全等三角形講義0001

1、全等三角形全等三角形性質(zhì)圖形全等：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等?！叭取庇?表示，讀作“全等于”全等三角形的定義：兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如ABC和DEF全等時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，記作 ABC DEF。 把兩個(gè)全等的三角形重合到一起， 重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做 對(duì)應(yīng)角。全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。.下列說(shuō)法：全等圖形的形狀相同、大小相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；全等三

2、角形的周長(zhǎng)、面積分別相等，其中正確的說(shuō)法為（）A. B.C. D.如圖，zAB乎 ACE則AB的對(duì)應(yīng)邊是, / BAD勺對(duì)應(yīng)角是.已知：如圖，AABM ACD,/ B=/ C,貝U/ AEB=,AE=.如圖：AAB竽 DCB,A所口 DC是對(duì)應(yīng)邊，/ A和/ D是對(duì)應(yīng)角，則其它對(duì)應(yīng)邊是,對(duì)應(yīng)角是.已知：如圖，AABaDEF,BC/ EF,/A=/ D,BC=EF則另外兩組對(duì)應(yīng)邊是 ，另 外兩組對(duì)應(yīng)角是. TOC o 1-5 h z aABRd： SM”三鋁可有六個(gè)案件:三綏而：角 之 7Ke /如果兩個(gè)三角形滿史上述六個(gè)條件印的一個(gè)或兩個(gè)時(shí)有匯種情形，能否保證兩個(gè)三角/全等？345滿足一個(gè)條件

3、：只有一條邊對(duì)應(yīng)相等； 只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論:滿足兩個(gè)條件：兩角對(duì)應(yīng)相等；兩邊對(duì)應(yīng)相等；一邊一角對(duì)應(yīng)相等結(jié)論: 如果兩個(gè)三角形滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有幾種可能的情況?兩邊一角對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：兩角一邊對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：三邊對(duì)應(yīng)相等結(jié)論： 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：定義：如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”例1.已知：如圖，DE=CE DF=CF求證： DE*ACEF例2.已知：如圖，DA=CB DB=CA求證： DA唉ACB/A例3.已知：如圖AB=CD,AD=BC求證：AD/ BC例4.已知：如圖，點(diǎn) A、C、B、D在同一條直線上，AC=BD,AM=CN,B

4、M=DN,求證：AAMBACND 例 6.已知 AB=CD BF=CE AE=CF 問(wèn) AB/ CD嗎？例 6.已知：如圖，AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,在 BE邊上.求證：/ CAEh DAB課堂練習(xí)：.如圖，AB=AD CB=CD/B=30 , / BAD=46 ,則/ ACD勺度數(shù)是（）A.120 B.125 C.127 D.104.如圖，線段AD與BC交于點(diǎn)O,且AC=BD AD=BC則下面的結(jié)論中不正確的是（）A. ABN BADB/ CABW DBAC.OB=OCD.C=/ D.如圖，AB=CD BF=DE E、F是AC上兩點(diǎn)，且 AE=CF欲證/ B=/ D,可先運(yùn)用等

5、式的性質(zhì)證明AF=再用SS6證明 里得到結(jié)論.如圖,ADLBC 垂足為 D, BD=CD證： AB乎AACD.已知：如圖，AB=DC BD=AC AQ BD交于 O.求證： AO尻 DOC.如圖，已知：AB=AC BE=CE E 為 AD上一點(diǎn)，求證：/ BED= CED.已知：如圖，A、E F、B在一條直線上，AC=BD,AE=BFCF=DE 求證：AD/ BC 課后練習(xí)：.工人師傅常用角尺平分任意角，做法如下：如圖：/AO罡一個(gè)任意角，在OA OB上分別取OM=ON移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與 M NM合，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線O粳是/ AOB勺平分線。你知道這樣做的理由嗎？.已知：如

6、圖：BE=CF AB=DE AC=DF 求證： AB(C DEE.如圖，AB=AC BD=CD 求證：/ 1 = /2.已知 AC=BD AE=CF BE=DF 問(wèn) AE/ CF 嗎?10.如圖，AC=BDBC=AD 求證：AB。ABAD 能力提高：.如圖,AC=DF BC=EF AD=BE / BAC=72 , / F=32 ,則/ ABC=.已知:如圖，E 是 AD上的一點(diǎn),AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE：證:/ B=/ CAE.如圖：AB=DC BE=CF AF=DE (1)求證： ABESDCF;(2)CF/ BE.如圖,AD=BC,AB=DC證：/ A+/ D=180 .三

7、角形全等的條件二(SAS)定義：如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫成“邊角邊”A兩邊一角對(duì)應(yīng)相等 結(jié)論：例 1.如圖，AE=DB,BC=EF,BCEF,求證：/xAbC DEF C例 2.如圖，AB= AD AC= AE /BAE= / DAC 求證： ABC ADE例3.已知：如圖,AD是BCt的中線，且DF=DE求證:BE/CF.例4.如圖，已知，等腰 RtAOAEJ, /AOB=90等腰RtzEOF中，/ EOF=90,連結(jié)AE BF.求證：（1） AE=BF （2） AE1BF.例 5.如圖，在 ABE 中，AB= AE,AD= AC,/BA氏 / E

8、AC,BC DE 交于點(diǎn) O.求證：（1） AABCAAED （2）OB=OE.課堂練習(xí)：.AABCHABC中，要使AABCABC,需滿足條件（）A.AB=AB,AC=AC, / B=/ BB.AB=AB,BC=BC, / A=/ AC.AC=AC,BC=BC, /C=/CD.AC=AC,BC=BC, /C=/B.如圖，在/ AOB勺兩邊上截取 AO=BOB A5口 BO上截取CO=D攤結(jié)A叵口 BC交于點(diǎn)P,則AAODBOCC!由是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS4題B.如圖，在 4ABC 和 4DEF 中，已知 AB DE , BC EF ,根據(jù)（SAS 判定ABCDEF ,

9、還需的條件是（A. A D B. B eC. cfD.以上三個(gè)均可以.如圖,AD=AE,AB=AC,B ECW 于F,則圖中相等的角共有 Xt （除去/ DFEh BFC （）A.5B.4C.3D.2.如果兩個(gè)三角形全等，則不正確的是（）A.它們的最小角相等B.它們的對(duì)應(yīng)外角相等C.它們是直角三角形D.它們的最長(zhǎng)邊相等.如圖，已知：ABMACD,/1=/ 2, ZB=Z C,不正確的等式是（）A.AB=ACB/ BAEN CADC.BE=DCD.AD=DE.下圖中全等的三角形是（）A. I和n B. II和IV C. II和田D. I和田.如圖，已知/ 1 = /2,要使 ABC A ADIE

10、還需條件（）A.AB=AD BC=DEB.BC=DEAC=AEC. B=/ D, / C=/ ED.AC=AE AB=AD.已知：AD/ BC AD=CB 求證： ADC2 ACB/A.如圖，ABC , AB= AQ AD平分 / BAC 試說(shuō)明 AB乎 AACD.如圖，AD= BC,/ADC= / BCD求證：/ BAC= /ABD.如圖，已知:AC=DF,AC/ FD,AE=D昧證：AB。 DEF.如圖，在ABC中，AB AC, BAC 40。，分別以AB,AC為邊作兩個(gè)等腰直角 AABDfH ACE 使 BAD CAE 90。.（1）求 DBC 的度數(shù)；（2）求證：BD CE .如圖：A

11、B=AC AD=AE AB! AC ADL AE.求證：（1） / B=/ C, （2） BD=CE.如圖/BACh DAE /ABDh ACE BD=CE 求證：AB=AC課后練習(xí)：.下面各條件中，能使 AB8zDEF的條件的是（）A.AB=DE,/ A=/ D,BC=EFB.AB=BC,/ B=/ E,DE=EFC.AB=EF,/ A=/ D,AC=DFD.BC=EF,/ C=/ F,AC=DF.如圖，AD,BCf交于點(diǎn)O, OA=ODOB=OC下列結(jié)論正確的是（）A. aaobadocB. aaboadocC. a c D. b d.如圖，已知AB AC, AD AE, BAC DAE.

12、下列結(jié)論不正確的有（）.A. BAD CAE B. AABDACE C.AB=BCD.BD=CE.如圖所示，ZABCW BDEIB是等邊三角形，ABCDC.AEC.已知：如圖，CE AB,DFAB,垂足分別為E,F,AF=BE,且AC=BD,U不正確的結(jié)論是（）A.Rt AAEC RtA BFDB/ C+/ B=90 C. / A=/ DD.AC/ BD.如果ABCffiADEF全等， DE林口AGHI全等，則4 ABCffiAGHI全等，如果AABCffizDEF不全等， DE可口zGHI全等，則 ABCfflAGHI全等.（填“一定”或“不一定”或“一定不”）.如圖，已知 AB! BD于

13、B, EDI BD于 D, AB=CD BC=DE 貝U/ ACE=.已知如圖，F(xiàn)在正方形ABCD勺邊BC邊上，E在AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)B= ER AF交CE 于G,則/ AGC勺度數(shù)是.如圖， ABB不等邊三角形，DE=BC以D, E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形， 使所作的三角形與 ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出 個(gè).如圖，已知 ABC勺六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和 ABC全等的圖 形是。.已知：如圖,AC=AB,AE=AD / 1=/ 2,求證：/ 3=/ 4。.已知：如圖,AB=AC,AE平分/ BAC求證：/ DBEW DCE.如圖,已知:AD / BC,AD=BC 求

14、證:AB / CD.已知：如圖，點(diǎn)B,E,C,F在同一直線上,AB/ DE,且AB=DE,BE=C豉證:AC/ DF.已知：如圖,AD是BC上的中線，且DF=DE求證:BE/ CF.如圖，在 ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E, DE=FE AE=CE AB與CF有什么位置關(guān)系？說(shuō)明你判斷的理由。.如右圖，已知DEL AC BF AQ垂足分別是E、F, AE=CF DC/ZAB,(1)試證明：DE=BF (2)連接DR BE,猜想DF與BE的關(guān)系？并證明你的猜想的 正確性.已知如圖，B是CE的中點(diǎn)，AD=BC AB=DC DE交AB于F點(diǎn)。求證：(1)AD/ BC AF=BFA. 2n

15、 2第119.已知：如圖,AC=AB,AE=AD / 1=/ 2,求證：/ 3=/ 4。能力提高：1.觀察下列圖形，則第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是()B. 4n 4 C. 4n 4 D. 4n2.如圖,AD，AB,CBLAB,DM=CM=aAD=h,CB=k,/AMD=75 , / BMC=45 ,則 AB的長(zhǎng)為()A.aB.kC. SD.h23,已知：如圖,AB=AC,AD=AE/ BACW DAE求證:BD=CE.如圖已知： ABCffl BDEM等邊三角形，D在AE延長(zhǎng)線上。求證：BD+DC=AD.已知：如圖，BE CF是ABC勺高，分別在射線 BE與CF上取點(diǎn)P與Q 使BP=ACCQ=A

16、B求證：(1) AQ=AP (2) APIAQ.如圖，ABC等邊三角形，點(diǎn) M,N分別在BC,AC上，且BM=CNAM與BN交于Q 點(diǎn)。求/AQN勺度數(shù)。.已知C為AB上一點(diǎn)，ACNfi! BCM1:正三角形.(1)求證:AM=BN (2)求/AFN的度 數(shù).如圖，已知4ABC的邊長(zhǎng)為1的正三角形，zBDB頂角/BDC=120勺等腰三角形， 以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，角的兩邊分別交 AB于M,交AC于N,連MN成4AMN 求證：zAMN勺周長(zhǎng)等于2。.已知在abc中，B 2 C, AD平分 a交BC于D點(diǎn)，求證：AC=AB+BD.如圖， ABB等腰直角三角形，其中 CA=CB四邊形CDE和正方形

17、，連接AF、 BD.觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想;若將正方形CDE碟點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使正方形 CDEF勺一邊落在 ABC的 內(nèi)部，請(qǐng)你畫出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母，題 (1)中猜想的結(jié)論 是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 .五邊形 ABCD呼，AB=AE BC+DE=CD/ABC廿 AED=180 ,求證：ADf 分/ CDE. 三角形全等的條件三、四(ASA,AAS兩角一邊對(duì)應(yīng)相等定義：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等， 那么這兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)記為“角邊角” 如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其其中一角的對(duì)

18、邊分別對(duì)應(yīng)相等， 那么這兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為“角 角邊 結(jié)論：?jiǎn)栴}：一塊三角形玻璃碎成如圖形狀(1)要不要4塊都帶去？(2)帶哪一塊呢？(3)帶D塊，帶去了三角形的幾個(gè)元素？另外幾快呢?例 1.如圖，/ BDAW CEA AE=AD 求證:AB=AC例 2.如圖，/ACB=90, AC=BC D為 AB上一點(diǎn),AECQ BF，CQ 交 CD延長(zhǎng)線于 F 點(diǎn).求證：BF=CE.例3.如圖在 ABC+, /ACB=90 , AC=BCAE是BC的中線，過(guò)點(diǎn)C作CF，AE于F,過(guò)B作BDLCB交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D。（1）求證：AE=CD （2）若BD=5cm,求AC的長(zhǎng)。例 4.如圖：在ABC,

19、 /ACB=90 , AC=BC D是 AB上一點(diǎn)，AE!GDT E, BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F。求證：AE=EF+BF例5.如圖，已知在 ABC中，A渥角平分線，CF! AD交AB于F,垂足為 M C日AD交BA的延長(zhǎng)線于E,求證：AC=AE=AF例6.如圖， ABC+, / BAC=90, AB=AC BD是/ABC勺平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.求證：BD=2CE課堂練習(xí).已知：如圖，AC=CD,/ B=/ E=90 ,AC CD,則不正確的結(jié)論是（）A. /A與/ D 互為余角 B. ZA=Z 2C.AAB（C ACEDD / 1=/ 2.在

20、AABC, AC=5中線AD=4則邊AB的取值范圍是（）A.1AB9B.3AB13C.5AB13D.9AB13.如圖，點(diǎn) D,E,F,B 在同一條直線上，AB/ CD AE/ CF,且 BF=DE 若 BD=1Q BF=2,貝U EF=.已知：如圖，四邊形ABC前,AB/ CD,AD BC 求證： ABD ACDB.如圖，ABC DCB , ACB DCB ,試說(shuō)明 ABC DCB.如圖，/1 = /2, /B= /C.求證：AB= AC.如圖：在 ABC中，AB=AC AD和BE者B是高，它們相交于點(diǎn) H,且AH=2B速證：AE=BE.已知：如圖，四邊形ABCM,AD/ BC,F是AB的中點(diǎn)

21、,DF交CB延長(zhǎng)線于E,CE=CD求證：/ADEh EDC.如圖， ABC , D 是 AC上一點(diǎn)，BE/ AC BE=AQ AE分另fj交 BD BC于點(diǎn) F、G圖中有全等三角形嗎？請(qǐng)找出來(lái)，并證明你的結(jié)論.若連結(jié)DE則DE與AB有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.如圖，在ABCf /C=2Z B,AD 是ABC勺角平分線，/ 1=/ B,求證 AB=AC+AD. 課后練習(xí)：.如圖，/A=/ D,OA=ODZDOC=50，求/ DBC勺度數(shù)為()A.50 B.30 C.45 D.25.如圖，AB/CD AD/BQ AG BD相交于點(diǎn) O(1)由 AD/ BC 可得 =，由 AB/CD 可得 =，又由，于

22、是AABDACDB (2)由，可得 AD=C B由，可得 AOD2 A COB(3)圖中全等三角形共有對(duì)。.如圖在 ABC+ ,AD BC于 D,BEAC于 E,AD交 BE于 F,若 BF=AC那么/ ABC的大 小是.已知：如圖，/1=/ 2,AB，BC,ADL DC,垂足分別為B、D.求證：AB=AD.如圖，/1 = /2,/B= /D,求證：AB8AADC.如圖，/C= /D,CE= DE 求證：/BA氏 /ABC.如圖，四邊形ABCD勺對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，/ 1=/2, /3=/4.求證：(1) ABCADC； (2) BO=DO.如圖，已知點(diǎn)B、C E在一條直線上，AB=C

23、D AC=BDDE/ AC試說(shuō)明/ E=/ DBC.如圖，AB AC, BD DC, AG BD交于點(diǎn)ACB DBC,圖中共有幾對(duì)長(zhǎng)度相等的線段，你是通過(guò)什么辦法找到的？.已知：如圖,AB/CD,/ 1=/ 2,O是AD的中點(diǎn),EF、AD交于O.求證：O也是EF的 中點(diǎn).如圖，AD=BE,AC DF,BC/ EF,求證：ABa DEF.已知：如圖，F(xiàn)B=CE,AB/ ED,AC/ FD,F、C在直線 BE上.求證：AB=DE,AC=DF.已知：在 ABC中，AD為BC邊上的中線，CEL AQ BF AQ 求證：CE=BF.已知：如圖ACL CD于C,BD CD于D,M是AB的中點(diǎn)，連結(jié)C幅延長(zhǎng)

24、交BD于點(diǎn)F. 求證：AC=BF.已知：如圖，E、D B、F在同一條直線上，AD/ZCB,/BAD= BCD,DE=BF5:證：AE / CF.已知：如圖，AE=BF,AD/ BC,AD=BC.AB CD于 O點(diǎn).求證：OE=OF 能力提高：.已知：如圖，AD=DCADCM DEBW B=90 ,四邊形ABCD勺面積為16,則DE的長(zhǎng)為 （）A.5B.4C.3D.2.三角形ABCfr, AB=AC在AB上取一點(diǎn)D,在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E,使CE=BD 連結(jié)口或BC于G,求證：DG=GE.已知：如圖，在 ABC中，AD是/BAC勺角平分線，E、F分別是AB AC上的點(diǎn)， 且/EDF吆 EAF

25、=180 。求證：DE= DE.在等邊三角形 ABC, AE=CD AQ BE交于P點(diǎn)，BQL AD于Q 求證：BP=2PQ.如圖，點(diǎn)M為正 ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作DMN 60 , 射線MNW/DB的卜角的平分線交于點(diǎn)N, Dg MNt怎樣的數(shù)量關(guān)系？三角形全等的條件五定義：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等.簡(jiǎn)記為H. L定理.（或斜邊直角邊）.例1.如圖，有一個(gè)直角 ABC /C=90 , AC=10 BC=5 一條線段PQ=ABP.Q兩點(diǎn) 分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP=1才能使 ABCW PQA

26、 全等.例 2.已知：如圖，AB=CD AE=DF 且 AEBC于 E, DF BC于 F.求證：/ B=/ C。例3.已知：如圖，E,B,F,C 四點(diǎn)在同一直線上，/A=/ D=90 ,BE=FC,AB=DF求證： ZE=Z C例 4.如圖，ABBC于 B, ADDC于 D,且 CB=CD 求證：/ ABD= ADB.例5.證明：在直角三角形中，300所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。例6.已知：如圖，AD為 ABC勺高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F,且有BF=ACFD=CD 求證：BE! AG例7.已知：RtAABC, / ACB直角，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC過(guò)D作AB的垂線 交AC于E,求

27、證：CDL BE.課堂練習(xí)：.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等 C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等 D.斜邊相等.兩個(gè)三角形有以下三對(duì)元素相等，則不能判定全等的是（）A.一邊和兩個(gè)角B.兩邊和它們的夾角C.三邊D.兩邊和一對(duì)角.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A.三角形全等的判定方法對(duì)判定直角三角形全等也適用B.已知兩個(gè)銳角不能確定一個(gè)直角三角形C.已知一個(gè)銳角和一條邊不能確定一個(gè)直角三角形D.已知一個(gè)銳角和一條邊可以確定一個(gè)直角三角形.已知：如圖,AD=BC,AE,C吩別垂直BD于E、F,AE=CF,則圖中有對(duì)相等的角（除直角外）.（）A.3B.4C.5D.6.已知：如圖，

28、AC是/BADF口/ BCD勺角平分線，則4 ABgAADCffl判定.（）A.AAAB.ASM AASC.SSSD.SAS.如圖，RtzABC中，/ B=90 , / ACB=60 ,延長(zhǎng) BC到 D,使 CD=A（M AC BD=A. 1: 1B. 3: 1C. 4: 1D. 2: 3.如圖，在下列給出的四組條件下，不一定能推導(dǎo)出 ABD2 EBC勺條彳是（）A.BE=BA,BD=BC, 1 = / 2B. / 3=/ 4, Z1 = Z 2,AB=EBC.AB=EB,/ 1=/ 2,AD=ECD.AB=EB，1=/ 2, / C=/ D.如圖，已知AB! AC ACL CD垂足分別是A,

29、 C, AD=BC由此可判定全等的兩個(gè) 三角形是和.已知：如圖，AE,FC都垂直于BD,垂足為E、F,AD=BC,BE=DF求證：OA=OC.已知：如圖，DN=EM 且 DNAB于 D, EMAC于 E, BM=CN求證：/ B=/ C.已知：如圖，BC是ABCF 口 DCB勺公共邊,AB=DC,AC=DB,AE DF分別垂直BC于 E,F.求證：AE=DF.已知：如圖，AB=CD,D B到AC的距離DE=BF求證：AB/ CD.已知：如圖，OC=OD,ADO阡 D,BC OA于 C.求證：EA=EB.如圖，已知：/ ACBffi /ADEfB是直角，BC=BD E是AB上任一點(diǎn)，求證：CE=

30、DE.已知：如圖，/ A=/ D=90 , AQ BD交于 O, AC=BD求證：OB=OC.如圖，在等腰直角三角形 ABC4 / ACB=90直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C, AD1l,BE l,垂 足分別為D E.求證：AD=CE課后練習(xí)：.下列條件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A. 一條直角邊和一個(gè)銳角分別相等 B.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等C.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等 D.斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等.在下列定理中假命題是（）一個(gè)等腰三角形必能分成兩個(gè)全等的直角三角形一個(gè)直角三角形必能分成兩個(gè)等腰三角形C.兩個(gè)全等的直角三角形必能拼成一個(gè)等腰三角形D.兩個(gè)等腰三角形必能拼成一個(gè)直角三角形.如圖，在RtAAB

31、C, /ACB=90 , CD CE分別是斜邊 AB上的高與中線，CF是 /ACB勺平分線。則/ 1與/2的關(guān)系是（）A. /1/2D.不能確定.在直角三角形 ABC，若/C=90, D是BC邊上的一點(diǎn)，且AD=2CD U/ADB的度數(shù)是（）A.30 B.60 C.120 D.150.如圖，已知BDL AE于B, C是BD上一點(diǎn)，且 BC=B要使RtAABC RtADBI應(yīng) 補(bǔ)充的條件是/ A=/ D或或或。.如圖，在ABC, ADL BC于 D, AD與 BE相交于 H,且 BH=AC DH=DC那么/ ABC= 度。.如圖，AD/BQ /A=9“ E 是 AB 上一點(diǎn)，/ 1 = /2,

32、AE=BC 求證：/ DEC=90.如圖所示，已知 AD是/BAC勺平分線，DEL AB于E, DF AC于F,且BD= CD求 證：BE=CF.已知BD= CD BFAQ CE!AB.求證：D在/ BAC勺平分線上.如圖，在 AB訝口ACM,給出以下四個(gè)論斷： AB=ACAD=AEAM=ANAD DC AE1 BE以其中三個(gè)論斷為題設(shè)，填入下面的“已知”欄中，一個(gè)論斷為結(jié)論，填入下面的“求證”欄中，使之組成一個(gè)真命題，并寫出證明過(guò)程已知：求證：.已知在 RtzABC中，/ C= 90 , AC= BC AD為 / BAC勺平分線，DEL AB,垂足為C.求證： DBE的周長(zhǎng)等于AB.如圖，A

33、BC , /ACB=90 ,CE，AB于 E,AD=AC,A評(píng)分/ CA或 CE于 F.求證:FD / CB.如圖，A、E、F、C在一條直線上，AE=CF過(guò)E、F分別作DE1AQ BF AC 若 AB=CD請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1) B阡分EF; (2)若將DEC勺邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2 時(shí)其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。能力提高：.已知：/AOB=90, 0娓/AOB勺平分線，將三角板的直角頂P在射線OMt滑動(dòng)， 兩直角邊分別與OA OB交于C D. PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.如圖，已知在 ABC , /ACB=90 / CAB=30 ACDzABE都是等邊4

34、,DE交 AB于 F,求證：DF=EF.已知BD CE是 ABC勺高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP=AC點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB 判斷線段AP和AQ的關(guān)系，并證明.如圖，點(diǎn) C 在線段 AB 上，DAL AB, EB AB, FC AR 且 DA=BC EB=AC FC=AB /AFB=51 ,求/ DFE的度數(shù).角的平分線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線 上。.角平分線的畫法：例1.已知O是 ABCS條角平分線的交點(diǎn)，ODL BC于D,若OD= 5, ABC的周長(zhǎng)等于20,則ABC勺面積等于Saabc=例2.如圖，AABD勺三邊AB B

35、C CA的長(zhǎng)分別是20、30、40、其中三條角平分線將 AB汾為三個(gè)三角形，則Sabo： S bco ： S cao等于.例 3.如圖：在 ABC中，/BAC=90 , / ABD=1 / ABC,BCL DF,垂足為 F,AF 交 BD于 E。求證：AE=EF.例4.如圖：在ABC, / B, /C相鄰的外角的平分線交于點(diǎn) D。求證：點(diǎn)D在/A的平分線上。例5.如圖所示，已知4ABC中，AD平分/ BAC E、F分另U在BD AD上.DE=CDEF=AC求 證：EF/ AB.例6.在 ABB, ABACA混 / BAC勺平分線.P是AD任意一點(diǎn).求證：AB-ACPB-PC 例7.如圖，/ A

36、+/ D=1800 BE平分/ABC CE平分/ BCD點(diǎn)E在AD上.(1)探討線段AB CD BC之間的等量關(guān)系;(2)探討線段BE與CE之間的位置關(guān)系.例8.如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于 F, AF=EF求證：AC=BE課堂練習(xí)：.如圖所示，在 ABC中，P 為 BC上一點(diǎn)，PR! AB于 R, PS，AC于 S, AQ= PQ PR =P&則下列三個(gè)結(jié)論中正確的是()AS= AR PQ/ ARzBR國(guó)ACSP A.和B.和C.和D.全對(duì).如圖，AB=AC BE! AC于 E, CF AB于 F, BE CF交于點(diǎn) D,則 AB國(guó) AACF

37、 ABDACDE點(diǎn)D在/BAC的平分線上，以上結(jié)論正確的是()A.B.C.D.在4ABC和ABC中，AB=AB; BC=BC;AC=AC;/ A=/ A;/ B=/ B; /C=/C;則下列哪組條件不保證 AB8ABC.()A.B.C.D.如圖，已知點(diǎn)P到BE、BD AC的距離恰好相等，則點(diǎn)P的位置：在/ B的平分 線上；在/ DAC勺平分線上；在/ EAC勺平分線上；恰是/ B, /DAC / EAC 三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)。上述結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè). /AOB勺平分線上一點(diǎn)M, M到OA的距離為1.5cm,則M到OB的距離為.如圖，AB/ZCQ

38、O是/ BAC /ACD勺平分線白交點(diǎn)，O且AC于E,且Of2,則AB與CD間的距離等于.已知 ABC的周長(zhǎng)是15, /ABCffl/ ACB的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作ODL BC與點(diǎn)D,且OD=2求 ABC的面積。.已知BD= CD BF，AQ CE!AR 求證：D在/ BAC勺平分線上.如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF/ AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G若BG=CF求證：AD為/ BAC勺角平分線.已知AABC /B=/ C, D, E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且 BD=C E連接DE交底BC于G,求證GD=GE.如圖，A, B兩點(diǎn)位于一個(gè)池塘的兩端，

39、小麗想用繩子測(cè)量 A、B間距離，但是繩 不夠長(zhǎng).你能幫她設(shè)計(jì)測(cè)量方案嗎？如不能，說(shuō)明困難在哪里；如果能，寫出方案， 并說(shuō)明其中的道理.課后練習(xí)：1.如圖，在RtAABC, /ACB=90 , CD CE分別是斜邊 AB上的高與中線，CF是/ACB勺平分線。則/ 1與/2的關(guān)系是（）A. / 1/ 2D.不能確定.尺規(guī)作圖作/ AOB勺平分線方法如下：以 O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交 OA OB于C D,再分別以點(diǎn)G D為圓心，以大于cd長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) P,作射線OP由作法得OCPODP的根據(jù)是（）A. SASB ASAC AAS D. SSS.如圖，在 ABC中，AC=BC /ACB

40、=90 . AD平分/BAC BE! AD交AC的延長(zhǎng)線于F, E為垂足.貝U結(jié)論：AD=BFCF=CDAC+CD=ABBE=CFBF=2BE其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. 1B.2C. 3D. 4.如圖在RtAABCfr, Z C=90 , BD是/ABC的平分線，交于點(diǎn) D,若CD=n AB=rp則 ABD的面積是.已知：如圖，/ B=Z DEF； AB=DE 要說(shuō)明4AB竽DEF；（1）若以“ASA為依據(jù)，還缺條件.（2）若以“AAS為依據(jù)，還缺條件.（3）若以“ SAS為依據(jù)，還缺條件.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A, E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC 和正三角形CDE A

41、D與BE交于點(diǎn)O, ADW BC交于點(diǎn)P, BE與C或于點(diǎn)Q連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：AD=BEPQZAE;AP=BQDE=DP/ AOB=60 .恒成立的 結(jié)論有（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）。.如圖，OIW分/ POQ MAL OP,MB_ OQ A、B 為垂足，AB交 OMF點(diǎn) N.求證：/ OABM OBA.已知/ABC=* C, /1 = /2, BE!AE,求證：AC-AB=2BE.已知，如圖，在四邊形 ABCM, BO AB, AD=DC BD平分/ ABC求證：/ BAD廿 BCD=180 .如圖：在ABC+, /A=60 , /B, /C的平分線BE, CF相交于點(diǎn)O。求證：OE

42、=OF.已知AM為/人8勺中線，/ AMB / AMC勺平分線分別交 AB于E、交AC于F.求證：BE+CFEF能力提高：.如圖，zABC中，/C=90 , AC=BCAD是/ BAC的平分線，DEIAB于 E,若 AC=10cm則4DBE的周長(zhǎng)等于（）A. 10cmB 8cmC 6cmD 9cm.如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公 路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A.1處 B.2處 C.3處 D.4處.如圖，已知 AE平分/ BAC,BE AE于 E,ED/ AC,/BAE=3 那么/ BED=.已知在 RtAABCfr, / C= 90 , AC=

43、BC AD為 / BAC勺平分線，DE!AB,垂足為 C.求證： DBE勺周長(zhǎng)等于AB.如圖，在 ABC中，D,E分別為AB,AC邊中點(diǎn)，連接CD BE并分別延長(zhǎng)至F、G, 使 BE=EG,CD=DF,接 FA,GA.求證：AF=AG.如圖：在 ABC中，/ C=90 , AC=BC D是AC上一點(diǎn)，AE! BD交BD的延長(zhǎng)線于E,且 AE=1BD, 2DFAB于 F。求證：CD=DF.如圖，在四邊形ABC前，AC平分/ BAD過(guò)C作CE!AB于E,并且aeab ad）, 2求/ ABC+ ADC勺度數(shù)。.如圖：AD是ABM/BAC的平分線，過(guò) AD的中點(diǎn)E作EFLAD交BC的延長(zhǎng)線于 F,連結(jié)AF。求證：/ B=/ CAE.已知 ABC中，AB=AC BD為AB的延長(zhǎng)線，且 BD=AB CE為 ABC勺AB邊上的中 線.求證CD=2CE.如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC延長(zhǎng) BE交AC于F, AF與EF相等嗎？為什么？全等三角形復(fù)習(xí)一、選擇題:.如圖，OA=