3線性變換的矩陣

1、 7.3線性變換的矩陣教學(xué)目的本節(jié)需掌握線性變換關(guān)于基的矩陣及可逆線性變換的逆變換的矩陣，向量與()關(guān)于同一個基的坐標(biāo)之間的關(guān)系，線性變換的同構(gòu)即 L(V)與M(F)的同構(gòu)，同 一個線性變換在不同基卜的矩陣之間的關(guān)系教學(xué)難點線性變換的同構(gòu)教學(xué)重點變換 關(guān)于基的矩陣，可逆線性變換的逆變換的矩陣，向量 與()關(guān)于同一個基 的坐標(biāo)之間的關(guān)系，同一個線性變換在不同而下的矩陣之間的關(guān)系教學(xué)過程備注教學(xué)內(nèi)容1.線性變換關(guān)于基的矩陣設(shè)V是F上n維向量空間，是V的一個線性變換， 1, 2,，n是V的一個基.V中的向量口表示為=ai 1 + a2 2+ + an n,()=ai ( 1)+a2 ( 2)+ +a

2、n ( n).如果我們知道了(1),( 2),，(n),以及 在基 1, 2,，n下的坐標(biāo)，那么，向量在 下的象 ()也就可以求出來了.由于 (1), ( 2)，(n)也是V中的向量，它們都可以唯一地由基 1, 2,， n線性表示，設(shè)為(1)=a11 1+a21 2 +an1 n ,(2)=a12 1 +a22 2+an2 n ,(1)(n)=a1n 1 + a 2n 2+ , , + ann n . 令a11a2a1nAa21 a22a2nA=,an1 an2ann規(guī)定(1, 2，n)=( ( 1),( 2),，(n)則向量等式組(1)式可表示成(1, 2,，n)=( 1, 2,，n)A,

3、也可以表示成(1),( 2),，(n) )=( 1, 2，n)A .矩陣A叫做線性變換 關(guān)于基 1, 2，n的矩陣，或者，A叫做線性變換 在基 1, 2,，n下的矩陣，矩陣A的第j列就是基向量j的象(j)關(guān)于基 1, 2，n的坐標(biāo)，j=1,2,，n.例1設(shè)F3的線性變換為() = (X1 + X2 + X3, X2+X3, X3),= (X1, X2, X3) V3.取 F3 的一個基 1=(1,0, 0), 2=(0, 1,0), 3=(0, 0, 1). 則(1)=(1, 0, 0)= 1 + 0 2+0 3 ,(2)=(1, 1, 0)= 1+ 2 +0 3, (3)=(1, 1, 1)

4、= 1+2 + 3.所以關(guān)于基 1, 2, 3的矩陣為1 1 1A= 0 1 10 0 1若取 F3 的基為 1=(1,0, 0), 3=(0, 0, 1) , 2=(0, 1, 0).則 關(guān)于基 1, 3, 2 的矩陣為 TOC o 1-5 h z 111C=010011由于1, 2, 3與1, 3, 2的排列順序不同，我們認(rèn)為這是 F3的兩個不同的基， 關(guān)于這兩個基的矩陣不同.在 F3 中再取一個基1 = (1,1,1), 2=(0,1,1), 3=(0,0,1),則(1) = (3, 2, 1)=3 1- 2- 3,(2)=(2, 2, 1)=2 1 + 0 2- 3,(3)=(1, 1

5、, 1)= 1+ 0 2+0 3.所以 關(guān)于基 1, 2, 3的矩陣為 TOC o 1-5 h z 321B=1001 0從這個例子可以看出，一個線性變換在不同基下的矩陣通常是不同的.例2設(shè)V是F上的n維向量空間，那么V的包等變換 在V的任一基 下的矩陣都是n階單位矩陣；零變換在V的任一基下的矩陣都是n階零矩 陣；數(shù)量變換在任一基下的矩陣都是數(shù)量矩陣.例3在Rn x中取定一個基1, x, x2, xn,是Rn x的微分變換，即(f (x) = f(x), f (x) Rnx.因為= 0, (x) = 1,(x2)=2x,，(xn) = nxn-1,所以 在這個基下的矩陣為01000002002

6、.=a1 1+ a2 2+ + an n(2)與()關(guān)于同一個基的坐標(biāo)之間的關(guān)系 現(xiàn)在我們討論本節(jié)一開始給出的向量的象()的求法. 設(shè)()=b1 1 + b2 2+ bn n.只要求出b1, b2,，bn便可確定 ().rl-t日、a2=(1, 2,，n ).an由(3)得blb2()=(1, 2，n ).bn另一方面，()=(ai 1 + a2 2+a n n)=ai ( i) + a2 ( 2)+a n ( n)a1a2=(1)，( 2)，,(n)an將(1), ( 2),，(n) = ( 1, 2 , n )A 代入上式，得a TOC o 1-5 h z ,、，、 a2,、()=(1,

7、2，n ) A .(5)(4), (5)得因為一個向量關(guān)于一個給定的基的坐標(biāo)是唯一確定的，比較bia1b2 = A a2bnan上式給出了與（）在同一個基下的坐標(biāo)之間的關(guān)系.現(xiàn)在我們可以得到定理7.3.1設(shè) 是n維向量空間V的一個線性變換，關(guān)于V的一個基 1, 2，n的矩陣是A.向量 關(guān)于這個基的坐標(biāo)是（a1, a2，an）T, （）關(guān)于這個基的坐標(biāo)是（b1 ,b2，bn）T ,則 TOC o 1-5 h z b1a1b2a22= A2 . （6）bnan例4對例1中的線性變換，若向量關(guān)于基 1, 2, 3的坐標(biāo)是（1, 2, 3）t,那么（）關(guān)于這個基的坐標(biāo)（y1, 丫2）3）二為y1111

8、16y2=0 1 12=5.y30 0 133例1中由基 1, 2, 3到基 1, 2, 3的過渡矩陣杲1 0 0T= 1 1 01 1 1即(1, 2, 3)= ( 1, 2, 3)T.因此， 關(guān)于基 1, 2, 3的坐標(biāo)(a1, a2, 23)T為 TOC o 1-5 h z a1110011a2=T 2 =1102 = 1.a3301131()關(guān)于基 1, 2, 3的坐標(biāo)81上2口3)丁為b 132116b2=B1=1001=1 .b31110 12其中，B是在基 1, 2, 3下的矩陣(見例1).L(V)與M(F)的同構(gòu). L(V)與M(F)的同構(gòu)設(shè) 1, 2,，n是n維向量空間V的一

9、個給定的基，作L(V)到Mn(F) 的對應(yīng)法則f,使f： A, L(V), 其中A是在基 1, 2,，n下的矩陣.首先，因為線性變換 關(guān)于給定的基 1, 2,，n的矩陣是唯一確定 的，所以f是L(V)到Mn(F)的一個映射.其次，對任意A=(aij)nxn Mn (F),我們構(gòu)造n個列向量 1, 2,，n, 使A的列向量依次是這些向量關(guān)于 V的基 1, 2,，n的坐標(biāo)，即j = a1j 1 + a2j 2+-+ anj n . j=1,2，,n.由定理7.1.2知，存在 L (V),使 (j)= j , j = 1,2,，n.顯然 關(guān)于基 1, 2, , n的矩陣就是A.因此f是L(V)到Mn

10、(F)的一個滿 射.再次，設(shè)，L (V),如果，在基 1, 2, , n下的矩陣是相同的， 都是A,即(。，(2)，(n) = ( 1, 2,，n )A = ( (1),(2)，(n),那么(j)= ( j), j=1,2,，n.再由才t論7.1.3知，=.這說明f是L(V) 到Mn(F)的一個單射.最后，設(shè)f:A, B, , L (V).我們有(1, 2 , n) = ( 1, 2，n)A,( 1, 2，n)=( 1, 2，n)B ,(十 )( 1, 2,，n) = (1, 2,，n)+ ( 1, 2,，n)=(1, 2，n)A+ (1, 2 , , n)B=(1, 2，n)(A+B)即f:

11、 + A+B.同理f: k kA, ( k F)由此可知，f是L(V)到Mn(F)的一個同構(gòu)映射，并且()(1, 2，n)= ( ( 1, 2，n)= ( 1, 2，n)B)=(1, 2，n)B = ( 1, 2，n)AB即 f:AB定理7.3.2設(shè) 1, 2，n是向量空間V的給定的一個基，作映射f: L (V) Mn(F),使對 V的線性變換 ， 在f之下的象是 關(guān)于基 1, 2,，n的矩陣A,即f ( ) = A.那么f是L(V)到Mn(F)的雙射，并且若,L(V), f (戶A, f (戶B,則f ( + ) = A+B, f (k )=kA, f ( ) = AB. 口定理7.3.2告訴我們，L(V)與Mn(F)同構(gòu).抽象地看，F(xiàn)上向量空間L(V) 與Mn(F)是一樣的.這樣，線性變換的問題就是矩陣問題，可以用矩陣?yán)碚?去解決，從而使問題得以簡化.(2).可逆線性變換的逆變換的矩陣定理7.3.3設(shè) 1, 2,，n是向量空間V的基，L (V), 關(guān)于基 1, 2,，n的矩陣是A.則可逆的充要條件是A可逆.并且，當(dāng) 可逆時，T關(guān)于基的矩陣為A-1.4.同一個線性變換在不同而下的矩陣之間的關(guān)系定理7.3.4 一個線性變換關(guān)于兩個基的矩陣是相似的，反之，相似矩陣可以看作同一線性變換關(guān)于兩個基的矩陣.推論7.3.5設(shè) 是Fn(n0)維上向量空間V的線性變換，