工學(xué)第六節(jié)行列式按行列展開(kāi)課件

1、線性代數(shù)講義設(shè)計(jì)制作王新心8/4/2022第1頁(yè)，共36頁(yè)。（一）余子式和代數(shù)余子式1.6 行列式按行（列）展開(kāi)（二）行列式按行（列）展開(kāi)8/4/2022第2頁(yè)，共36頁(yè)。一般而言，第一章 行列式低階行列式比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)單，所以有時(shí)會(huì)考慮用較低階行列式來(lái)表示較高階行列式。 【定義】在階行列式中，將元留下的所在的第行和第列的元素劃去后，階行列式稱為元的余子式，記作稱為元的代數(shù)余子式。（一）余子式和代數(shù)余子式8/4/2022第3頁(yè)，共36頁(yè)。例如四階行列式第一章 行列式元的余子式和代數(shù)余子式分別為8/4/2022第4頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式 【引理】一個(gè)階行列式，的所有元素除元外都為0

2、，那么這個(gè)行列如果其中第 行即等于與它的代數(shù)余子式的乘積，證先證的情形，此時(shí)（二）行列式按行（列）展開(kāi)8/4/2022第5頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式有這是上節(jié)例4中當(dāng)時(shí)的特殊情況，再證一般情形又從而此時(shí)8/4/2022第6頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式為了利用上面結(jié)論，調(diào)換：對(duì)的行列作如下行、第1行對(duì)調(diào)，這樣數(shù)就調(diào)成元，將的第行依次與第行、第調(diào)換的次數(shù)為次；再將第列依次與第這樣數(shù)就調(diào)列、第列、第1列對(duì)調(diào)，成元，調(diào)換次數(shù)為次?？傊?，經(jīng)次調(diào)換，將數(shù)調(diào)成了元，所得的行列式8/4/2022第7頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式有第1行其余元素都為0，利用前面的結(jié)果，于是而中元的余子式就是中元的余子式。由于的

3、元為，證畢8/4/2022第8頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式 【定理】行列式等于它的任一行（列）的各元素與之對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證8/4/2022第9頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式8/4/2022第10頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式根據(jù)引理得類(lèi)似地，若按列證明得此定理稱為行列式按行（列）展開(kāi)法則。利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算?？梢院?jiǎn)化8/4/2022第11頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式解例1計(jì)算上節(jié)中行列式8/4/2022第12頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式8/4/2022第13頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式證例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式利用數(shù)學(xué)歸納法8/4/2

4、022第14頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式（1）式成立。所以當(dāng)時(shí)，成立，要證（1）式對(duì)階范德蒙德行列式成立假設(shè)（1）式對(duì)于階范德蒙德行列式為此設(shè)法將降階，從第行開(kāi)始，后行減去前行的倍，有8/4/2022第15頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式按第1列展開(kāi)，并將每列的公因子提出，有8/4/2022第16頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式按歸納法假設(shè)，上式右端的行列式是階范德蒙德行列式，它等于所有因子的乘積其中，故證畢8/4/2022第17頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式故例如行列式是一個(gè)范德蒙德行列式8/4/2022第18頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式 【推論】行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)

5、余子式乘積之和等于零，即證將行列式按第行展開(kāi)8/4/2022第19頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式在上式中，可得將換成，8/4/2022第20頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式上式右端行列式中有兩行對(duì)應(yīng)元素第行第行當(dāng)時(shí)，8/4/2022第21頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式相同，故行列式等于零，證畢即得上述證法如按列進(jìn)行，即可得8/4/2022第22頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式綜合定理3及推論，重要性質(zhì)：或有關(guān)于代數(shù)余子式的當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中當(dāng)當(dāng)8/4/2022第23頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式按照上述推論中所用的方法，在行列式按第行展開(kāi)式中，用依次代替，可得8/4/2022第24頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式事實(shí)

6、上，將式左端行列式按第行展開(kāi)，它的元的代數(shù)余子式等于中元8/4/2022第25頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式的代數(shù)余子式，類(lèi)似地，也可知式成立。用代替中的第列，可得8/4/2022第26頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式例3設(shè)求的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，及8/4/2022第27頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式等于即用代替的第1行所得的行列式，解由式可知，8/4/2022第28頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式由式可知8/4/2022第29頁(yè)，共36頁(yè)。內(nèi)容小結(jié)第一章 行列式1、行列式按行（列）展開(kāi)8/4/2022第30頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式2、代數(shù)余子式的性質(zhì)或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中當(dāng)當(dāng)8/4/2022第31頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式1、設(shè)數(shù)余子式。解求的值，其中為元素的代備用題8/4/2022第32頁(yè)，共36頁(yè)。第一章 行列式2、設(shè)階行列式求第一行各元素代數(shù)余子式之和8/4/2022第33頁(yè)，共3