2021-2022學(xué)年河南省鶴壁市?？h?？h高一下學(xué)期7月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年河南省鶴壁市?？h?？h高一下學(xué)期7月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知，且，則的值是（）A5B6C3D4A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以故選：A.2設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B根據(jù)線面平行的位置關(guān)系及直線的方向向量、平面的法向量定義再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得：，則“”是“”的必要條件，而不一定有，也可能，則“”不是“”的充分條件.故選：B.3如圖，在四面體中，點(diǎn)在棱上，且滿足，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，則用向量，表示向量應(yīng)為（）ABCDA【分

2、析】利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，所以故選：A4如圖在長方體中，設(shè)，則等于（）A1B2C3DA利用向量加法化簡，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確結(jié)果.【詳解】由長方體的性質(zhì)可知，所以.故選：A5下列關(guān)于傾斜角的說法中正確的是（）A任意一條直線有唯一的傾斜角B一直線的傾斜角可以為C若直線的傾斜角為0，則該直線與軸重合D若直的傾斜角為，則A【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，即可得出答案.【詳解】任意一條直線都有唯一的傾斜角，選項(xiàng)A正確；直線傾斜角的取值范圍是，所以直線的傾斜角不可以為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若直線的

3、傾斜角為0，則該直線與軸重合或平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€的傾斜角的取值范圍是，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A6已知點(diǎn)、，若線段的垂直平分線的方程是，則實(shí)數(shù)的值是（）ABCDC【分析】分析可知，直線的斜率為，且線段的中點(diǎn)在直線上，可列出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式組，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的值.【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，由題意知，直線的斜率為，所以，解得.故選：C.7如果且，那么直線不通過（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限C【分析】根據(jù)且，得，則直線方程可化為斜截式，再根據(jù)的符號(hào)，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以直線方程可化為因?yàn)榍遥酝?hào)，異號(hào)，從而有，所以直線

4、的斜率為負(fù)，且在y軸上的截距為正，所以直線不經(jīng)過第三象限故選：C8已知若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)的值為（）A0BC9DD【分析】由題意得出共面，由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，共面，則，其中x，yR，則(7，5，)=(2x，-x，3x)+(-y，4y，-2y)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)，解得故選：D.9二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知，則該二面角的大小為ABCDC【分析】將向量轉(zhuǎn)化成，然后等式兩邊同時(shí)平方表示出向量的模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量與的夾角，而向量與的夾角就是二面角的補(bǔ)角【

5、詳解】由條件，知=62+42+82+268cos，cos，即=120，所以二面角的大小為60，故選C本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題10在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）ABCDC畫出四面體，建立坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.【詳解】四面體是由正方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的，如下圖所示建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為故選：C本題主要考查了利用向量法求

6、異面直線夾角的余弦值，屬于中檔題.11在正四棱柱中, ，動(dòng)點(diǎn) 分別在線段上，則線段 長度的最小值是ABCDC【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，PQ取最小值 ，選C.二、多選題12如圖，已知在長方體中，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A四棱錐的體積為B存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長取得最小值C當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，在直線上存在點(diǎn)，使得D存在唯一一點(diǎn)，使得平面，且ABC【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；將長方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用勾股定理求出的長，可判斷C選項(xiàng)的

7、正誤；利用空間向量法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】長方體中，對(duì)于A，平面，平面，故平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖1所示，平面，平面，則，平面，且，故，同理可得，所以，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形為平行四邊形，則四邊形的周長為，將長方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面內(nèi)，如圖2所示，則的最小值為展開面中的長度，此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，所以四邊形的周長的最小值為，B對(duì)；對(duì)于，即，所以，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，則，解得，即，D

8、錯(cuò).故選：ABC.三、填空題13已知點(diǎn)，則在上的投影向量的長度為_.【分析】計(jì)算，根據(jù)投影公式得到答案.【詳解】由已知得，又，所以在上的投影向量的長度為.故答案為.14將直線繞其與x軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到直線，則在y軸上的截距為_【分析】根據(jù)的方程可以求出的傾斜角，及與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)與傾斜角的關(guān)系確定的傾斜角，利用直線點(diǎn)斜式寫出方程即可判斷直線在y軸上的截距.【詳解】易知的傾斜角為，所以的傾斜角為，又由題意知過點(diǎn)，所以的方程為，即，從而可知在y軸上的截距為故15已知，直線，且 ，則的最小值為_8【分析】先根據(jù)直線垂直關(guān)系得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，?/p>

9、.因?yàn)?，所?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故816在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G為的重心，則PG與底面ABCD所成角的正弦值為_首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出PG的方向向量及面ABCD的法向量，然后代入公式計(jì)算即可，【詳解】如圖，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，則重心，因而，設(shè)PG與底面ABCD所成的角為，則.四、解答題17求滿足下列條件的直線方程：（1）已知、，求的邊上的中線所在的直線方程；（2）過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.（1）；（2）或.【分析】（1）先計(jì)算中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式寫出直線方程，

10、即得結(jié)果；（2）分類討論直線是否過原點(diǎn)兩種情況，分別設(shè)直線方程，再將點(diǎn)P代入計(jì)算，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可知，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)，所以的邊上的中線所在的直線方程為：，即；（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，過點(diǎn)，直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，過點(diǎn)，直線方程為，即.故所求直線的方程為或.18如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM2A1M，C1N2B1N設(shè)，（1）試用，表示向量；（2）若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的長（1）；（2）.【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及

11、向量模的求法即可求解.【詳解】解：（1）（），又，（2）ABACAA11，|1BAC90，0BAA1CAA160，|2（）2（222），|19已知向量.（1）若，求的值;（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)作，求點(diǎn)到直線的距離.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平行滿足的性質(zhì)求解即可；（2）先求在上的投影，再根據(jù)勾股定理求解即可【詳解】（1）， ，即，解得.（2）由條件知，故在上的投影為 ，又點(diǎn)到直線的距離.20已知直線（1）求證：無論為何實(shí)數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)；（2）若直線過點(diǎn)，且與軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸圍成三角形面積最小，求直線的方程（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）解方程組，可得定

12、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，分析可得，求出該直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得出三角形面積關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最小值，利用等號(hào)成立可求得的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）證明：將直線的方程化為，解方程組，解得，故直線恒過定點(diǎn)；（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為，即.21如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，求二面角的正弦值（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)

13、；（2）方法一：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）方法一【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論在棱上取點(diǎn)，使得，連接、，如圖1所示.在長方體中，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，因此點(diǎn)在平面內(nèi).方法二：空間向量共線定理以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示設(shè)，則所以故所以，點(diǎn)在平面內(nèi)方法三：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以故所以點(diǎn)在平面內(nèi)方法四：根據(jù)題意，如圖3，設(shè)在平面內(nèi)，因?yàn)?，所以延長交于G，平面，平面，所以

14、平面平面延長交于H，同理平面平面由得，平面平面連接，根據(jù)相似三角形知識(shí)可得在中，同理，在中，如圖4，在中，所以，即G，H三點(diǎn)共線因?yàn)槠矫?，所以平面，得證方法五：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)聯(lián)結(jié)，由長方體知識(shí)知，體對(duì)角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即，則經(jīng)過點(diǎn)O，故點(diǎn)在平面內(nèi)（2）方法一【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.方法二：定義法在中，即，所以在中，如圖6，設(shè)的中

15、點(diǎn)分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角在中，所以，則方法三：向量法由題意得，由于，所以如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，則與的夾角即為二面角的大小由，得其中，解得，所以二面角的正弦值方法四：三面角公式由題易得，所以設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個(gè)面角公式，得，所以【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過證明直線，根據(jù)平面的基本事實(shí)二的推論即可證出，思路直接，簡單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實(shí)三通過證明三點(diǎn)共線說明點(diǎn)在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實(shí)以及平行四邊形的對(duì)角線和長方體的體對(duì)角線互相平分即可證出（2

16、）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個(gè)平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個(gè)向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出22如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求證：AA1平面ABC；（）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得ADA1B，并求的值.（）見解析（）（）【分析】把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作證求”的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第（）題，求解有難度，可以空間向量完成.（）因?yàn)闉檎叫危?因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C，所以平面ABC.