傅里葉變換是個偉大的工具要點

1、傅里葉變換是個偉大的工具引言：傅里葉分析不僅僅是一個數學工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前 世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復雜了，所以很 多學生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學里的殺手課程，不得不歸咎于編教材 的人實在是太嚴肅了。所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析， 有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作， 我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時 的快感。至于對于已經有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往 后翻，仔細讀一定會有新的發(fā)現。有關傅里葉傅里葉是一

2、位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是JeanBaptisteJoseph Fourier(1768-1830), Fourie對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會 上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭 議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph LouisLagrange, 1736-1813開口拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace,1749- 1827),當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決 反對，在他此后生命

3、的六年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有 棱角的信號，如在方波中出現非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日 的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加 了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃 避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不 存在能量差別，基于此，傅里葉是對的。話是這么說沒錯，可是二者總要存在差異，甚至在跳變沿處，傅里葉逼近 會產生Gibbs現象，我們?yōu)槭裁催€要進行傅里葉展開或傅里葉變換呢？為

4、什么要傅里葉展開和變換？首先，我們從物理系統(tǒng)的特征信號角度來解釋。我們知道，大自然中很多現象可以抽象成一個線性時不變系統(tǒng)來研究，無 論你用微分方程還是傳遞函數或者狀態(tài)空間描述。線性時不變系統(tǒng)可以這樣理解：輸入輸出信號滿足線性關系，而且系統(tǒng)參數不隨時間變換。對于大自然界 的很多系統(tǒng)，一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相 位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說正弦信號是系統(tǒng)的特征向量！當然，指數信號也是系統(tǒng)的特征向 量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴散現象大多是指數形式的， 或者既有波動又有指數衰減（復指數形式），因此具有特征的基函數就由三角 函數變成

5、復指數函數。但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什么波形，那 輸出就不一定是什么樣子了。所以，除了指數信號和正弦信號以外的其他波形 都不是特征信號。怎么理解我所說的特征向量和特征信號這個名字呢？其實這來源于線性代數， 我們知道矩陣A作用一個特征向量x可以用數學語言這樣描述，那么系統(tǒng)作用一 個 特征信號用數學語言描述就是：形式結構相同，只是一個是有限長度的向量，另一個是無限長度的信號而已。既然是特征向量，我們就想能不能用特征向量來表示自然界的信號和一個物理系統(tǒng)呢？這樣做的好處就是知道輸入，我們就能很簡單那的寫出輸出。我們來看一個實際的例子，擊弦樂器 一一鋼琴。琴鍵 被小錘敲 擊后，產生聲音，見下

6、圖。你可以認為聲音是琴鍵隨時間變化的，也可以看成是各種波的疊加。用數 學的表達式就是這個樣子的：凡有變化的波（交流、頻率）才能傳遞信號，一個一直不變的直流信號是無 法傳遞信息的。這種 交流”是指廣義的，普遍的，無論是自然界里蝙蝠探路， 人們互相交談，還是衛(wèi)星接收信號，都屬于交流的范疇。為了傳遞信號，產生交流，我們需要以波”作為信號的載體。最簡單的波，就以一定頻率傳播。蝙蝠發(fā)出了超聲波，人們說話，聲帶振動帶動了空氣疏密 波（聲波），衛(wèi)星識別電磁波。這樣，我們就有了頻率的概念。更進一步，除 了手機GHz的波這些經典電磁波，在量子世界里，原子的躍遷也是以一定的頻 率發(fā)生的。我們甚至可以說，自然選擇了

7、以這些單頻的模式為基礎。對于一個 信號來說，信號強度隨時間的變化規(guī)律就是時域特性，信號是由那些單一頻率 的信號合成的就是頻域特性。為什么時間和頻率描述世界是等價的？這里引入了時域頻域的概念。我們就有必要解釋一下為什么時間和頻率來 描述這個世界是等價的？什么是時域？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、 人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動 態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨 著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。什么是頻域？頻域（frequency domain）是描述信號在頻率方面特性時用到的 一 種坐標系。用

8、線性代數的語言就是裝著正弦函數的空間。頻域最重要的性質是:它不是真實的，而是一個數學構造。頻域是一個遵循特定規(guī)則的數學范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻 域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。好抽象，不懂。那讓我們從一個簡單的例子開始吧。在你的理解中，一段音樂是什么呢？這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于 樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：最上面的圖是音樂在時域的樣子，而下面的圖則是音樂在頻域的樣子。所 以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。其實，在生活中，我們無時無刻不在進行著傅里葉變換。

9、（什么？我沒有 聽錯吧？ ?。Φ模埾嘈拍愕亩?，你完全沒有聽錯。我們來看人類聽覺系 統(tǒng)的處理過程：當我們聽到一個聲音，大腦的實際反應是什么？事實上耳朵感覺到一個時 變的空氣壓力，這種變化也許是一個類似于口哨聲的單音。當我們聽到一個口 哨聲時，我們所關心的并不是氣壓隨時間的振動（它非常非?？欤。?，而是聲 音的三個特征：基音、聲強以及音長?；艨梢岳斫鉃轭l率的同義詞，聲強不 是別的，它就是幅度。我們的耳朵 一大腦系統(tǒng)能有效地將信號表示成三個簡單 的特征參數：基音、聲強以及音長，并不理會氣壓的快速變化過程（一個重復 的變化過程）。這樣耳朵一大腦系統(tǒng)就提取了信號的本質信息。傅里葉變換的分析過程與此

10、類似，只不過我們從數學意義把它更加精確化 和專業(yè)話罷了。從數學上理解，頻域的概念就是由正弦信號構成的空間?；蛘哒f這個空間 里裝著正弦信號。聽起來好抽象，讓我們回憶一個例子：我們知道對已一個函 數，我們可以將它分解成下面的形式：/1 r) =+ cjoi干分解的方法有很多。我們這樣理解上面的函數分解：是函數空間中的一組基，是在這組基下的 坐標。對于泰勒展開，我們選取了多項式作為基，于是由多項式構成的空間就 叫多項式空間。對于傅里葉變換，我們只是選取了三角函數作為基，于是由三 角函數構成的空間就叫頻率空間或者叫頻域。以此類推。用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波或者其他什么函數來表 示的原

11、因在于：正弦信號恰好是很多線性時不變系統(tǒng)的特征向量。于是就有了 傅里葉變換。對于更一般的線性時不變系統(tǒng)，復指數信號(表示耗散或衰減)是系統(tǒng)的 特征向量”。于是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理，這時是 離散系統(tǒng)的 特征向量這里沒有區(qū)分特征函數和特征向量的概念，主要想表 達二者的思想是相同的，只不過一個是有限維向量，一個是無限維函數。傅里葉級數和傅里葉變換其實就是我們之前討論的特征值與特征向量的問 題。分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來 的信號。這樣，用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所 不具有的性質：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣

12、的性質。同時，這也解釋了為什么我們一碰到信號就想方設法的把它表示成正弦量 或者復指數量的形式；解釋了為什么方波或者三角波如此簡單”，我們非要展開的如此 麻煩”；解釋了為什么對于一個沒有什么規(guī)律的非周期”信號，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開。就因為正弦量(或復指數)是特征向量。考慮到實際過程都只關心t0時刻的現象，所以一般用的拉氏變換都是單邊 的，也就是教材中講的拉普拉斯變換。微分運算的變換，除了以外還有其它項， 就是因為所做的是單邊的變換，需要考慮初值。時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標 表示動態(tài)信號的關系；頻域分析是把信號變?yōu)橐灶l率軸為坐標表示出來。一般 來說，時

13、域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻 和方便。目前，信號分析的趨勢是從時域向頻域發(fā)展。然而，它們是互相聯系， 缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分 析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(Fourier Serie)和傅里葉變換(Fourier Transformation)。鑒于你對積分變換已經心灰意冷，為了讓你對積分變換產生一點好感。我 們來看一張圖：海綿寶寶的傅里葉變換就是派大星這個圖在討論濾波器的時候很有用，學習通訊或者電子專業(yè)的學生對這個 圖再熟悉不過了，如果你感興趣可以聯系我交流一下。之前說了那么多，可能你不相信一個信號可以用正弦信號

14、的線性組合重現, 或者說你不相信一個函數可以展開。接下來，我們深入的討論一下這個問題。任何信號都可以用正弦信號的線性組合重現什么是分解呢？分解的意思就像我們用不同的涂料來調色，一個色調可以 分解成不同基色調的組合。一束白光可以分解成不同顏色的光的疊加。如果我 說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90度角的矩形波來，你會相信嗎? 你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：01.隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷 變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使 其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才 能形成一個標

15、準90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。用線 性代數的角度來說明這個問題，就是基的數量要足夠，數學一點的用語是完備 性。如果你接觸過小波變換，你就更能體會到這點。不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來 的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了 這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。（2012年1月，四位來自麻省理工學院的研究人員提出了一種更快執(zhí)行傅里葉變 換的新算法。這四位研究者（從左至右）分別是PiotEndyk、Dina Katabi Eric Price、Haitham Hassaniehi傅里葉變換是數字醫(yī)學成像、Wi-

16、Fi路由器和4G無線通信網絡等眾多技術的運算基礎。）經過上面各種圖形的狂轟濫炸，相信你對于傅里葉級數是展開（分解）的概念已經在你的腦海中留下一些痕跡了吧。前面的疊加過程我們發(fā)現隨著頻率越來 越高，幅值卻越來越小。這是為什么呢？很多書上只是給出數學上的解釋。下 面，給出一個幾何上的解釋：對于一個函數，將其分解成傅里葉級數的時候，對于高頻分量，可以看出 函數近似成一條直線。于是，積分求和就變成很小的值了。這也是為什么工程 中只取前幾階信號而不考慮無窮項的原因。前面花了大量的時間來說明一個方波信號可以由正弦信號組成，也就是一 個時域信號可以用頻域信號表示。如果你接受了這件事，就好辦了，我們將他 推廣

17、：任意連續(xù)周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成”這就是傅里葉當年的結論。盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍 然具有典型的還原論和分析主義的特征?！比我狻钡暮瘮低ㄟ^一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相 對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！本節(jié)的核心就是一種信號可以用另一種信號作為基函數線性表示。而由于 現實世界中正弦信號是系統(tǒng)的特征向量，所以我們就用傅里葉變換，將研究的 信號在頻域展開。總而言之，不管是傅里葉級數，還是傅里葉變換、拉普拉斯 變換、z變換，本質上都是線性代數里面講的求特征值和特征向量

18、。然后將一個 復雜問題用特征值和特征向量表示。以后如果有人問你為什么要進行傅里葉變 換，你就可以半炫耀半學術的告訴他：因為復指數信號是線性時不變系統(tǒng)的特征向量，因此傅里葉變換就是進行特征 分解”當然還有其他展開，比如小波，道理是一樣的。如果感興趣，強烈推薦 小波與傅里葉分析基礎這本書。其實寫到這里本來就可以了。但是數學家覺得，這種向特征基函數投影的 思想太奇妙了，于是就將其發(fā)展延伸，構造出了其他形式的積分變換。下面就 從數學的角度解釋一下積分變換的意義。從數學角度解析傅里葉變換的意義Timo domairt問題曬apfacec看,=內乂 euu匕HCy Con.dLl.聒同睡未卡網4I同期的留

19、*= W*40tin ver&G/那伽:日費得破的 求解d要時這種解決問題的思路和我們介紹的對角化時的思路是一致的。類似的還有 對數變換、解析幾何的坐標變換、高等代數中的線性變換；在積分中的變量代 換和積分運算化簡；在微分方程中所作的自變量或未知函數的變換；復變函數 的保角變換。當然變換要可以逆。也就是下面介紹的核函數要可逆。從數學的角度理解積分變換就是通過積分運算，把一個函數變成另一個函 數。也可以理解成是算內積，然后就變成一個函數向另一個函數的投影：/；(.# / i是積分變換的核(Kernel) 0當選取不同的積分域和變換核時，就得 到不同名稱的積分變換。學術一點的說法是：向核空間投影，

20、將原問題轉化到 核空間。所謂核空間，就是這個空間里面裝的是核函數。下表列出常見的變換 及其核函數：曼里社Fguntrj變攙也曾行廝iL/Um饃搜相桿（n|通費用M3茨科扛起咄tP克拉，K。/) -1崩陡槿野但始*”在變操，i -it*及焦4* * 1 +用L 1（聞咽受攢.Yr 一希霞伯除KHtwrUTJ*.1 1=U 一 = T Ky年 *r j 7當然，選取什么樣的核主要看你面對的問題有什么特征。不同問題的特征 不同，就會對應特定的核函數。把核函數作為基函數。將現在的坐標投影到核 空間里面去，問題就會得到簡化。之所以叫核，是因為這是最核心的地方。為 什么其他變換你都沒怎么聽說過而只熟悉傅里

21、葉變換和拉普拉斯變換呢？因為 復指數信號才是描述這個世界的特征函數！寫到這里，我覺得早晚會有人指出我的一個問題：沒有區(qū)分傅里葉級數和 傅里葉變換。筆者覺得這兩個概念根本沒必要區(qū)分，我的理由如下：傅里葉級 數和傅里葉變換的根本區(qū)別是被操作的函數是否為周期函數：當被操作函數的 周期趨向于無窮大，傅里葉級數 密集”成傅里葉變換；當被操作函數的周期從 無窮大變成有限值時，傅里葉變換退化成傅里葉級數。所以，其實傅里葉級數 只是傅里葉變換的一種特殊情況，或者說傅里葉變換是傅里葉級數的推廣。因 此，筆者不希望用高深繁多的概念來把你搞暈，就沒有強調二者的區(qū)別。的量葉短HF當然，這個問題還體現了時頻域之間的對稱 （對偶）關系，而且對拉普拉斯 變換也適用，請看下表：舉個例子：比如你在時域周期延拓，那么頻域就是離散的線譜；你在時域離散（采樣）,那么頻域就是周期的。還記得海綿寶寶和派大星那個圖