最新挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題匯總(精選)

1、挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題匯總(精選)第一部分 函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題1.1 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線yax2bx（a0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AOBO2，AOB120（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）連結(jié)OM，求AOM的大??；（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，有兩種情況，ABC與AOM相似請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，有兩種情況，ABC與AOM相似點(diǎn)擊

2、按鈕的左部和中部，可到達(dá)相似的準(zhǔn)確位置。思路點(diǎn)撥1第（2）題把求AOM的大小，轉(zhuǎn)化為求BOM的大小2因?yàn)锽OMABO30，因此點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，恰好有ABCAOM3根據(jù)夾角相等對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論ABC與AOM相似滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)A作AHy軸，垂足為H在RtAOH中，AO2，AOH30，所以AH1，OH所以A因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(2,0)兩點(diǎn)，設(shè)yax(x2)，代入點(diǎn)A，可得 圖2所以拋物線的表達(dá)式為（2）由，得拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為所以所以BOM30所以AOM150（3）由A、B(2,0)、M，得，所以ABO30，因此當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，ABCAOM150ABC與A

3、OM相似，存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時(shí)，此時(shí)C(4,0)如圖4，當(dāng)時(shí)，此時(shí)C(8,0) 圖3 圖4考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果ABC與BOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)如圖5，因?yàn)锽OM是30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角為30的等腰三角形，ABAC，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)圖5如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)

4、P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時(shí)刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)B，可以體驗(yàn)到，存在OQAB的時(shí)刻，也存在OQAB的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子

5、表示3第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)Q最大的可能在經(jīng)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點(diǎn)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當(dāng)，即時(shí)，BQAQOA所以解得所以符合題意的點(diǎn)Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點(diǎn)Q，那么OQC90。因此OCQ

6、QOA當(dāng)時(shí)，BQAQOA此時(shí)OQB90所以C、Q、B三點(diǎn)共線因此，即解得此時(shí)Q(1,4)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很近，這與OB4OC矛盾如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m

7、的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BHEH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，EC與BF保持平行，但是BFC在無限遠(yuǎn)處也不等于45觀察右圖，可以體驗(yàn)到，CBF保持45，存在BFCBCE的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF

8、，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時(shí)，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么因此解得所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4）如圖3，過點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時(shí)，BCEFBC設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45交拋物線于F

9、，過點(diǎn)F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時(shí)，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點(diǎn)伸展第（4）題也可以這樣求BF的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長(zhǎng)例4 2018年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面

10、積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)I上下運(yùn)動(dòng)，觀

11、察圖形和圖象，可以體驗(yàn)到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在DM上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點(diǎn)撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點(diǎn)G在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G

12、在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個(gè)公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時(shí)GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，

13、假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3例5 2017年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo),圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按

14、鈕“P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個(gè)情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗(yàn)到，E是AC的中點(diǎn)時(shí)，DCA的面積最大思路點(diǎn)撥1已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)3按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線

15、的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點(diǎn)

16、構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2017年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DEBC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PDQ90（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)圖1 備用圖動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13虹口25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PDM與QDN保持相似觀察PDF

17、，可以看到，P、F可以落在對(duì)邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13虹口25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對(duì)邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況思路點(diǎn)撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形PDF時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如圖2，過點(diǎn)D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是A

18、BC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時(shí)，PM1此時(shí)所以如圖4，當(dāng)BP2，P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM5此時(shí)所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時(shí)，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD5時(shí)，QNCQCN541（如圖3所示）此時(shí)所以如圖6，當(dāng)QCQD時(shí)，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時(shí)所以不存在DPDF的情況這是因?yàn)镈FPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點(diǎn)伸展

19、如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例2 2017年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12揚(yáng)州27”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PA

20、C的周長(zhǎng)最小拖動(dòng)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，觀察MAC的三個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點(diǎn)M有1次機(jī)會(huì)落在AC的垂直平分線上；點(diǎn)A有2次機(jī)會(huì)落在MC的垂直平分線上；點(diǎn)C有2次機(jī)會(huì)落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點(diǎn)共線思路點(diǎn)撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)PAC的周長(zhǎng)最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點(diǎn)C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1當(dāng)點(diǎn)P

21、落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)最小設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H由，BOCO，得PHBH2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時(shí)，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時(shí)，AM2AC2解方程4m210，得此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時(shí)，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1, 6)時(shí)，M、A、C三

22、點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)圖3 圖4 圖5例3 2017年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，O和B以及OB的垂直平分線與拋物線的對(duì)稱軸有一個(gè)共同的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O與對(duì)稱軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12臨

23、沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形思路點(diǎn)撥1用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點(diǎn)B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時(shí)，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)

24、共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時(shí)，BP216所以解得當(dāng)PBPO時(shí)，PB2PO2所以解得綜合、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么DOA與OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點(diǎn)為因此所以DOA30，ODA120例4 2017年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或

25、線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動(dòng)點(diǎn)R由B向O運(yùn)動(dòng)，從圖象中可以看到，APR的面積有一個(gè)時(shí)刻等于8觀察APQ，可以體驗(yàn)到，P在OC上時(shí)，只存在APAQ的情況；P在CA上時(shí)，有三個(gè)時(shí)刻，APQ是等腰三角形思路點(diǎn)撥1把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問題2求APR的面積等于8，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論事實(shí)上，P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高是定值4，

26、最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，點(diǎn)P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45保持

27、不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們?cè)賮碛懻揚(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，解方程，得如圖6，當(dāng)QPQA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當(dāng)PAPQ時(shí)，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時(shí)，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時(shí)，也可以用來求解例5 2010年南通市中考第27題如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）連結(jié)DE，作EFDE，EF與射線BA交

28、于點(diǎn)F，設(shè)CEx，BFy（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若m8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動(dòng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)，觀察y隨x變化的函數(shù)圖象，可以體驗(yàn)到，y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下對(duì)照?qǐng)D形和圖象，可以看到，當(dāng)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，y取得最大值雙擊按鈕“m8”，拖動(dòng)E到BC的中點(diǎn)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)F是AB的四等分點(diǎn)拖動(dòng)點(diǎn)A可以改變m的值，再拖動(dòng)圖象中標(biāo)簽為“y隨x” 的點(diǎn)到射線yx上，從圖形中可以看到，此時(shí)DCEEBF思路點(diǎn)撥1證明DCEEBF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以得

29、到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式2第（2）題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值3第（3）題頭緒復(fù)雜，計(jì)算簡(jiǎn)單，分三段表達(dá)一段是說理，如果DEF為等腰三角形，那么得到xy；一段是計(jì)算，化簡(jiǎn)消去m，得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結(jié)合，代入求出對(duì)應(yīng)的m的值滿分解答(1)因?yàn)镋DC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因?yàn)镃B90，所以DCEEBF因此，即整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為(2)如圖2，當(dāng)m8時(shí)，因此當(dāng)x4時(shí)，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因?yàn)镈CEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（

30、如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展本題中蘊(yùn)涵著一般性與特殊性的辯證關(guān)系，例如：由第（1）題得到，那么不論m為何值，當(dāng)x4時(shí)，y都取得最大值對(duì)應(yīng)的幾何意義是，不論AB邊為多長(zhǎng)，當(dāng)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結(jié)論的一個(gè)特殊性再如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因?yàn)榉匠炭傆幸粋€(gè)根的第（3）題是這個(gè)一般性結(jié)論的一個(gè)特殊性例 6 2009年江西省中考第25題如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF/BC交CD于點(diǎn)F，AB4，BC6，B60（1）求點(diǎn)E到BC的距離；（2）點(diǎn)P為線

31、段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMEF交BC于M，過M作MN/AB交折線ADC于N，連結(jié)PN，設(shè)EPx當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（如圖2），PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)P，使PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2 圖3動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09江西25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在EF上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)N在AD上時(shí)，PMN的形狀不發(fā)生改變，四邊形EGMP是矩形，四邊形BMQE、四邊形ABMN是平行四邊形，PH與NM互相平分當(dāng)N在DC上時(shí)，PMN的形狀發(fā)生變化，但是CMN

32、恒為等邊三角形，分別雙擊按鈕“PMPN”、“MPMN”和“NPNM”，可以顯示PMN為等腰三角形思路點(diǎn)撥1先解讀這個(gè)題目的背景圖，等腰梯形ABCD的中位線EF4，這是x的變化范圍平行線間的距離處處相等，AD與EF、EF與BC間的距離相等2當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)，PMN中PM和MN的長(zhǎng)保持不變是顯然的，求證PN的長(zhǎng)是關(guān)鍵圖形中包含了許多的對(duì)邊平行且相等，理順線條的關(guān)系很重要3分三種情況討論等腰三角形PMN，三種情況各具特殊性，靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)解題滿分解答（1）如圖4，過點(diǎn)E作EGBC于G在RtBEG中，B60，所以，所以點(diǎn)E到BC的距離為（2）因?yàn)锳D/EF/BC，E是AB的中點(diǎn)，所以F是DC的中

33、點(diǎn)因此EF是梯形ABCD的中位線，EF4如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)，PMN的形狀不是否發(fā)生改變過點(diǎn)N作NHEF于H，設(shè)PH與NM交于點(diǎn)Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四邊形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因?yàn)镻M與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四邊形ABMN中，MNAB4因此PMN的周長(zhǎng)為4 圖4 圖5當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)，CMN恒為等邊三角形如圖5，當(dāng)PMPN時(shí)，PMC與PNC關(guān)于直線PC對(duì)稱，點(diǎn)P在DCB的平分線上在RtPCM中，PM，PCM30，所以MC3此時(shí)M、P分別為BC、EF的中點(diǎn)，x2如圖6，

34、當(dāng)MPMN時(shí)，MPMNMC，xGMGCMC5如圖7，當(dāng)NPNM時(shí)，NMPNPM30，所以PNM120又因?yàn)镕NM120，所以P與F重合此時(shí)x4綜上所述，當(dāng)x2或4或5時(shí)，PMN為等腰三角形 圖6 圖7 圖8考點(diǎn)伸展第（2）題求等腰三角形PMN可以這樣解：如圖8，以B為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），MNMC6m，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）由兩點(diǎn)間的距離公式，得當(dāng)PMPN時(shí)，解得或此時(shí)當(dāng)MPMN時(shí)，解得，此時(shí)當(dāng)NPNM時(shí)，解得，此時(shí)1.3 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2017年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）

35、，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13山西26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到OB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CQMD和四邊形CQ

36、BM都是平行四邊形拖動(dòng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，DBQ和BDQ可以成為直角請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13山西26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到OB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形拖動(dòng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，DBQ和BDQ可以成為直角思路點(diǎn)撥1第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長(zhǎng)，再根據(jù)MQDC列方程2第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個(gè)準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論3第（3）題BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,

37、0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，可得，所以MQ當(dāng)MQDC8時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3（3）存在兩個(gè)符合題意的點(diǎn)Q，分別是(2,0)，(6,4)考點(diǎn)伸展第（3）題可以這樣解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)DBQ90時(shí)， 所以解得x6此時(shí)Q(6,4)如圖4，當(dāng)BDQ90時(shí)， 所以解得x2此時(shí)Q(2,0)圖3 圖4例1 2017年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

38、側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)E(4, 0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12廣州24”，拖動(dòng)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12廣州24”，拖動(dòng)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)思路點(diǎn)撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以

39、知道符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)2當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M有2個(gè)；當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，符合AMB90的點(diǎn)M只有1個(gè)3靈活應(yīng)用相似比解題比較簡(jiǎn)便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對(duì)稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為因?yàn)锳C/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標(biāo)為

40、圖2 圖3（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是考點(diǎn)伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C，因此可以過點(diǎn)C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點(diǎn)C例3 2017年杭州市中考第22題

41、在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(1,k)（1）當(dāng)k2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12杭州22”，拖動(dòng)表示實(shí)數(shù)k的點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)k0并且在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大觀察拋物線的頂點(diǎn)Q與O的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)Q有兩次可以落在圓上請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12杭州22”，拖動(dòng)表示實(shí)數(shù)k的點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，

42、可以體驗(yàn)到，當(dāng)k0并且在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大觀察拋物線的頂點(diǎn)Q與O的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)Q有兩次可以落在圓上 思路點(diǎn)撥1由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是題目中的k都是一致的2由點(diǎn)A(1,k)或點(diǎn)B(1,k)的坐標(biāo)還可以知道，A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O3根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，當(dāng)Q落在O上是，ABQ是以AB為直徑的直角三角形滿分解答（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過點(diǎn)A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是當(dāng)k2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當(dāng)k0時(shí)

43、，拋物線的開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對(duì)稱軸是直線 圖1所以當(dāng)k0且時(shí)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，當(dāng)OQOAOB時(shí)，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖4，已知經(jīng)過原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線yx對(duì)稱時(shí)，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因?yàn)锳、C可以無

44、限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)A與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例4 2011年浙江省中考第23題設(shè)直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線（1）已知直線；和點(diǎn)C(0，2)，則直線_和_是點(diǎn)C的直角線（填序號(hào)即可）；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過B、P兩點(diǎn)的直線為l1，過A、P兩點(diǎn)的直線為l2，若l1與l2是點(diǎn)P的直角線，求直線l1與l2的解析式 圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OC上

45、運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APB有兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角，此時(shí)BCPPOA答案（1）直線和是點(diǎn)C的直角線（2）當(dāng)APB90時(shí)，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當(dāng)OP6時(shí)，l1：， l2：y2x6如圖3，當(dāng)OP1時(shí)，l1：y3x1， l2：圖2 圖3例5 2010年北京市中考第24題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2,n)在這條拋物線上（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE到點(diǎn)D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C、D也隨之運(yùn)動(dòng)）當(dāng)?shù)?/p>

46、腰直角三角形PCD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長(zhǎng)；若點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)）過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)QF到點(diǎn)M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N也隨之運(yùn)動(dòng)）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10北京24”，拖動(dòng)點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，兩個(gè)等腰直角三角形的邊有三個(gè)時(shí)刻可以共線思路點(diǎn)撥1這個(gè)題

47、目最大的障礙，莫過于無圖了2把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長(zhǎng)3點(diǎn)C的坐標(biāo)始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計(jì)算此刻OP的長(zhǎng)4當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形有邊共線時(shí)，會(huì)產(chǎn)生新的等腰直角三角形，列關(guān)于t的方程就可以求解了滿分解答(1) 因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn)，所以 解得，（舍去）因此所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）(2) 如圖4，設(shè)OP的長(zhǎng)為t，那么PE2t，EC2t，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3t, 2t)當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，解得如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P、Q重合此時(shí)3t10解得如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角

48、形，PQPE此時(shí)解得如圖3，當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此時(shí)解得 圖1 圖2 圖3考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值如圖5，當(dāng)P、Q重合時(shí)，兩圓內(nèi)切，如圖6，當(dāng)兩圓外切時(shí)， 圖4 圖5 圖6例6 2009年嘉興市中考第24題如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成ABC，設(shè)（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09嘉興24”，拖動(dòng)點(diǎn)B在AN上運(yùn)

49、動(dòng)，可以體驗(yàn)到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；CAB和ACB可以成為直角，CBA不可能成為直角；觀察函數(shù)的圖象，可以看到，圖象是一個(gè)開口向下的“U”形，當(dāng)AB等于1.5時(shí)，面積達(dá)到最大值思路點(diǎn)撥1根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍2分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性3把ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實(shí)根若AB為斜邊，則，解得，

50、滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當(dāng)或時(shí)，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，設(shè)，ABC的面積為S，則如圖2，若點(diǎn)D在線段AB上，則移項(xiàng)，得兩邊平方，得整理，得兩邊平方，得整理，得所以（）當(dāng)時(shí)（滿足），取最大值，從而S取最大值 圖2 圖3如圖3，若點(diǎn)D在線段MA上，則同理可得，（）易知此時(shí)綜合得，ABC的最大面積為考點(diǎn)伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運(yùn)算：設(shè)，例如在圖2中，由列方程整理，得所以因此例 7 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)

51、B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)M從A向B運(yùn)動(dòng)，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗(yàn)到，當(dāng)M在AO上時(shí)，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當(dāng)M在OB上時(shí)，S隨t的增大而增大觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4觀察MON的形狀，可以體驗(yàn)到，MON可以兩次成為直角三

52、角形，不存在ONM90的可能思路點(diǎn)撥1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90的可能滿分解答（1）直線與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、與y軸的交點(diǎn)C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點(diǎn)N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當(dāng)M在AO上時(shí)，OM2

53、t，此時(shí)定義域?yàn)?t2如圖3，當(dāng)M在OB上時(shí)，OMt2，此時(shí)定義域?yàn)?t5 圖2 圖3把S4代入，得解得，（舍去負(fù)值）因此，當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S4的情形，此時(shí)如圖4，當(dāng)OMN90時(shí)，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當(dāng)OMN90時(shí)，N與C重合，不存在ONM90的可能所以，當(dāng)或者時(shí)，MON為直角三角形 圖4 圖5考點(diǎn)伸展在本題情景下，如果MON的邊與AC平行，求t的值如圖6，當(dāng)ON/AC時(shí)，t3；如圖7，當(dāng)MN/AC時(shí)，t2.5 圖6 圖7例8 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形

54、；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)M從A向B運(yùn)動(dòng)，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗(yàn)到，當(dāng)M在AO上時(shí)，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當(dāng)M在OB上時(shí)，S隨t的增大而增大觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4觀察MON的形狀，可以

55、體驗(yàn)到，MON可以兩次成為直角三角形，不存在ONM90的可能思路點(diǎn)撥1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90的可能滿分解答（1）直線與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、與y軸的交點(diǎn)C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點(diǎn)N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所

56、以如圖2，當(dāng)M在AO上時(shí)，OM2t，此時(shí)定義域?yàn)?t2如圖3，當(dāng)M在OB上時(shí)，OMt2，此時(shí)定義域?yàn)?t5 圖2 圖3把S4代入，得解得，（舍去負(fù)值）因此，當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S4的情形，此時(shí)如圖4，當(dāng)OMN90時(shí)，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當(dāng)OMN90時(shí)，N與C重合，不存在ONM90的可能所以，當(dāng)或者時(shí)，MON為直角三角形 圖4 圖5考點(diǎn)伸展在本題情景下，如果MON的邊與AC平行，求t的值如圖6，當(dāng)ON/AC時(shí)，t3；如圖7，當(dāng)MN/AC時(shí)，t2.5 圖6 圖71.4 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2017年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線yx

57、2bxc經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點(diǎn) （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動(dòng)點(diǎn)N在直線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，以M、N、C、B為頂點(diǎn)的平行四邊形有4個(gè)，符合MN在拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個(gè)請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13松江24”，拖動(dòng)點(diǎn)N在直線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，MN有4次機(jī)會(huì)等于3，這說明以M、N、C、B為頂點(diǎn)的平行四邊形有4個(gè)，而符合MN在拋物線的對(duì)稱

58、軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個(gè)思路點(diǎn)撥1第（2）題求ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角ABO的角直角三角形2第（3）題解方程MNyMyNBC，并且檢驗(yàn)x的值是否在對(duì)稱軸左側(cè)滿分解答（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入yx2bxc，得 解得，c1所以拋物線的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以O(shè)B5如圖2，過點(diǎn)A作AHOB，垂足為H在RtAOH中，OA1，所以 圖2所以， 在RtABH中，（3）直線AB的解析式為設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，那么當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時(shí)，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因?yàn)閤3在對(duì)稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點(diǎn)M的

59、坐標(biāo)為（如圖3）圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題如果改為：點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)那么求點(diǎn)M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如圖5）所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)：，圖5例2 2017年福州市中考第21題如圖1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD/BC，交AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PQ點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)

60、端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12福州21”，拖動(dòng)左圖中的點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段拖動(dòng)右圖中的點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)PQ/AB時(shí)，四邊形PDBQ為菱形請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12福州21”，拖動(dòng)點(diǎn)Q向上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)