2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版選修3教學(xué)案：3第二課時(shí)組合的應(yīng)用含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時(shí)組合的應(yīng)用高砂老點(diǎn)魏維1匕名后一點(diǎn)就通錯(cuò)誤!有限制條件的yI組合問(wèn)題例1 2011年7月23日，甬溫線發(fā)生特大鐵路交通事故，某 醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴事故現(xiàn)場(chǎng)搶救傷員，其中這10 名醫(yī)療專家中有4名是外科專家.問(wèn)：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少 種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？思路點(diǎn)撥選取醫(yī)療專家不需要考慮順序，因此是組合問(wèn)題， 解答本題應(yīng)首先分清“恰有” “至少” “至多”的含義，正確的分 類或分步.精解詳析 (1)分兩步:首先從4名外科專家中任選2名， 有C錨

2、種選法，再?gòu)某饪茖＜业?人中選取4人，有C錯(cuò)誤!種選法， 所以共有C錯(cuò)誤! C錯(cuò)誤！ = 90種抽調(diào)方法.“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精法一(直接法):按選取的外科專家的人數(shù)分類：選2名外科專家，共有C錯(cuò)誤! C錯(cuò)誤!種選法；選3名外科專家，共有C錯(cuò)誤! C錯(cuò)誤!種選法；選4名外科專家，共有C錯(cuò)誤! C錯(cuò)誤!種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有C錯(cuò)誤！C錯(cuò)誤！ + C錯(cuò)誤！ C錯(cuò)誤！ + C錯(cuò)誤！ C錯(cuò)誤！ = 185種抽調(diào)方法.法二(間接法):不考慮是否有外科專家，共有C鋤種選法，若選取 1名外科專家參加，有 &C5種選法；沒(méi)有外科專家參加，有c錯(cuò)誤！種選

3、 法，所以共有C錯(cuò)誤！-C錯(cuò)i！C錯(cuò)誤！-C錯(cuò)誤！ = 185種抽調(diào)方法.“至多2名”包括“沒(méi)有” “有1名” “有2名”三種情 況，分類解答.沒(méi)有外科專家參加，有 C錯(cuò)誤！種選法；有1名外科專家參加，有C錯(cuò)誤! C錯(cuò)誤!種選法；有2名外科專家參加，有C錯(cuò)誤！C錯(cuò)誤！種選法.所以共有C6, 6+C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！ +C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！ = 115種抽調(diào)方法.一點(diǎn)通(1 )解決有約束條件的組合問(wèn)題與解決有約束條 件的排列問(wèn)題的方法一樣，都是遵循“誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先”的原則，在 此前提下，采用分類或分步法或用間接法.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精 TOC o 1-5 h z (2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞，如“至

4、少” “至多”含”等的確切含義，正確分類，合理分步.(3)要謹(jǐn)防重復(fù)或遺漏，當(dāng)直接法中分類較復(fù)雜時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略.某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選 5 名選手參加比賽，種子選手都必須在內(nèi)，那么不同的選手共有()A. 26B. 84C. 35D. 21解析：從7名隊(duì)員中選出3人有C錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤! =35種選法.答案:C2.從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分 隊(duì),要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有()A. 70種B. 80種C. 100種D. 140種解析：可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名.，共有 C

5、錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！ +C錯(cuò)誤！C錯(cuò)誤！ = 70種.答案：A3.某醫(yī)科大學(xué)的學(xué)生中，有男生12名女生8名在某市人民醫(yī)院學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精實(shí)習(xí)，現(xiàn)從中選派5名參加青年志愿者醫(yī)療隊(duì).(1)某男生甲與某女生乙必須參加，共有多少種不同的選法 ？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙二人至少有一人參加，有多少種選法？解：(1)只需從其他18人中選3人即可，共有選法 C錯(cuò)誤! = 816 種.(2)只需從其他18人中選5人即可，共有選法C錯(cuò)誤! = 8 568種.(3)分兩類：甲、乙中只有一人參加，則有 C錯(cuò)誤！ C錯(cuò)誤!種選法；甲、乙兩人都參加，則有 C3, 18種選法.故共有選法 C1

6、, 2C4, 18+ C38=6 936種。幾何中的組合問(wèn)題例2 平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此外無(wú)3 點(diǎn)共線.(1)經(jīng)過(guò)這9個(gè)點(diǎn)，可確定多少條直線？(2)以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)三角形 ？(3)以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四邊形？思路點(diǎn)撥解答本題可用直接法或間接法進(jìn)行.精解詳析法一(直接法)：學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精共線的4點(diǎn)記為A, B, C, Do（1）第一類:A,B,C, D確定1條直線；第二類：A,B, C,D以外的5個(gè)點(diǎn)可確定C錯(cuò)誤!條直線；（2分）第三類：從A, B, C,D中任取1點(diǎn)，其余5點(diǎn)中任取1點(diǎn)可確 定C錯(cuò)誤！ C錯(cuò)誤！條直線.（3分）根據(jù)分類加法

7、計(jì)數(shù)原理，共有不同直線1+ C2+C 錯(cuò)誤！C 錯(cuò)誤！ = 1+10+ 20= 31 條.（4分）（2）第一類：從A, B,C D中取2個(gè)點(diǎn)，可得C4c錯(cuò)誤!個(gè)三角形；第二類：從A, B, C,D中取1個(gè)點(diǎn)，可得C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤!個(gè)三角形；第三類：從其余5個(gè)點(diǎn)中任取3點(diǎn)，可得C錯(cuò)誤!個(gè)三角形.共有C2C錯(cuò)t吳! + C錯(cuò)誤！。群吳! + C錯(cuò)誤！ = 80個(gè)三角形.（8分）（3）分三類：從其余5個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)，3個(gè),2個(gè)點(diǎn)共得C錯(cuò)誤! 十C錯(cuò)誤！C錯(cuò)誤！ + C錯(cuò)誤！C錯(cuò)誤! = 105個(gè)四邊形.（12分）法二（間接法）：學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(1)可確定直線 C錯(cuò)吳！ 一 C錯(cuò)tS! +

8、1 = 31條.(2)可確定三角形 C錯(cuò)誤！ C錯(cuò)ag = 80個(gè).(3)可確定四邊形 C錯(cuò)誤！ C錯(cuò)aC錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！ = 105個(gè).一點(diǎn)通利用組合知識(shí)解決與幾何有關(guān)的問(wèn)題，要注意：幾 何圖形的隱含條件：如三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線；四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) 中任意三點(diǎn)都不共線等.根據(jù)實(shí)際情況選擇直接法或間接法. 確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，合理分類. 土盤做臬朝竺二.從正方體ABCD.A B C D的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)，作 為四面體的頂點(diǎn)，可得到的不同四面體的個(gè)數(shù)為()C錯(cuò)誤！ 12C. C錯(cuò)誤！一6C錯(cuò)誤！ 8D. C錯(cuò)誤！一4解析：從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)有C錯(cuò)誤!種方法，其中6個(gè)面和6個(gè) 對(duì)角面上的四個(gè)頂點(diǎn)不能

9、作為四面體的頂點(diǎn)，故有 (C錯(cuò)誤! 一12)個(gè)不 同的四面體.答案：A.正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三 角形共有個(gè).解析:C錯(cuò)誤！ 3=32。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精答案：32.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有 m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成 個(gè)平行四邊形.解析：第一步，從m條中任選2條有C錯(cuò)誤!種選法；第二步，從n條中任選2條有C錯(cuò)誤!種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有 C2, mC錯(cuò)誤!。答案：cmcn方法.規(guī)律.小給解有限制條件的組合應(yīng)用題的基本方法是“直接法”和“間接法”（排除法）.（i）用直接法求解時(shí)，則應(yīng)堅(jiān)持“特殊元素優(yōu)先選取“特殊位置優(yōu)先安排”的

10、原則.（2）選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問(wèn)題分的類較多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大，特別是涉及“至多” “至少”等組 合問(wèn)題時(shí)更是如此.不妨從反面問(wèn)題入手，試試看是否簡(jiǎn)捷些.此時(shí)， 正確理解“都不是” “不都是” “至多” “至少”等詞語(yǔ)的確切含 義是解決這些組合問(wèn)題的關(guān)鍵.錯(cuò)誤!源下訓(xùn)絳經(jīng)典化,貴在觸圭旁囪學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1. 9件產(chǎn)品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現(xiàn)在要 從中抽出4件產(chǎn)品，抽出產(chǎn)品中至少有 2件一等品的抽法種數(shù)為 （）A. 81B. 60C. 6D. 11解析:分三類：恰有2件一等品 而C錯(cuò)誤! C錯(cuò)誤! =60種取法；恰有3件一等品而C錯(cuò)誤!

11、 C錯(cuò)誤! =20種取法；恰有4件一等品，有C錯(cuò)誤! = 1種取法.抽法種數(shù)為60+ 20+ 1 = 81。答案:A.以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有（）A. 6 個(gè)B. 12個(gè)C. 18個(gè)D. 30個(gè)解析：從6個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)有C6=15種取法，其中四點(diǎn)共面 的有3種.所以滿足題意的四面體有15-3= 12個(gè).答案：B.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為（）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A. 85B. 56C. 49D. 28解析：由條件可分為兩類：一類是甲、乙兩人只有一人入選， 有C錯(cuò)誤！ C錯(cuò)誤！ =42種不同選法，另一類是甲

12、、乙都入選，有C錯(cuò)誤！ C 錯(cuò)誤！ =7種不同選法，所以共有42+ 7= 49種不同選法.答案:C4.在某種信息傳輸過(guò)程中用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許 重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和 1,則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為( )A. 10B. 11C. 12D. 15解析：與信息0110至多有兩個(gè)位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同的信息包括三類：第一類：與信息0110只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有 C錯(cuò)誤!= 6個(gè)；第二類：與信息0110只有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有 C錯(cuò)誤!= 4個(gè)；第三類：與信息0110沒(méi)有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有 C錯(cuò)誤!=學(xué)

13、必求其心得，業(yè)必貴于專精1個(gè).與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6+4+ 1 = 11 個(gè).答案:B.（大綱全國(guó)卷）從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)，2 名二等獎(jiǎng)，3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有種.（用數(shù)字作答）解析：第一步?jīng)Q出一等獎(jiǎng)1名有C1, 6種情況，第二步?jīng)Q出二等 獎(jiǎng)2名有C錯(cuò)誤!種情況，第三步?jīng)Q出三等獎(jiǎng) 3名有C錯(cuò)a種情況，故 可能的決賽結(jié)果共有 C錯(cuò)t! = 60種情況.答案：60.某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中 A, B, C三門由于上 課時(shí)間相同，至多選一門.學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修 4門，共有 種不同選彳t方案.（用數(shù)字作答）解析：分兩類完成：第一類，

14、A, B, C三門課程都不選，有C4,就中不同的選修方案； 第二類A, B, C三門課程恰好選修一門，有 C錯(cuò)誤！ Y錯(cuò)t種不 同選修方案.故共有C鐲! + C錯(cuò)誤！ C鐲! = 75種不同的選修方案.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精答案：75. 12件產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品從這12件產(chǎn)品中任意 抽出3件.(1洪有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？解：(1X C32= 220種抽法.(2)分兩步:先從2件次品中抽出1件有C錯(cuò)誤!種方法;再?gòu)?0件 正品中抽出2件有C； 10種方法，所以共有C錯(cuò)誤! C錯(cuò)誤！ =90種抽法.(3)法一(直接法)：分兩類：即包括恰有1件次品和恰有2 件次品兩種情況，與(2)小題類似共有C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！ +C錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！ = 100 種抽法.法二(間接法):從12件產(chǎn)品中任意抽出3件有C3, 12種方法， 其中抽出的3件全是正品的抽法有 C錯(cuò)誤!種方法，所以共有C錯(cuò)誤!一 C；0=100種抽法. 10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只， 試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果：(1)4只鞋子沒(méi)有成雙的；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4只鞋子恰成兩雙；4只鞋中有2只成雙，另2只不成雙.解：(1)從10雙鞋子中選取4雙方C錯(cuò)誤!種不同選法