終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等；即sin2kxsin , x kZ.cos2kxcos , x kZ.說(shuō)明：對(duì)于任意一個(gè)角x,每增加 2的整數(shù)倍,其正弦函數(shù)值、余弦函

6、數(shù)值均不變；所以,正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的；這種隨自變量的變化函數(shù)值呈周期性變化的函數(shù)叫做周期函數(shù)；特殊指出,周期性不是三角函數(shù)特有的,一般函數(shù)也有周期性；周期函數(shù)的自變量不肯定是角；2 是 y sin x x R 的周期,就 2 k , k Z k 0都是它的周期,并且它的全部周期中有一個(gè)最小的正數(shù) 2,稱 2 為它的最小正周期；同理2 也是 y cos , x x R 的最小正周期； 有的周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期,如 f x 2, x R 任意一個(gè)正數(shù)都是它的周期,但沒(méi)有一個(gè)最小的正數(shù)；周期函數(shù)的嚴(yán)格定義：一般地, 對(duì)于函數(shù)f x ,假如存在非零常數(shù)T ,對(duì)定義域內(nèi)

7、的任意y一個(gè) x 值,都有f xTf x ,就稱f x 為周期函數(shù), T 為它的一個(gè)周期；周期函數(shù)的常見變化求法有2 種：（ 1）f x2f x ,看似不周期函數(shù),但變形后是！fx22f x2f x f x 即f x4f x .（2）f x2f x2 變形為f x2f x2 找f x ！f x f x2 2f x4f x4f x f x8f x ；作業(yè) P20 習(xí)題 1.4 1、2、3、 4、5 4.3 單位圓與誘導(dǎo)公式（1 課時(shí)）利用單位圓的對(duì)稱性：通過(guò)觀看角的終邊的對(duì)稱性以及角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)稱Px,y Px,-yM o x性,探尋角與,2等正、余弦函數(shù)關(guān)系,得到誘導(dǎo)公式；便于推

8、導(dǎo),也便利記憶；把用對(duì)稱找點(diǎn)的坐標(biāo)作為重點(diǎn)；1、角與的正、余弦函數(shù)關(guān)系Z,yyxsinsin,coscos.2、角與的正、余弦函數(shù)關(guān)系P x,ysinsin,coscos .o sinsin,coscos .3、角與的正、余弦函數(shù)關(guān)系yP1 -x,-ysinsin,coscos .P x,yP2 -x,y也可以由 1、2 兩組公式推出sinsinsinsino xcoscoscos.P1 x,-yP x,y4、角與2的正、余弦函數(shù)關(guān)系P1 -y, xsin2cos ,cos2sin.5、角與2的正、余弦函數(shù)關(guān)系M 1 o Mxsin2cos ,cos2sin.yP1 y, x6、任意角的正、余

9、弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式（1） 2kM 1 sin2 ksin ,cos2 kcos .k（2）o P x,yMxsinsin,coscos.y=x（3） 2sin2sin,cos2cos（4）sinsin,coscos . sin2sin,cos2cos.（5）2cos ,cos2sin.sincos ,cossinsin2補(bǔ)：3 2sin 3 cos ,cos 3 sin . sin 3 cos ,cos 3 sin .2 2 2 22k、 2、記憶規(guī)律： “ 函數(shù)名不變,符號(hào)看象限” ；即它們的正、余弦函數(shù)值等于 的同名三角函數(shù)值,加上把 看成為銳角時(shí),對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)；如把 看 成 銳

10、角 時(shí) , 2 終 邊 在 第 四 象 限 , 其 余 弦 值 為 正 , 函 數(shù) 名 稱 不 變 , 所 以cos2 cos,3 記憶規(guī)律：“ 函數(shù)名轉(zhuǎn)變,符號(hào)看象限” ；即它們的正、余弦函數(shù)值等2 2于 的“ 余” 名三角函數(shù)值,加上把 看成為銳角時(shí),對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)；“ 余” 名：“ 正就余,余就正” ；如把 看成銳角時(shí),終邊在其次象限,其余弦值為負(fù),函數(shù)名稱2轉(zhuǎn)變,所以 cos sin；27、誘導(dǎo)公式的作用（1）可把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0 2的三角函數(shù)值求出； 一般地：負(fù)角化正角（）,再化成為 0 2（ 2k）,再化成為 0 2求出；其次象限用,第三象限用,第四象限用 2.（2）化簡(jiǎn)（3）求值例1 求以下函數(shù)值（1） sin7 4（2） sin431；（3）sin 1650 ；63.6解： 1 sin7 4 sin2 sin422cos31cos47 67cos6cos（ 2）cos31cos6662（ 3）sin 165