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1、6.穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的有限元法本章的內(nèi)容如下:6.1熱傳導(dǎo)方程與換熱邊界6.2穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式6.3三角形單元的有限元列式6.4溫度場分析舉例6.1熱傳導(dǎo)方程與換熱邊界在分析工程問題時,經(jīng)常要了解工件內(nèi)部的溫度分布情況,例如發(fā)動機的工作溫度、金 屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分布等。物體內(nèi)部的溫度分布取決于物體內(nèi)部 的熱量交換,以及物體與外部介質(zhì)之間的熱量交換,一般認(rèn)為是與時間相關(guān)的。物體內(nèi)部的 熱交換采用以下的熱傳導(dǎo)方程(Fourier方程)來描述,+旋一6+ 6z(6-1)式中P為密度,kg/m3; c為比熱容,J/(kg - K) ; X ,X ,X為導(dǎo)熱系數(shù),w.
2、(m- k); Tx y z為溫度,C; t為時間,s; Q為內(nèi)熱源密度,w/m3。對于各向同性材料,不同方向上的導(dǎo)熱系數(shù)相同,熱傳導(dǎo)方程可寫為以下形式,(6-2)6T 。62T . 62T . 62TPC有云可云除了熱傳導(dǎo)方程,計算物體內(nèi)部的溫度分布,還需要指定初始條件和邊界條件。初始條 件是指物體最初的溫度分布情況,T t_0 = T0 (x,y,z)(6-3)邊界條件是指物體外表面與周圍環(huán)境的熱交換情況。在傳熱學(xué)中一般把邊界條件分為三 類。給定物體邊界上的溫度,稱為第一類邊界條件。物體表面上的溫度或溫度函數(shù)為已知,T = T TOC o 1-5 h z 或 T = T (x, y, z,
3、 t)(6-4)給定物體邊界上的熱量輸入或輸出,稱為第二類邊界條件。已知物體表面上熱流密度,6T. 6T. 6T . HYPERLINK l bookmark20 o Current Document n +人 n +人 n )= qx 6x x y 6y y z 6z z| = q, (x, y, z, t)(6-5)6T6T6T .(人n + X n + Xn ) x 6x x y 6y y z 6z z給定對流換熱條件,稱為第三類邊界條件。物體與其相接觸的流體介質(zhì)之間的對流換熱系數(shù)和介質(zhì)的溫度為已知。(6-6)人空n +人咀n +人空n = h(T - T )x dx x y dy y
4、z Qz z / s其中h為換熱系數(shù),W/(m2K);氣是物體表面的溫度;Tf是介質(zhì)溫度。如果邊界上的換熱條件不隨時間變化,物體內(nèi)部的熱源也不隨時間變化,在經(jīng)過一定時 間的熱交換后,物體內(nèi)各點溫度也將不隨時間變化,即dt這類問題稱為穩(wěn)態(tài)(Steady state)熱傳導(dǎo)問題。穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題并不是溫度場不隨時間 的變化,而是指溫度分布穩(wěn)定后的狀態(tài),我們不關(guān)心物體內(nèi)部的溫度場如何從初始狀態(tài)過渡 到最后的穩(wěn)定溫度場。隨時間變化的瞬態(tài)(Transient)熱傳導(dǎo)方程就退化為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程, 三維問題的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為,Q L QT)Q LcT) Q LQT)不八f 人 | +M 人M +人 l + Q
5、= 0(6-7)Qx k x Qx )Qy k yQy) Qz k zQz )對于各向同性的材料,可以得到以下的方程,稱為Poisson方程,(6-8)Q 2T Q 2T Q 2T Q 八 + = 0 Qx2 Qy2 Qz2 人考慮物體不包含內(nèi)熱源的情況,各向同性材料中的溫度場滿足Laplace方程,(6-9)Q 2T + Q 2T + Q 2T = 0Qx2Qy2Qz2在分析穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題時,不需要考慮物體的初始溫度分布對最后的穩(wěn)定溫度場的影 響,因此不必考慮溫度場的初始條件,而只需考慮換熱邊界條件。計算穩(wěn)態(tài)溫度場實際上是 求解偏微分方程的邊值問題。溫度場是標(biāo)量場,將物體離散成有限單元后,每
6、個單元結(jié)點上 只有一個溫度未知數(shù),比彈性力學(xué)問題要簡單。進行溫度場計算時有限單元的形函數(shù)與彈性 力學(xué)問題計算時的完全一致,單元內(nèi)部的溫度分布用單元的形函數(shù),由單元結(jié)點上的溫度來 確定。由于實際工程問題中的換熱邊界條件比較復(fù)雜,在許多場合下也很難進行測量,如何 定義正確的換熱邊界條件是溫度場計算的一個難點。6.2穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式在前面我們已經(jīng)介紹了有限元方法可以用來分析場問題,穩(wěn)態(tài)溫度場計算是一個典型的 場問題。我們可以采用虛功方程建立彈性力學(xué)問題分析的有限元格式,推導(dǎo)出的單元剛度矩 陣有明確的力學(xué)含義。在這里,介紹如何用加權(quán)余量法 Weighted Residual Method
7、)建立穩(wěn) 態(tài)溫度場分析的有限元列式。微分方程的邊值問題,可以一般地表示為未知函數(shù)u滿足微分方程組,A1(u )、A(u)= = 0(在域 Q 內(nèi))(6-10).未知函數(shù)u還滿足邊界條件,B(u )、B(u) = = 0(在邊界r 上)(6-11).如果未知函數(shù)u是上述邊值問題的精確解,則在域中的任一點上u都滿足微分方程 (6-10),在邊界的任一點上都滿足邊界條件(6-11)。對于復(fù)雜的工程問題,這樣的精確解 往往很難找到,需要設(shè)法尋找近似解。所選取的近似解是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù),一 般表示為u 機 u =咒 Na = Na (6-12)i=1其中a,為待定系數(shù),N,為已知函數(shù),被稱為試
8、探函數(shù)。試探函數(shù)要取自完全的函數(shù)序列, 是線性獨立的。由于試探函數(shù)是完全的函數(shù)序列,任一函數(shù)都可以用這個序列來表示。采用這種形式的近似解不能精確地滿足微分方程和邊界條件,所產(chǎn)生的誤差就稱為余 量。微分方程(6-10)的余量為,R = A (Na)(6-13)邊界條件(6-11)的余量為,R = B(Na)(6-14)選擇一族已知的函數(shù),使余量的加權(quán)積分為零,強迫近似解所產(chǎn)生的余量在某種平均意 義上等于零,j WTRdQ + j WTRr = 0(6-15)W和W稱為權(quán)函數(shù),通過公式(6-15)可以選擇待定的參數(shù)ai。這種采用使余量的加權(quán)積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。對權(quán)函
9、數(shù)的不同選擇就得到了不同的加權(quán)余量法,常用的方法包括配點法、子域法、最小二乘法、 力矩法和伽遼金法(Galerkin method)。在很多情況下,采用Galerkin法得到的方程組的系 數(shù)矩陣是對稱的,在這里也采用Galerkin法建立穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式。在Galerkin法中,直接采用試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù),取W. = N ., W =-N,。下面用求解二階常微分方程為例,說明Galerkin法(參見,王勖成編著“有限元法基本 原理和數(shù)值方法”的1.2.3節(jié))。例,求解二階常微分方程+ u + X = 0(0 X ccc JT Tydy dyx A4A2cjmijmTjmdy第
10、)、 c2ccc c1 T 1iijim1ccc2cc1Tijjjmjc cccc 2T .imjmmmMm 4A單元的剛度矩陣為,b 2bbbbMc 2ccc cMiijijiijimxbbb2bb+ yccc2cc4i jjjm4ijjjmbbbbb 2c cccc 2_ i mmmimjmmK e =顯然,單元的導(dǎo)熱矩陣是對稱的。如果單元的內(nèi)部熱源為常數(shù),由內(nèi)部熱源產(chǎn)生的溫度載荷項為,1 N 1111QA1 NdA = 1,j3 IN hmj NyQdA = Qj(6-29)(6-27)(6-28)由Green公式可得j : (NT M g) + (NT M gdA(6-30)A dxx
11、 dxdyy dydT. dT=j (NtM n + NtM n )dS方便起見,把換熱邊界統(tǒng)一表示為第三類換熱邊界,a . dTa . dT(6-30)J 瓦(N以x瓦)+否(NT氣哥dA=J hNt(T -T )dS = J hNtT dS J hNtNTedS sf ssfs如果在單元邊上存在熱交換,各條邊上的邊界換熱條件在單元剛度矩陣中生成的附加項為,2 10hlKe r61 2 00 0 0(6-31)hlK e =i60000210122 0 1K e =00061 0 2(6-32)(6-33)由邊界換熱條件生成的溫度載荷向量為,1 hT l尸e =j 2 0(6-34)尸e =
12、 hTfljm J1 21(6-35)(6-36)6.4溫度場分析舉例正方形截面的煙囪如圖6-2所示,煙囪由混凝土建造,邊長為60cm,通道的邊長為20cm, 混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)為k = 1.4W/(m - K)。假定煙囪內(nèi)表面的溫度為100。,煙囪外表面暴露在空氣中,空氣的溫度為30。,換熱系數(shù)為h = 20W/(m2 K)。計算煙囪截面內(nèi)的穩(wěn)態(tài)溫度場。(參見,F(xiàn)inite Element Method Theory and Application with ANSYS, p279)圖6-2煙囪截面圖6-3有限元模型圖6-4穩(wěn)態(tài)溫度分布圖6-5熱流量分布穩(wěn)態(tài)溫度場分布與物體的初始狀態(tài)無關(guān),那么是否與材料的導(dǎo)熱系數(shù)相關(guān)?我們把煙囪 的模型做些修改,假定煙囪壁由兩層材料構(gòu)成。內(nèi)層材料為混凝土,外表面的截面尺寸為 30cm x 30cm,煙囪通道的尺寸不變,仍為20cm x 20cm。外層材料的導(dǎo)熱系數(shù)為k = 0.1W /(m - K),外部表面的截面尺寸不變,內(nèi)部表面的截面尺寸為30cm x 30cm。換熱邊界條件不變,雙層煙囪的有限元模型如圖6-6所
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