隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、 例 檢驗(yàn)兩批燈泡的質(zhì)量,從中分別隨機(jī)抽樣5只, 測(cè)得使用壽命(單位：小時(shí))如下: A: 2000 1000; B: 1500 1500 1000 1000 1000; 試比較這兩批燈泡質(zhì)量的好壞.計(jì)算得: 平均壽命分別為:A:1200, B:1200, 觀察得: A中使用壽命偏離較大,B中使用壽命偏離較小,所以,B產(chǎn)品質(zhì)量較好.數(shù)學(xué)期望方差隨機(jī)變量的數(shù)字特征某商場(chǎng)準(zhǔn)備搞一場(chǎng)促銷活動(dòng) .統(tǒng)計(jì)資料表明,若在商場(chǎng)內(nèi)搞活動(dòng),可獲經(jīng)濟(jì)效益3萬(wàn)元;在商場(chǎng)外搞活動(dòng),不遇到雨天可獲經(jīng)濟(jì)效益12萬(wàn)元,雨天則帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失5萬(wàn)元.若設(shè)在商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)獲經(jīng)濟(jì)效益為隨機(jī)變量X,其概率分布為P(X=12)=0.6,

2、P(X=-5)=0.4商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)的平均經(jīng)濟(jì)效益為120.6-50.4=5.2萬(wàn)元平均效益的計(jì)算方法就是離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法.一、數(shù)學(xué)期望定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=xn)=pn,n=1,2,.,若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂,則稱該級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望,記為EX=若非絕對(duì)收斂,即級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.例如X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3則EX=-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8注意 數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均值,它是一種加權(quán)平均. 1、 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算可得若X服從參數(shù)為p的0-1分布,則EX=p;若XB(n,

3、p),則EX=np;若X服從參數(shù)為的泊松分布,則EX= .例1. 某種產(chǎn)品的每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分布,平均每件上有0.8個(gè)疵點(diǎn).規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò)1個(gè)為一等品,價(jià)值10元;疵點(diǎn)數(shù)大于1個(gè)不多于4個(gè)為二等品,價(jià)值8元;疵點(diǎn)數(shù)超過(guò)4個(gè)為廢品,求(1)產(chǎn)品廢品率;(2)產(chǎn)品價(jià)值的平均值.解 (1) 設(shè)X表示每件產(chǎn)品上的疵點(diǎn)數(shù),則X服從=0.8的泊松分布,EX=0.8,產(chǎn)品的廢品率為 (2) 設(shè)產(chǎn)品的價(jià)值為隨機(jī)變量Y,則Y的概率分布為Y 10 8 0P P(X1) P(14) EY=10P(X1)+8P(14)= 9.61元例2. 某電子元件使用壽命X使用壽命在500小時(shí)以下為廢品,產(chǎn)值0元;50

4、0到1000小時(shí)之間為次品,產(chǎn)值10元;1000到1500小時(shí)之間為二等品,產(chǎn)值30元;1500小時(shí)以上為一等品,產(chǎn)值為40元,求產(chǎn)品的平均產(chǎn)值.解 設(shè)Y表示產(chǎn)值,Y取值為0,10,30,40,P(Y=0)=P(X500)=1-e-0.5P(Y=10)=P(500X1000)=e-0.5-e-1類似可得:P(Y=30)=e-1-e-1.5 , P(Y=40)=e-1.5EY=0 (1-e-0.5)+10 (e-0.5-e-1 )+30( e-1-e-1.5 )+40 e-1.5=15.65(元)定義 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,Xf(x),若絕對(duì)收斂,則稱該積分為X的數(shù)學(xué)期望,記為:EX= 例3.

5、若X服從a,b區(qū)間上的均勻分布,求EX.所以EX=解 否則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求EX.解 X的概率密度函數(shù)為所以,EX=類似計(jì)算可得: 若XN(,2), 則EX= . 例5. 設(shè)隨機(jī)變量Xf(x),EX=7/12,且求a與b的值,并求分布函數(shù)F(x).解 解方程組得 a=1,b=1/2當(dāng)x0時(shí),F(x)=0;當(dāng)0 x0有證明 (連續(xù)型)所以其等價(jià)形式為例12. 設(shè)X用切比雪夫不等式證明證明EX=n+1EX2=(n+1)(n+2)所以,DX=EX2-(EX)2=n+1這里,=n+1例10. 設(shè)證明 兩邊對(duì)x求導(dǎo),令一階導(dǎo)數(shù)等

6、于0,得 解得 x=EX 又因?yàn)樗?x=EX時(shí)f(x)有最小值,最小值為 f(EX)=E(X-EX)2=DX1. 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,且E(X)= 2.4, D(X)=1.44, 則二項(xiàng)分布的參數(shù)n,p的值為（ ） n=4,p=0.6 n=6, p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p=0.12. 設(shè)X表示 10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則X2的數(shù)學(xué)期望E(X2)=( ) 18.4課堂練習(xí)求EX和DX.3. 設(shè)X的密度函數(shù)為所以, EX=1,DX=2=1/2解 3.4. 設(shè)X是一隨機(jī)變量，E(X)=，D(X)=2(,0常數(shù))，則對(duì)任意常數(shù)C，必有（

7、 ）。解E(X-C)2=EX2-2CX+C2=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2C E( X)+C2=(EX)2+DX -2C E( X)+C2=2+ 2-2C+C2= 2+(-C)2而E(X-)2=E(X-EX)2=DX=2所以,(4)正確.5. 設(shè)求 Z= 1/Y 的數(shù)學(xué)期望E（Z）.解 EZ=E(1/Y)=EZ6. 一汽車沿一街道行駛,需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或 綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠 兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等.以 X 表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù).求X的概率分布與E1/(1+X）.解 X的取值為0,1,2,3P(X=0)=1/2P(X=1)=1/21/2=1/4P(X=2)=1/21/21/2=1/8P(X=2)=1/21/21/2=1/8X的概率分布為X 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8(2)E1/(X+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8=67/967. 設(shè)X與Y同分布，X的概率密度為 已知事件 A=X和 B=Y獨(dú)立,且P(A+B)=3/4.求常數(shù)； 求E(1/X2).解 (1)由已知得:P(A)=P(B),A,B獨(dú)立,所以,P(A+B)=P(A)+P(