全等三角形的性質(zhì)與判定含答案

1、全等三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn),方法,破譯.能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；.全等三角形性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形對(duì)應(yīng)高、 角平分線、中線相等；全等三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)相等，面積相等；.全等三角形判定方法有：SASASAAASSSS對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有 HL法；.證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件，具 體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法， 確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明；5.證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)行證明，有

2、時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等，這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長(zhǎng)線中線、截取等等.經(jīng)典考題賞析【例1】如圖，AB/EF/ DQ/ABC= 90,AB=CD,那么圖中有全等三角形（）A. 5對(duì)B. 4對(duì)C. 3對(duì) D. 2對(duì)【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一 對(duì)全等三角形，并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出 第二對(duì)，第三對(duì)全等三角形.這種逐步推進(jìn)的方法常用到.解：. AB/ EF/ DQ /ABC= 90. . . / DCB= 90.在 ABC和 DCB中AB DCZ ABC Z DCB. .AB8, DCB (SA

3、S) ，/A=/DBC CB在 ABEA DCE中z A / D/ AED / DEC ABE0 DCEBE= CEAB DC在RtEFB和RtEFC中BE CEEF EF RtAEFB RtA EFC （HL）故選 C【變式題組】01.（天津）下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A.有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!D.有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等02.（麗水）已知命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，且 AD= BE, Z A= Z FDE,則AB8 DEE判斷這

4、個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明八CF03.（上海）已知線段 AC與BD相交于點(diǎn) O,連接AB、DC, E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn),連接EF （如圖所示）添加條件/ A= / D, / OEF= / OFE 求證：AB= DC;分另將“/ A=Z D”記為，/ OEF= / OFE記為，AB=DC記為，添加、，以為結(jié)論構(gòu)成命題 1;添加條件、，以為結(jié) 論構(gòu)成命題2,命題1是 命題，命題2是 命題（選擇“真”或“假”填入空格）【例 2 】已知 AB=DC, AE= DF, CF= FB 求證：AF= DE【解法指導(dǎo)

5、】想證AF= DE,首先要找出 AF和DE所在的三角形,AF在4AFB和AAEF中，而 DE在4CDE和4DEF中，因而只需證明 ABB DCE或 AEF DFE即可.然后再根據(jù)已知條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件證明： FB= CEFB+ EF= CE+ EF,即 BE= CFAB DC在 ABE 和 DCF 中，AE DFBE CF AB DCF (SSSZ B=Z CAB DC在 ABF和ADCE中,Z B z C.ABB DCEAF= DEBF CE【變式題組】01.如圖，AD、BE是銳角 ABC的高，相交于點(diǎn) O,若BO= AC, BC= 7, CD= 2,則AO的長(zhǎng)為（）23C. 4D.

6、 5關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!02.如圖，在 ABC 中，AB=AC, Z BAC= 90, AE 是過(guò) A 點(diǎn)的一條直線， AE CE 于 E, BD AET D, DE= 4cm, CE= 2cm,貝U BD=.03.(北京)已知：如圖，在 ABC中，/ ACB= 90, CD AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE= BC,過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交 CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.求證：AB= FC.例3 如圖， AB8 DEF7,將4ABC和4DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合，把 DEF 繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí) AC與DF相交于點(diǎn)O.當(dāng) DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn) B (E)、C、D在同一直線上時(shí)，

7、/ AFD與/ DCA的數(shù) 量關(guān)系是；當(dāng) DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 .【解法指導(dǎo)】/ AFD= / DCA/AFD= / DCA 理由如下：由 AB8 DEF,，AB=DE, BC= EF, Z ABC= /DEF /BAC= / EDF/ ABC- / FBC= / DEF- / CBF，/ ABF= / DECAB DE在 ABF和 DEC中，Z ABF / DECBF EC AB三 DEC / BAF= / DEC/ BAC- / BAF= / EDF- / EDC / FAC= / CDF / AOD= / FAC+ / AFD= / CD斗 / DCA

8、./ AFD= / DCA關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!【變式題組】01.（紹興）如圖，D、E分別為 ABC的AC BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿 DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn) P處.若/CD 48,則/ APD等于（4248525802.如圖，RtAABC沿直角邊A. AB DEFC. AC= DFBC所在的直線向右平移得到 DEF,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）B.D./ DEE 90EC= CF03. 一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi),得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上.求證：AB ED;若PB= BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，

9、并證明例4 （第21屆江蘇競(jìng)賽試題）已知，如圖， BD、CE分別是 ABC的邊A C和AB邊 上的高，點(diǎn) P在BD的延長(zhǎng)線，BP= AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ= AB.求證： AP= AQ;AP XAQQCBZ 2. .APB AQAC,CA.經(jīng)觀察，證【解法指導(dǎo)】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等AP= AQ,也就是證 APD和 AQE,或 APB和 QAC全等，由已知條件 BP= AC, CQ= AB, 應(yīng)該證 APg QAC,已具備兩組邊對(duì)應(yīng)相等，于是再證夾角 Z1= Z2即可.證API AQ, 即證/ PAQ= 90, / PAD+ / QAC= 90就可以.證明：:

10、BD、CE分別是 ABC的兩邊上的高， ./ BDA= / CEA= 90,，/1 + /BAD= 90, /2 + /BAD= 90,，/1 = /2.AB在 APB 和 QAC 中，/ 1 .AP = AQ關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧! APg AQAC,/ P= / CAQ . . / P+ / PAA 90 / CAQ+ / PAD- 90,APXAQ【變式題組】01.如圖，已知 AB= AE, / B= / E, BA= ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證:02.（湖州市競(jìng)賽試題）如圖，在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm,梯

11、子傾斜角為45。，這間房子的寬度是A.m2B.m203.如圖，已知五邊形 ABCDE中, 邊形ABCDE的面積為C. bmD. am/ ABC= Z AED- 90,AB= CD- AE= BC+ DE=2,貝U五直距離MA為am,此時(shí)梯子的傾斜角為 75。，如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面的墻演練鞏固反饋提高01.（海南）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則/a度數(shù)是（） TOC o 1-5 h z 02.如圖， ACg AA/C/B/, / BCB=30,則 / ACA 的度數(shù)是（）A. 20B, 30 C. 35D, 4003.（牡丹江）尺規(guī)作圖作/ AOB的平分線方法如下：以。為圓心，任意長(zhǎng)為半

12、彳5畫弧交 OA、OB于C、D,再分另以點(diǎn) C D為圓心，以大于 1CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,2作射線OP,由作法得 OCPODP的根據(jù)是（）關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!SAS B. ASAC. AAS D. SSS04.（江西）如圖，已知 AB= AD,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定AB8 ADC的A. CB= CDC. / BCA= / DCA/ BAC= / DACD.Z B=Z D=9005.有兩塊不同大小的等腰直角三角板ABCA BDE,將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，如圖，當(dāng)A、B D不在一條直線上時(shí)，下面的結(jié)論不正確的是（）A. AA

13、BE CBDB. / ABE= / CBDZABC= Z EBD= 45D. AC/ BE06.如圖， ABC和共頂點(diǎn) A, AB= AE, / 1 = / 2, / B= Z E. BC交 AD于 M, DE交 AC于N,小華說(shuō)：“一定有 AB8AED.”小明說(shuō)：“ABM0AEN.”那么（）A.小華、小明都對(duì)B.小華、小明都不對(duì)C.小華對(duì)、小明不對(duì)D.小華不對(duì)、小明對(duì)07.如圖，已知 AC= EC BC= CD, AB= ED,如果/ BCA= 119 , Z ACD= 98，那么/ ECA的度 數(shù)是.08.如圖， AB8 ADE, BC 延長(zhǎng)線交 DE 于 F, /B=25，/ACB= 1

14、05 , / DAC= 10 , 則/ DFB的度數(shù)為.09.如圖，在 RtABC 中，/C= 90, DE AB 于 D, BC= BD. AC= 3,那么 AE+ DE=.如圖，BA AC, CD/ AB.BC= DE,且BC DE,若AB=2,CD= 6,貝UAE=.如圖，AB= CD, AB/ CD. BC= 12cm,同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn) C出發(fā)，沿CB方向爬行,t為多少時(shí)， AP QDC.P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s.求爬行時(shí)間關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!.如圖, ABC中，/ BCA= 90 , AC= BC, 為F,過(guò)B作BD BC交CF的延

15、長(zhǎng)線于 D. 求證：AE= CD;若AC= 12cm,求BD的長(zhǎng).（吉林）如圖， AB= AC, AD BC于點(diǎn)D, AD等于AE, AB平分/ DAE交DE于點(diǎn)F,請(qǐng)你寫出圖中三對(duì)全等三角形，并選取其中一對(duì)加以證明.如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上,l的垂線，垂足分別為 D、E.找出圖中的全等三角形，并加以證明；若DE= a,求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補(bǔ)形法）.如圖，AC1BQ AD BD, AD= BC, CEAB, DF AB,垂足 分別是E、F.求證：CE= DF.CDAB那么在什么.我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等,情況下，

16、它們會(huì)全等？閱讀與證明：對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形, 對(duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形, 對(duì)于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形,顯然它們?nèi)?；可證明它們?nèi)龋ㄗC明略） 它們也全等，可證明如下;已知 ABC A1B1C1 均為銳角三角形， AB=A1B1, BC= B1O, / C= / A1BiC1.（請(qǐng)你將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整）Ci.求證： ABCC歸納與敘述：由可得一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)你寫出這個(gè)結(jié)論關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)01.如圖，在 ABC中，AB=AC, E、F分別是 AB、AC上的點(diǎn)，且 AE= AF, BF、CE相交于點(diǎn)O,連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則圖中全

17、等三角形有（）B. 5對(duì)C. 6對(duì) D. 7對(duì)A. 4對(duì)02.如圖，在 ABC中,AB=AC, OC= OD,下列結(jié)論中：/ A=/BDE= CEL,連接 TOC o 1-5 h z DE,則OE平分/ AOB,正確的是（）A. B.C.D,03.如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且 AC= CE, /1 = /2=/3,則DE的長(zhǎng)等于（）A. DCB. BCC. ABD.AE+ AC04.下面有四個(gè)命題，其中真命題是（）A.兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等B.兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D.兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩

18、個(gè)三角形全等05.在 ABC中，高 AD和BE所在直線相交于 H點(diǎn)，且BH= AC,則/ ABC=.06.如圖，EB交 AC于點(diǎn) M,交 FC于點(diǎn) D, AB交 FC于點(diǎn) N, / E= / F= 90, /B=/C, AE = AF.給出下列結(jié)論：/1 = /2;BE= CF;4ACN ABM;CD= DB,其中正確的結(jié)論有 .（填序號(hào)）07.如圖，AD為在4ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F,且有BF= AC, FD= CD.求證：BEX AC;若把條件 BF= AC和結(jié)論 BEX AC互換，這個(gè)命題成立嗎？證明你的判定08.如圖,求證：AC= 2AE.D為在 ABC的邊BC上一

19、點(diǎn)，且 CD= AB, / BDA= / BAD, AE是4ABD的中線.09.如圖，在凸四邊形 ABCD中，E為4ACD內(nèi)一點(diǎn)，滿足 AC= AD, AB= AE, / BAE+ Z BCE關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧!= 90, /BAC= /EAD.求證：/ CED= 90.（沈陽(yáng)）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放，其中/ ACB= Z DEB=90, / A=/ D=30,點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交 AC所在直線于點(diǎn) F.求證：AF+ EF= DE若將圖中 DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 “，且0“ 60 ,其他條件不變, 請(qǐng)?jiān)趫D中畫出變換后的圖形，并直接寫出（1）中結(jié)論是否仍然成立；若將圖中 DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角&且6003 180淇他條件不變，如圖你認(rèn)為（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。DABC中，D是BC邊.（竦州市高中提前招生考試）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:在 ABC中，AB= 5, AC= 13,求BC邊上的中線 AD的取值范圍 小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流