高中數(shù)學(xué)選修第一冊：3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版選擇性必修第一冊）

1、3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握拋物線的幾何性質(zhì)(重點) 2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題(重點)3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、弦中點等問題(難點)1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運算3、邏輯推理【自主學(xué)習(xí)】1拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)焦點eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2

2、)準(zhǔn)線 范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對稱軸頂點離心率e 2.焦點弦直線過拋物線y22px(p0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|AF|x1eq f(p,2)，|BF|x2eq f(p,2)，故|AB| .3直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系： 、 和 設(shè)直線ykxm與拋物線y22px(p0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，將ykxm代入y22px，消去y并化簡，得k2x22(mkp)xm20.k0時，直線與拋物線只有 交點；k0時，0直線與拋物線 有 公共點0直線與拋物線 只有 公共點0直線與拋物線

3、公共點【小試牛刀】1拋物線關(guān)于頂點對稱( )2拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心( )3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同( )4拋物線y22px過焦點且垂直于對稱軸的弦長是2p( )5拋物線yeq f(1,8)x2的準(zhǔn)線方程為xeq f(1,32)( )【經(jīng)典例題】題型一 拋物線性質(zhì)的應(yīng)用把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負(fù)(2)關(guān)系：頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸(3)定值：焦點到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.例1 (1)

4、已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸且與圓x2y24相交的公共弦長等于2eq r(3)，則拋物線的方程為_(2)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，求拋物線的方程跟蹤訓(xùn)練1 已知拋物線y28x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦點F是OAB的重心，求OAB的周長題型二 直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線交點問題的解題思路(1)判斷直線與拋物線的交點個數(shù)時，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元

5、二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0.若該方程為一元二次方程，則利用判別式判斷方程解的個數(shù)(2)直線與拋物線有一個公共點時有兩種情形：(1)直線與拋物線的對稱軸重合或平行；(2)直線與拋物線相切例2已知直線l：ykx1，拋物線C：y24x，當(dāng)k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點跟蹤訓(xùn)練2若拋物線y24x與直線yx4相交于不同的兩點A，B，求證OAOB.題型三 中點弦及弦長公式“中點弦”問題解題方法例3已知拋物線方程為y22px(p0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，跟蹤訓(xùn)練3 過點Q(4,1)作拋物線y28x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線

6、的方程題型四 拋物線的綜合應(yīng)用例4 求拋物線yx2上的點到直線4x3y80的最小距離跟蹤訓(xùn)練4 如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點為坐標(biāo)原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，證明：直線AB的斜率為定值【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1在拋物線y216x上到頂點與到焦點距離相等的點的坐標(biāo)為()A(4eq r(2)，2)B(4eq r(2)，2)C(2,4eq r(2)D(2，4eq r(2)2以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為()Ay28x

7、 By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y3若拋物線y22x上有兩點A、B且AB垂直于x軸，若|AB|2eq r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為()Aeq f(1,2) Beq f(1,4) Ceq f(1,6) Deq f(1,8)4設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A是拋物線上一點，若eq o(OA,sup8()eq o(AF,sup8()4，則點A的坐標(biāo)是()A(2，2eq r(2)B(1，2)C(1,2)D(2,2eq r(2)5過點P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個交點的直線有()A4條 B3條C2條 D1條6過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于A(

8、x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1x26，則|AB|_.7已知AB是過拋物線2x2y的焦點的弦，若|AB|4，則AB的中點的縱坐標(biāo)是_8已知拋物線xy2與過點(1,0)且斜率為k的直線相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積等于eq r(10)時，求k的值9.已知yxm與拋物線y28x交于A，B兩點(1)若|AB|10，求實數(shù)m的值；(2)若OAOB，求實數(shù)m的值10.已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為eq f(,4)的直線l被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】xeq f(p,2) xeq f(p,2) yeq f(p,2)

9、 yeq f(p,2) x軸 y軸 (0,0) 1 x1x2p 相離 相切 相交一個 相交 兩個 相切 一個 相離 沒有【小試牛刀】 【經(jīng)典例題】例1 (1)y23x或y23x根據(jù)拋物線和圓的對稱性知，其交點縱坐標(biāo)為eq r(3)，交點橫坐標(biāo)為1，則拋物線過點(1，eq r(3)或(1，eq r(3)，設(shè)拋物線方程為y22px或y22px(p0)，則2p3，從而拋物線方程為y23x或y23x.(2)解如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)|BF|a，則由已知得：|BC|2a，由定義得：|BD|a，故BCD30，在RtACE中，|AF|4，|AC|43a，2|AE|AC|，4

10、3a8，從而得aeq f(4,3)，BDFG，eq f(f(4,3),p)eq f(2,3)，p2.因此拋物線的方程是y24x.跟蹤訓(xùn)練1 解(1)拋物線y28x的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x2，x軸，x0.(2)如圖所示，由|OA|OB|可知ABx軸，垂足為點M，又焦點F是OAB的重心，則|OF|eq f(2,3)|OM|.因為F(2,0)，所以|OM|eq f(3,2)|OF|3，所以M(3,0)故設(shè)A(3，m)，代入y28x得m224；所以m2eq r(6)或m2eq r(6)，所以A(3,2eq r(6)，B(3，2eq r(6)，所以|O

11、A|OB|eq r(33)，所以O(shè)AB的周長為2eq r(33)4eq r(6).例2 解聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y24x，)消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)當(dāng)k0時，(*)式只有一個解xeq f(1,4)，y1，直線l與C只有一個公共點eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1)，此時直線l平行于x軸當(dāng)k0時，(*)式是一個一元二次方程，(2k4)24k216(1k)當(dāng)0，即k1，且k0時，l與C有兩個公共點，此時直線l與C相交；當(dāng)0，即k1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；當(dāng)1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離綜上所

12、述，當(dāng)k1或0時，l與C有一個公共點；當(dāng)k1時，l與C沒有公共點跟蹤訓(xùn)練2 證明由eq blcrc (avs4alco1(y24x，,yx4，)消去y，得x212x160.直線yx4與拋物線相交于不同兩點A，B，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x212，x1x216.eq o(OA,sup8()eq o(OB,sup8()x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，eq o(OA,sup8()eq o(OB,sup8()，即OAOB.例3 解由題意知焦點Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，設(shè)A(

13、x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx軸，則|AB|2peq f(5,2)p，不滿足題意所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為ykeq blc(rc)(avs4alco1(xf(p,2)，k0.由eq blcrc (avs4alco1(ykblc(rc)(avs4alco1(xf(p,2)，,y22px，)消去x，整理得ky22pykp20.由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2eq f(2p,k)，y1y2p2.所以|AB|eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2)y1y22)eq r(1f(1,k2)eq r(y1y224y1y2)2peq blc(rc)(avs4a

14、lco1(1f(1,k2)eq f(5,2)p，解得k2.所以AB所在的直線方程為2xyp0或2xyp0.跟蹤訓(xùn)練3 解法一：(點差法)設(shè)以Q為中點的弦AB的端點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有yeq oal(2,1)8x1，yeq oal(2,2)8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即eq f(y1y2,x1x2)4，kAB4.AB所在直線的方程為y14(x4)，即4xy150.法二：由題意知AB所在直線斜率存在，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直線的方程為yk(x4)1.聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1

15、(y28x，,ykx41，)消去x，得ky28y32k80，此方程的兩根就是線段端點A，B兩點的縱坐標(biāo)由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2eq f(8,k).又y1y22，k4.AB所在直線的方程為4xy150.例4 解方法一設(shè)A(t，t2)為拋物線上的點，則點A到直線4x3y80的距離deq f(|4t3t28|,5)eq f(|3t24t8|,5)eq f(1,5)eq blc|rc|(avs4alco1(3blc(rc)(avs4alco1(tf(2,3)2f(4,3)8)eq f(1,5)eq blc|rc|(avs4alco1(3blc(rc)(avs4alco1(tf(2,3)2f(20,3

16、)eq f(3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(2,3)2eq f(4,3).所以當(dāng)teq f(2,3)時，d有最小值eq f(4,3).方法二如圖，設(shè)與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，由eq blcrc (avs4alco1(yx2，,4x3ym0，)消去y得3x24xm0，1612m0，meq f(4,3).故最小距離為eq f(blc|rc|(avs4alco1(8f(4,3),5)eq f(f(20,3),5)eq f(4,3).跟蹤訓(xùn)練4 解(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，則由點P(1,2)在拋物線上，得222p1，解得p2

17、，故所求拋物線的方程是y24x，準(zhǔn)線方程是x1.(2)證明：因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，所以kPAkPB，即eq f(y12,x11)eq f(y22,x21).又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1eq f(yoal(2,1),4)，x2eq f(yoal(2,2),4)，從而有eq f(y12,f(yoal(2,1),4)1)eq f(y22,f(yoal(2,2),4)1)，即eq f(4,y12)eq f(4,y22)，得y1y24，故直線AB的斜率kABeq f(y1y2,x1x2)eq f(4,y1y2)1.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.D拋物線y216x的頂點O(

18、0,0)，焦點F(4,0)，設(shè)P(x，y)符合題意，則有eq blcrc (avs4alco1(y216x，,x2y2x42y2)eq blcrc (avs4alco1(y216x，,x2)eq blcrc (avs4alco1(x2，,y4r(2).)所以符合題意的點為(2，4eq r(2)2.C解析設(shè)拋物線方程為y22px或y22px(p0)，依題意得xeq f(p,2)，代入y22px或y22px得|y|p，2|y|2p8，p4.拋物線方程為y28x或y28x.3.A線段AB所在的直線方程為x1，拋物線的焦點坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，則焦點到直線

19、AB的距離為1eq f(1,2)eq f(1,2).4.B由題意知F(1,0)，設(shè)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),4)，y0)，則eq o(OA,sup8()eq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),4)，y0)，eq o(AF,sup8()eq blc(rc)(avs4alco1(1f(yoal(2,0),4)，y0)，由eq o(OA,sup8()eq o(AF,sup8()4得y02，點A的坐標(biāo)為(1，2)，故選B.5.B解析當(dāng)直線垂直于x軸時，滿足條件的直線有1條；當(dāng)直線不垂直于x軸時，滿足條件的直線有2條，故選B.6.8解析

20、因為直線AB過焦點F(1,0)，所以|AB|x1x2p628.7.eq f(15,8)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線2x2y，可得peq f(1,4).|AB|y1y2p4，y1y24eq f(1,4)eq f(15,4)，故AB的中點的縱坐標(biāo)是eq f(y1y2,2)eq f(15,8).8.解過點(1,0)且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由方程組eq blcrc (avs4alco1(xy2，,ykx1，)消去x整理得ky2yk0，14k20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)之間的關(guān)系得y1y2eq f(1,k)，y1y21.設(shè)直線與x軸交于點N，顯然N點的坐標(biāo)為(1,0)SOABSOANSOBNeq f(1,2)|ON|y1|eq f(1,2)|ON|y2|eq f(1,2)|ON|y1y2|，SAOBeq f(1,2)1eq r(y1y224y1y2)eq f(1,2)eq r(f(1,k2)4)eq r(10)，解得keq f