概率和理論分布

1、關(guān)于概率與理論分布第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 事件、概率和隨機變量 事件和事件發(fā)生的概率 事件之間的關(guān)系 計算概率的法則 隨機變量 第四章第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、事件和事件發(fā)生的概率事件：每種可能出現(xiàn)的情況稱為事件。它是指事物發(fā)生某種情況或試驗中獲得某種結(jié)果。 概率：就是用來度量每一事件出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)字特征。頻率：在n次試驗中，事件出現(xiàn)的次數(shù) 叫做在這n次試驗中的頻數(shù)，而的頻數(shù)與試驗次數(shù)的比叫事件在n次試驗中出現(xiàn)的頻率記為第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 頻率和概率是不相同的，只有當(dāng)試驗次數(shù)無限增大時，任一事件的頻率趨于穩(wěn)

2、定，這時頻率又稱統(tǒng)計概率這時的頻率和概率才是一樣的調(diào)查株數(shù)（n） 受害株數(shù)（a） 植株受害頻率（a/n） 0.400.480.300.330.360.3540.3510.3500.352第四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 隨機事件：指在同一組條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。也就是說，在某一特定的條件下，可能這樣出現(xiàn)也可能那樣出現(xiàn)，可能發(fā)生的只是其中的幾種情況，這種事件稱為隨機事件。 第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二、事件之間的關(guān)系和事件：事件A和事件B至少有一個發(fā)生構(gòu)成的新事件稱事件A和事件B的和事件。記作A+B。 積事件：事件A和事件B同時發(fā)生構(gòu)成的新事件，又

3、叫變事件，記作AB 互斥事件：A和B不可能同時存在（或發(fā)生）即AB為不可能事件，那么稱事件A和事件B是互斥事件。 對立事件：事件A和B不可能同時發(fā)生，但必須發(fā)生其一，即A+B為必然事件，AB為不可能事件，這樣A、B互為對立事件 B是A的對立,記為第六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月完全事件系：n個事件兩兩互斥，且每次試驗必有其一出現(xiàn)。則這n個事件構(gòu)成完全事件系。 事件的獨立性（獨立事件）：事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的可能性，反之亦然，那么就稱事件A對于事件B是獨立的。簡稱獨立事件。 第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三、計算概率的法則法則1：互斥事件的加法：假定兩互斥

4、事件的概率分別為P（A）和P（B）。則事件A與B的和事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)。加法定理對于多個兩兩互斥的事件也成立。P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N)。推理1：完全事件系的概率：完全事件系的和事件概率 等于1。 P(A+B+N)=P(A)+P(B)+P(N)=1。推理2：對立事件的概率：對立事件的概率互補。若事件A的概率為P（A），那么其對立事件的概率為 因為第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月法則2：獨立事件的乘法：假定P（A）和P（B）是兩個獨立事件A與B 各自出現(xiàn)的概率，則事件A與B同時出現(xiàn)的概率就等于兩獨立

5、事件出現(xiàn)概率的乘積，即 ，乘法定理對于n個相互獨立的事件也成立，即 推理1：若n個事件A、B、N彼此獨立，且當(dāng)P(A)=P(B)=P(N)時，則P(ABN)=P(A)n。推理2：非獨立事件的乘法：如果事件A和B是非獨立的，那么事件A與B同時發(fā)生的概率為事件A的概率P（A）乘以事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率P（B/A），即（）（）（） 第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月四、隨 機 變 量 隨機變量：是指從隨機變數(shù)中所取得的某一實數(shù)值。 隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月離散型隨機變量：試驗只有幾個確定的結(jié)果，并可一一列出，變量y的取

6、值可用實數(shù)表示，且y取某一值時，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機變量。將這種變量所有可能取值及其對應(yīng)概率一一列出所形成的分布稱離散型隨機變量的概率分布，也可用函數(shù)f(y)表示，稱為概率函數(shù)。連續(xù)型隨機變量：變量y的取值僅是一個范圍，且y在該范圍內(nèi)取值時，其概率是確定的。這時取y為一固定值是無意義的，因為在連續(xù)尺度上一點的概率幾乎為0。這種類型的變量稱為連續(xù)型隨機變量。第十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月對于隨機變量，若存在非負可積函數(shù)對任意a和b(ab)都有則稱y為連續(xù)型隨機變量，f(y)稱為y的概率密度函數(shù)或分布密度。因此，它的分布由密度函數(shù)所確定。若已知密度函數(shù)，則

7、通過定積分可求得連續(xù)型隨機變量在某一區(qū)間的概率。 第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié) 二 項 式 分 布二項總體、二項式分布二項式分布的概率的計算方法二項式分布的形狀和參數(shù) 第四章第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、二項總體、二項式分布二項總體：這種由“非此即彼”的事件構(gòu)成的總體，叫做二項總體。為便于研究，通常將二項總體中的“此”事件以變量“1”表示，記為概率p；將“彼”事件以變量“0”表示，具概率q。因此二項總體又稱為“0、1”總體，其概率為p+q=1或q=1-p。第四章第十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二項式分布：如果從二項總體抽取n個個體

8、，可能得到y(tǒng)個個體屬于“此”，那么屬于“彼”的個體為n-y。由于是隨機獨立地從總體中抽取個體的，每項一次抽取的個體均有可能屬于“此”，也有可能屬于“彼”，那么得到的y個“此”個體的數(shù)目可能為0、1、2、n個。此處將y作為間斷性資料的變量，則y共有n+1種取值，這n+1種取值又各有其概率，因而由變量及其概率就構(gòu)成了一個分布，這個分布叫做二項式概率分布，簡稱二項式分布或二項分布。第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二、二項式分布概率的計算方法 舉例說明：大豆子葉顏色由2對隱性重疊基因控制，在其F2代黃子葉表現(xiàn)為顯性，黃和青以3:1比例分離。（以二粒莢為例來說明）。全部可能的結(jié)果有四種：

9、 兩粒都是黃的（YY） 3/43/4=9/16 第一次是青的第二次是黃的（GY）1/43/4=3/16 第一次是黃的第二次是青的（YG）3/41/4=3/16 兩粒都是青的（GG） 1/41/4=1/16假設(shè)y(黃子葉粒數(shù)）為變量，黃色子葉的概率為0.75，青色子葉的概率為0.25。那么其概率分別為（見上面）。第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果一粒豆莢中有三粒種子，那么就有8種可能的情況。 全部是青子葉 （GGG） 1/64 僅有一粒黃子葉種子（GGY、GYG、YGG）9/64 具有兩粒黃了葉種子（YYG、YGY、GYY） 27/64 全部是黃子葉種子 （YYY） 27/6

10、4數(shù)學(xué)上的組合公式為n相當(dāng)于豆莢內(nèi)種子數(shù)，y相當(dāng)于黃子葉種子數(shù)。因此由此可以推知二項分布的概率函數(shù)為：第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 例如：某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對這種害蟲用一種新藥進行治療試驗，每次抽樣10頭為一組治療。試問如新藥無療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭以及全部愈好的概率為多少？按照上面的公式進行計算： 7頭愈好，3頭死去的概率為： 8頭愈好，2頭死去的概率為： 9頭愈好，1頭死去的概率為： 10頭全部愈好的概率為： 第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月受害株數(shù)概率函數(shù)P（y）P(y)F(y)nP(y)P（0）0.116

11、00.116046.40P（1）0.31240.4284124.96P（2）0.33640.7648134.56P（3）0.18110.954972.44P（4）0.04880.994719.52P（5）0.00531.00002.12如果每次抽5個單株，抽n=400次，則理論上我們能夠得到y(tǒng)=2的次數(shù)應(yīng)為：理論次數(shù)=400P（2）=4000.3364=134.56（次）對于任意y，其理論次數(shù)為：理論次數(shù)=nP(y)。 第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三、二項式分布的形狀和參數(shù) 對于一個二項式總體，如果p=q，二項式分布呈對稱形狀，如果pq，二項式分布則表現(xiàn)偏斜形狀。但如果n時

12、，即使pq，二項式總體分布的情況也趨于對稱形狀，所以二項分布的形狀是由n和p兩個參數(shù)決定的。二項總體的平均數(shù)、方差2和標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：=np，2=npq， 。例如上述棉田受害調(diào)查結(jié)果，n=5,p=0.35，所以可求得總體參數(shù)為：=np=50.35=1.75株， 株。 第二十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié) 普松分布 普松分布的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差為：=m,2=m, ，這一分布包括一個參數(shù)m（m=np），而且其分布的的形狀與m的大小有關(guān)，m值越小分布越偏斜，當(dāng)m值適當(dāng)大時，則分布趨于對稱形狀。普松分布的概率函數(shù)為: 第四章第二十二

13、張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第四節(jié) 正態(tài)分布 正態(tài)分布的研究意義 二項式分布的極限正態(tài)分布 正態(tài)分布曲線的特性 計算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 第四章第二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、正態(tài)分布的研究意義 自然界許多現(xiàn)象趨于正態(tài)分布 許多其他非正態(tài)分布的資料在一定條件下 也接近正態(tài)分布 絕少部分資料的抽樣分布，當(dāng)n適當(dāng)大時，接近正態(tài)分布 第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二、二項式分布的極限正態(tài)分布 因為正態(tài)分布是二項分布的極限，所以可以由二項分布導(dǎo)出正態(tài)分布。對于二項分布，當(dāng)p=q=0.5時，無論n值大小，二項分布的多邊形都必定是對稱的；

14、如pq，而n又很大時，這一多邊仍然是對稱的。當(dāng)n時，則可進一步推導(dǎo)出一個表示觀察值y出現(xiàn)的概率函數(shù)方程： 第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月三、正態(tài)分布曲線的特性 它是一條對稱分布的曲線，且對稱軸為y=，即以平均數(shù)為對稱軸。 隨著和的不同，呈現(xiàn)一系列曲線而并不是一條曲線。確定它在y軸上的位置，確定它的變異度。不同和的總體具有不同的曲線位置和變異度，所以任何一個正態(tài)分布曲線，必須在確定了和后，才能確定曲線位置和形狀。 從原點所豎立的縱軸是FN(y)的最大值y0，所以正態(tài)分布曲線的算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)三者是相等的，都合于點上。且多數(shù)次數(shù)分布在平均數(shù)附近。 第四章第二十六張，PPT

15、共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 正態(tài)分布曲線在-=1處有拐點，曲線兩尾向左右延伸，永不接觸，所以y時，分布曲線以y軸為漸近線。 正態(tài)分布曲線與軸之間的總面積等于1。 正態(tài)曲線的任何兩個y的定值間的面積或概率完全以曲線和而確定。第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月下面為幾對常見的區(qū)間與其相對應(yīng)的面積或概率的數(shù)字： 區(qū)間 1 面積或概率=0.6827 2 0.9545 3 0.9973 1.960 0.9500 2.576 0.9900 第二十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月四、計算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 如果變數(shù)y取值介于a、b之間，且ab P(ayb)或者

16、簡寫為P(ayb) 可以通過正態(tài)分布曲線下區(qū)間的面積來表示其概率。我們知道求曲線下區(qū)間的面積，數(shù)學(xué)上通常用定積分來表示第二十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月先將y轉(zhuǎn)換為u ，轉(zhuǎn)化的公式為：例 題假定y是一隨機變數(shù)，具有正態(tài)分布，平均數(shù)=30，標(biāo)準(zhǔn)差 =5，試計算小于26，小于40的概率，或者介于26和40之間的概率以及大于40的概率。第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月查附表2，當(dāng)=-0.8時，F(xiàn)N（26）=0.2119，說明這一分布從-到26范圍內(nèi)的變量占全部變量數(shù)的21.19%，或者說y26的概率為0.2119。同樣計算（40）查附表2，當(dāng)=+2時， FN（40）=0.9773，這指出從-到40范圍內(nèi)的變量數(shù)占全部變量數(shù)的97.73%，或者說，y40的概率為0.9773。第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月計算P（26y40）=FN（40）-FN（26） =0.9773-0.2119=0.7654第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第五節(jié) 抽 樣 分 布 樣本平均數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 樣本總和數(shù)的抽樣及分布參數(shù) 兩個獨立隨機樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布參數(shù)第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于20