曲線凹凸性和漸近線

1、關(guān)于曲線的凹凸性和漸近線第一張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義1*:第五張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)于曲線的彎曲方向，我們換一個(gè)角度來看曲線上任一點(diǎn)的切線位于曲線的上方曲線上任一點(diǎn)的切

2、線位于曲線的下方機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第六張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第七張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 我們可以證明：定義1和定義2是等價(jià)的。第八張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理1（凹凸性的充分條件）：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第九張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明1：用定義1證第十張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十一張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng)

3、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。證明2：用定義2證第十二張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月推論：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十三張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1：解：注意到,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十四張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1)(2)第十五張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、曲線的拐點(diǎn)1、定義注意: 拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線。2、拐點(diǎn)的求法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十六張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證機(jī)動(dòng)

4、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十七張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3：解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十八張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注意:例4：解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十九張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求函數(shù) f (x) 的拐點(diǎn)的步驟：注意：例第二十張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理4證明：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十一張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例5：解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十二張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于20

5、22年6月三、漸近線定義:1.鉛直漸近線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十三張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例如有鉛直漸近線兩條:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十四張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十五張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十六張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明：由漸近線的定義，有要使此時(shí)成立，必須機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十七張，PPT共

6、五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注意:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二十八張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6解第二十九張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三十張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例7： 確定常數(shù) a , b , 使解:由條件知，第三十一張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四、函數(shù)作圖利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 步驟：第三十二張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五步第四步 求曲線的漸近線；第七步第六步 作圖。機(jī)動(dòng)

7、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三十三張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例8解非奇非偶函數(shù),且無對(duì)稱性.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三十四張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三十五張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月作圖機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三十六張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三十七張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例9解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)

8、:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)沒有漸近線。第三十八張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月拐點(diǎn)極大值極小值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三十九張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四十張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1、凹凸性的定義：兩種定義； 用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)在各個(gè)區(qū)間的凹凸性，再由凹凸性的改變判別拐點(diǎn);2、凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法：3、漸近線的求法：水平漸近線和斜漸近線；機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 五、小結(jié)4、函數(shù)作圖。第四十一張

9、，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月作業(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 習(xí)題3-4(P188) 1(3)(6)；2(2)；3；5； 7(2)(6)；8；11(2) ；12 第四十二張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：例機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)第四十三張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四十四張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 ; .的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及 ;第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 曲線第四十五張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4. 曲線(A) 沒有漸近線；(B)

10、 僅有水平漸近線；(C) 僅有鉛直漸近線；(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四十六張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5. 求證曲線 有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).證明：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四十七張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四十八張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6、解偶函數(shù), 圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四十九張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第五十張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第五十一張，PPT共五十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月備用題 求笛卡兒葉形線的漸近線 . 解: 令 y = t x ,代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :因所以笛卡兒葉形線有斜漸近線機(jī)