線性代數(shù)行列式完整課件

1、第1章 行列式 行列式是線性代數(shù)的一個重要組成部分.它是研究矩陣、線性方程組、特征多項式的重要工具.本章介紹了n階行列式的定義、性質(zhì)及計算方法，最后給出了它的一個簡單應(yīng)用克萊姆法則.第1章 行列式2n階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開克萊姆法則行列式的一個簡單應(yīng)用數(shù)學(xué)實驗第1.1節(jié) n階行列式的定義3 本節(jié)從二、三階行列式出發(fā)，給出n階行列式的概念.基本內(nèi)容：二階與三階行列式排列及其逆序數(shù)n階行列式定義轉(zhuǎn)置行列式返回4即 稱其為二階行列式 .記號：它表示數(shù)：左上角到右下角表示主對角線，例例設(shè)(1)當(dāng) 為何值時，(2)當(dāng) 為何值時解或右上角到左下角表示次對角線，例3 求二階行列式(2

2、)三階行列式7記號 即 稱為三階行列式. 它表示數(shù)8 可以用對角線法則來記憶如下.9主對角線法例4 計算三階行列式10解:由主對角線法，有例5例6滿足什么條件時有解由題可得，即使即時，給定的行列式為零例7的充分必要條件是什么？解或或練習(xí)：計算下列行列式解1.排列及其逆序數(shù)15(1)排列 由自然數(shù)1,2,n,組成的一個有序數(shù)組i1i2in稱為一個n級排列.如：由1,2,3可組成的三級排列有3！=6個：123 132 213 231 312 321（總數(shù)為 n!個）注意:上述排列中只有第一個為自然順序(小大),其他則或多或少地破壞了自然順序(元素大小與位置相反)構(gòu)成逆序.1.2 n階行列式(2)排

3、列的逆序數(shù)16定義： 在一個n 級排列i1i2in中，若某兩數(shù)的前 后位置與大小順序相反,即isit(ts),則稱這兩數(shù)構(gòu) 成一個逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N (i1i2in).=3 =2例1 N (2413) N(312)(2)排列的逆序數(shù)17定義： 在一個n 級排列i1i2in中，若某兩數(shù)的前 后位置與大小順序相反,即isit(ts),則稱這兩數(shù)構(gòu) 成一個逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N (i1i2in).奇偶排列: 若排列i1i2in的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)，稱它為奇（偶）排列.=3 =2例1 N (2413) N(312)逆序數(shù)的計算方法即例2 N(n(n-

4、1)321) N(135(2n-1)(2n)(2n-2) 42) =0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)證明：19對換： 對換在一個排列i1isit in中，若其中某兩數(shù)is和it互換位置, 其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1itis in,這種變換稱為一個對換, 記為( is it).例3定理1.1：任一排列經(jīng)過一個對換后奇偶性改變。20對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生，即設(shè)排列 jk (1) 經(jīng)j,k對換變成 kj (2) 此時，排列(1)、(2)中j,k與其他數(shù)是否構(gòu)成逆序的情形未發(fā)生變化；而j與k兩數(shù)構(gòu)成逆序的情形有變化： 若(1)中jk構(gòu)成逆序,則(2)中不

5、構(gòu)成逆序(逆序數(shù)減少1) 若(1)中jk不構(gòu)成逆序,則(2)中構(gòu)成逆序(逆序數(shù)增加1)一般情形設(shè)排列 ji1isk (3) 經(jīng)j,k對換變成 k i1is j (4) 易知，(4)可由(3)經(jīng)一系列相鄰對換得到： k經(jīng)s+1次相鄰對換成為 kj i1is j經(jīng)s次相鄰對換成為 ki1is j 即經(jīng)2s+1次相鄰對換后(3) 成為 (4). 相鄰對換改變排列的奇偶性，奇數(shù)次這樣的對換后排列的奇偶性改變. |定理1.222思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)詳解）方法1 在排列x1x2xn中，任取兩數(shù)xs和xt(st),則它們必在排列x1x2xn或xnxn-1x1中構(gòu)成逆序，且只能在其中的一個排列中構(gòu)成逆序.又

6、在排列x1x2xn中取兩數(shù)的方法共有 依題意，有故排列 x1x2xn 與 xnxn-1x1 中逆序之和為此即 方法223 n個數(shù)中比i大的數(shù)有n- i個(i=1,2,n),若在排列x1x2xn中對i構(gòu)成的逆序為li個,則在xnxn-1x1中對i構(gòu)成的逆序為(n- i)-li,于是兩排列中對i構(gòu)成的逆序之和為li+(n-i)-li= n-i (i=1,2,n)此即 （二）n階行列式定義24分析：(i)每一項均是由取自不同行、不同列的三個元素的乘積構(gòu)成，除符號外可寫為(ii)符號為“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列）(iii)項數(shù)為 3！=6推廣之

7、，有如下n 階行列式定義26定義： 是所有取自不同行、不同列n個元素的乘積并冠以符號 的項的和. (i) 是取自不同行、不同列的n個元素的乘積；(ii)行標(biāo)按自然順序排列，列標(biāo)排列的奇偶性 決定每一項的符號；(iii) 表示對所有的 構(gòu)成的n！個排列求和.例1 證明下三角行列式27證： 由定義和式中,只有當(dāng)所以下三角行列式的值等于其主對角線上各元素的乘積 .例2 計算29解由行列式定義,和式中僅當(dāng)注：例3用行列式的定義來計算行列式解設(shè)練習(xí)：例4應(yīng)為何值，符號是什么？此時該項的解此時或(1)若則取負(fù)號(2)若則取正號若是五階行列式的一項，則例5用行列式定義計算解： 由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行

8、列式各項中n 個元素的順序可以任意交換.一般，可以證明34定理1.3: n階行列式D=Det (aij) 的項可以寫為其中i1i2in和j1 j2 jn都是n級排列 .或另一定義形式另一定義形式推論:n階行列式D=Det (aij) 的值為4.轉(zhuǎn)置行列式35定義：如果將行列式D的行換為同序數(shù)的列，得到的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT.即若36 用定義計算思考練習(xí) （n階行列式定義）答案1.3 行列式的性質(zhì)37 對多“0”的或是階數(shù)較低(二、三階)的行列式利用定義計算較為容易, 但對一般的、高階的（n4）行列式而言,直接利用定義計算很困難或幾乎是不可能的 . 因而需要討論行列式的性質(zhì)，用以

9、簡化計算.返回性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）38證：事實上,若記 DT=Det(bij),則解例1 計算行列式性質(zhì)2 互換行列式的兩行(rirj)或列(cicj)，行列式的值變號 .39推論 若行列式D的兩行（列）完全相同,則D=0 .性質(zhì)3推論 (1) D中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符號的外面， (2) D的兩行(列)對應(yīng)元素成比例，則D=0.性質(zhì)4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是兩個數(shù)的和,則此行列式等于兩個行列式的和. 這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同 .即40證性質(zhì)5 行列式D的某

10、一行(列)的所有元素都乘以數(shù) k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上,行列式的值不變,即412022/8/7例2 計算行列式43解 解44解452022/8/72022/8/72022/8/7即2022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2022/8/72022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例6 計算n階行列式52解(2)解(3)解(1)解(1) 53注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回解(2)54注意到行列式各行元素之和等于有返回55解 (3)返回箭形行列式2022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2022/8/7阜陽

11、師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例9 證明61證 證62632.證明1.計算行列式思考練習(xí) （行列式的性質(zhì)）64思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案） 65=右邊思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案） 第1.3 節(jié) 行列式按行（列）展開661.行列式按一行（列）展開余子式與代數(shù)余子式在n階行列式 中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.返回返回例1 求出行列式67解2022/8/7引例：2022/

12、8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院定理1.4 行列式按一行（列）展開定理70n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即證71(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ; 72(ii)當(dāng)D的第i行只有元素aij0時，即 將D中第i行依次與前i-1行對調(diào),調(diào)換i-1次后位于第1行 D中第j列依次與前j-1列對調(diào),調(diào)換j-1次后位于第1列經(jīng)(i-1)+(j-1)= i+j-2次對調(diào)后, aij 位于第1行、第1列,即(iii) 一般地由 (i)73由(ii)定理1.5 n階行列式74的任意一

13、行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即證75考慮輔助行列式0= t列j列例2 計算行列式76解法1法2選取“0”多的行或列2022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2022/8/7注：例4 討論當(dāng) 為何值時，79解所以當(dāng)論 ， 例5 求證80證明：首先從第1行起，每行減去下一行，然后按第1列展開，之后又從第1行起每行減去下一行，化為下三角行列式即得結(jié)果，即8182例6 已知4階行列式83解法1法2利用行列式的按列展開定理，簡化計算.84例7 證明范得蒙行列式（Vandermonde)85證 用數(shù)學(xué)歸納法 假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮 n 階情形.8

14、687例8 計算行列式88解1計算時，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使用.89解2 利用范德蒙行列式的結(jié)論例9 計算n階行列式90解91解思考練習(xí) （按行展開定理）92計算行列式思考練習(xí)（按行展開定理詳解1）93思考練習(xí)（按行展開定理詳解2）942*.拉普拉斯（Laplace）定理95k階子式 在n階行列式中，任意選定k行、k列 （1kn）位于這些行列交叉處的k2個元素按原來順序構(gòu)成的一個k階行列式N，稱為行列式D的一個k階子式.k階子式N的余子式及代數(shù)余子式 在D中劃去k行、k列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個n-k階行列式M，稱為k階子式N的余子式;而 為其代數(shù)余子式.這里i1,i2,ik

15、, j1, j2, jk分別為 k階子式N的行標(biāo)和列標(biāo).96在n階行列式 拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1 kn),由這k行元素組成的k階子式N1, N2 ,V t 與它們的代數(shù)余子式 的乘積之和等于D，即97例7 計算行列式解98一般地2022/8/7第1.5節(jié) 克萊姆法則下面以行列式為工具,研究含有n個方程,n個未知量的n元線性方程組的問題.先以二元線性方程組為例2022/8/7當(dāng)系數(shù)行列式D0時，方程組有唯一解：二元線性方程組稱為方程組的系數(shù)行列式。101定理1.7（克萊姆法則） 如果n元線性方程組則方程組有唯一解的系數(shù)行列式返回返回102其中Dj(j=1,2,n)是把系數(shù)

16、行列式D中第j列的元素?fù)Q成方程組的常數(shù)項b1,b2,bn所構(gòu)成的n級行列式,即定理的結(jié)論有兩層含義：方程組（1）有解； 解惟一且可由式(2)給出.證 首先證明方程組(1)有解.事實上,將 103代入第i個方程的左端，再將Dj按第j列展開得 即式(2)給出的是方程組(1)的解. 104 下面證明解惟一.設(shè)xj=cj(j=1,2,n)為方程組 (1)的任意一個解，則以D的第j列元素的代數(shù)余子式 A1j, A2j , Anj依次乘以上式各等式，相加得從而 Dcj=Dj 由于D0,因此即方程組的解是惟一的.2022/8/7例解線性方程組=21000=1680所以方程組有唯一解.2022/8/7阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算