條件概率與事件的獨(dú)立性課件-2

1、第三章 條件概率與事件的獨(dú)立性 第一節(jié)條件概率1例：一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，求下列事件的概率。(1)事件A“至少有一個(gè)女孩”發(fā)生的概率。(2)在事件B“至少有一個(gè)男孩”發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。 2一、條件概率的概念含義: 在事件B發(fā)生的條件下,另一事件A發(fā)生的概率, 稱(chēng)為在事件B發(fā)生條件下事件A的條件概率，對(duì)于古典概型，如圖所示 ，有3即把B作為新的樣本空間.縮減樣本空間法條件概率的定義：對(duì)于古典概型，條件概率可以如下計(jì)算：4例2 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球 的概率; （2）求第二次取到紅球的概率；

2、（3）求兩次均取到紅球的概率。設(shè)A第一次取到紅球,B第二次取到紅球思考：任一次取到紅球的概率都相同嗎？5二、概率乘法公式注：（1）由條件概率定義直接可推出，（2）由（1）可推出。6例3 一批零件共有100個(gè),其中10個(gè)不合格品,從中一個(gè)一個(gè)取出,求第三次才取到不合格品的概率。解：記 Ai 表示“第 i 次取出的為不合格品”，則所求概率為7練一練全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 來(lái)自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語(yǔ)的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求 8練一練某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的

3、概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。解 設(shè)A表示“活到20歲”，B表示“活到25歲”則 所求概率為 9第二節(jié) 全概率公式例1設(shè)有兩個(gè)口袋，甲袋裝有2個(gè)白球、3個(gè)紅球；乙袋裝有4個(gè)白球、2個(gè)紅球?，F(xiàn)從甲袋任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖〕鲆磺?。求從乙袋取出白球的概率。分析：?duì)于較復(fù)雜事件概率的計(jì)算，首先要選擇適當(dāng)?shù)姆?hào)把已知、所求事件表示出來(lái)；再根據(jù)概率法則、性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。解：設(shè)A從甲袋取出白球；B從乙袋取出白球；所求問(wèn)題是什么？10P(B)的取值顯然與P(A)有關(guān)系，且P(A) =2/5.另外,在A發(fā)生與否的條件下,B發(fā)生的條件概率可求。利用乘法公式可以計(jì)算：即有例1設(shè)有兩個(gè)

4、口袋，甲袋裝有2個(gè)白球、3個(gè)紅球；乙袋裝有4個(gè)白球、2個(gè)紅球?，F(xiàn)從甲袋任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖〕鲆磺颉Ｇ髲囊掖〕霭浊虻母怕省?1 全概率公式 設(shè)B1 ,B2 ,Bn為樣本空間的一個(gè)分割(或稱(chēng)劃分、完備事件組),則對(duì)任一事件A,有： 注：全概率公式解決的問(wèn)題是，由A的條件概率求A的概率（部分 整體）。常用形式條件可減弱為12例2某工廠(chǎng)兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)相同型號(hào)的的產(chǎn)品,生產(chǎn)的產(chǎn)品混合放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里。第一車(chē)間產(chǎn)品的次品率為0.15；第二車(chē)間產(chǎn)品的次品率為0.12；且兩個(gè)車(chē)間產(chǎn)品的數(shù)量比是2：3。現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)里任取出一件產(chǎn)品，求它是次品的概率。解：記取出的一件是次品；13例3摸彩模型或抽簽問(wèn)題設(shè) n 張

5、彩票中有 k 張 中獎(jiǎng)券,求第二人(任一人)摸到中獎(jiǎng)券的概率。類(lèi)似可求出第3, 4人摸到中獎(jiǎng)券的概率 .14注：對(duì)于摸彩、抽簽等問(wèn)題中全概率的計(jì)算， 直接利用古典概率方法，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.任一人摸中概率都相同例3摸彩模型或抽簽問(wèn)題設(shè) n 張彩票中有 k 張 中獎(jiǎng)券,求第二人(任一人)摸到中獎(jiǎng)券的概率。15例1 某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004,現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普檢查,醫(yī)學(xué)研究表明,化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的。已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99呈陽(yáng)性(有病),而沒(méi)有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9呈陰性(無(wú)病)?，F(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽(yáng)性,問(wèn)他真的患肝癌的概率是多大？解：設(shè)B為“被檢查者患有肝癌”，A為“檢查

6、結(jié)果呈陽(yáng)性”，則由題意知 所求問(wèn)題是？第三節(jié) 貝葉斯公式(逆概率公式)1617補(bǔ)充說(shuō)明若對(duì)首次檢查結(jié)果呈陽(yáng)性的人再次復(fù)查，這時(shí)，P(B)0.284,代入上式計(jì)算可得:第二次檢查又呈陽(yáng)性的人患肝癌的概率則為0.997，說(shuō)明此檢查方法的有效性。把B“患病”看作“原因”,把 A“陽(yáng)性”看作“結(jié)果”。由產(chǎn)生的結(jié)果對(duì)原因重新認(rèn)識(shí)修正.18貝葉斯公式(逆概率公式) 19例2狼來(lái)了的寓言通過(guò)計(jì)算說(shuō)明為什么村民后來(lái)不再相信小孩呢？ 20補(bǔ)充說(shuō)明這里， 稱(chēng)為先驗(yàn)概率，即原來(lái)村民 對(duì)他的印象。 稱(chēng)為后驗(yàn)概率，即小孩撒謊一次后，村民對(duì)他的新印象。若小孩再次撒謊，則以 替換作為先驗(yàn)概率，代入上述計(jì)算公式，從而得到在實(shí)

7、際生活中，人們總是根據(jù)已發(fā)生的結(jié)果，不斷地用后驗(yàn)概率去修正先驗(yàn)概率。21第四節(jié)事件的獨(dú)立性22一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性1、獨(dú)立性的一般含義事件A與事件B發(fā)生的概率沒(méi)有關(guān)系、影響。2、定義 設(shè)A、B是兩事件，若滿(mǎn)足 P(AB)P(A)P(B)則稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立。23例1 在52張撲克牌中任取一張，記A為“取到黑桃”，B為“取到愛(ài)司”，A、B是否獨(dú)立？ 例2 在有三個(gè)小孩的家庭，記A為“男女都有”， B為“至多一個(gè)女孩”， A、B是否獨(dú)立？ 24補(bǔ)充說(shuō)明（1）獨(dú)立性的判定必須嚴(yán)格按定義來(lái)確定,而不能憑主觀想像和猜測(cè)，也不能與互不相容的概念混淆。（2）具有類(lèi)似關(guān)系的事件在不同條件下是否獨(dú)立也是有區(qū)別

8、的。把例2中的三個(gè)小孩改為兩個(gè)小孩，則A、B不相互獨(dú)立。25例2 在有三個(gè)小孩的家庭，記A為“男女都有”，B為“至多一個(gè)女孩”， A、B是否獨(dú)立？ 若把條件中的“三個(gè)小孩”改為“兩個(gè)小孩”，則有：26獨(dú)立性的性質(zhì)：27一些特殊情形：28二、多個(gè)事件的獨(dú)立性29例3 從分別標(biāo)有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的4張卡片中隨機(jī)抽取一張,以事件A表示“取到1或2號(hào)卡片”;事件B表示“取到1或3號(hào)卡片”;事件C表示“取到1或4號(hào)卡片”.則事件A,B,C兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.30例4 甲、乙二人同時(shí)獨(dú)立向同一目標(biāo)射擊一次,甲擊中率為0.9,乙擊中率為0.8,求目標(biāo)被擊中的概率。解：設(shè)A甲擊中，B乙擊中，C目標(biāo)被擊

9、中.31例5 某彩票每周開(kāi)獎(jiǎng)一次,每次提供十萬(wàn)分之一的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),且各周開(kāi)獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的。若你每周買(mǎi)一張彩票,堅(jiān)持十年(520周),你從未中獎(jiǎng)的可能性是多少？32練一練用x, y, z 表示下列事件的概率：解 33第五節(jié) 伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)概率34一、伯努利試驗(yàn) 定義：設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E1和E2，若E1的任一結(jié)果(事件)與E2的任一結(jié)果(事件)都獨(dú)立，則稱(chēng)這兩個(gè)試驗(yàn)相互獨(dú)立。如分別擲兩枚硬幣的試驗(yàn)。類(lèi)似地可以定義n個(gè)相互獨(dú)立的試驗(yàn)。特別地，如果n個(gè)相互獨(dú)立的試驗(yàn)是相同的，則稱(chēng)之為n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；如果每次試驗(yàn)的結(jié)果都是兩個(gè)，則稱(chēng)之為n重伯努利試驗(yàn)。如：擲n個(gè)骰子、檢查n個(gè)產(chǎn)品的試驗(yàn)是n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，

10、而擲n個(gè)硬幣的試驗(yàn)則是n重伯努利試驗(yàn)。35二、二項(xiàng)概率問(wèn)題：在n重伯努利試驗(yàn)中, 若事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率都是 p, 求在n次試驗(yàn)中恰出現(xiàn)k次A的概率。分析：若指定某k次出現(xiàn)A，則另外 n-k 次出現(xiàn).由獨(dú)立性知，該事件的概率為再由組合數(shù)知識(shí)知，在n次試驗(yàn)中恰出現(xiàn)k次A的概率為該公式與二項(xiàng)式定理的一般形式相同，故稱(chēng)之為二項(xiàng)概率。36補(bǔ)充說(shuō)明應(yīng)用二項(xiàng)概率時(shí)應(yīng)注意：1、涉及的試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)；2、所求的事件是只知次數(shù)，不知位置；3、二項(xiàng)概率在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛；4、當(dāng)n較大時(shí)，二項(xiàng)概率的計(jì)算比較困難。37例1 從次品率p=0.2的一批產(chǎn)品中, 有放回地抽取5次, 每次取1件。分別求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率。解：記k抽取的5件中的次品數(shù)。38例2設(shè)有1000個(gè)人購(gòu)買(mǎi)了某項(xiàng)人身意外保險(xiǎn), 每年支付投保金額300元。若在一年內(nèi)發(fā)生意外, 可獲得的平均賠付金額為10000元。根據(jù)資料統(tǒng)計(jì), 該類(lèi)投保人在一年內(nèi)發(fā)生