高中數(shù)學(xué)選修第一冊：3.1.2 第2課時 直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用 -2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版選擇性必修第一冊）

1、3.1.2 第2課時 直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系2能運用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運算3、邏輯推理【自主學(xué)習(xí)】1點與橢圓的位置關(guān)系點P(x0，y0)與橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的位置關(guān)系：點P在橢圓上 ；點P在橢圓內(nèi)部 ；點P在橢圓外部 2直線與橢圓的位置關(guān)系直線ykxm與橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的位置關(guān)系：聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,f(x2,a2)f(y2,b

2、2)1，)消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程位置關(guān)系解的個數(shù)的取值相交 解 相切 解 相離 解 【小試牛刀】(1)點P(2,1)在橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,9)1的內(nèi)部()(2)過橢圓外一點一定能作兩條直線與已知橢圓相切()(3)過點A(0,1)的直線一定與橢圓x2eq f(y2,2)1相交()(4)長軸是橢圓中最長的弦()(5)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)與點P(b,0)，過點P可作出該橢圓的一條切線()(6)直線yk(xa)與橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的位置關(guān)系是相交 ( )【經(jīng)典例題】題型一點與橢圓位置關(guān)系的判斷已知

3、點P(k,1)，橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，點P在橢圓外，則實數(shù)k的取值范圍為_跟蹤訓(xùn)練1 已知點(1,2)在橢圓eq f(y2,n)eq f(x2,m)1(nm0)上，則mn的最小值為_題型二 直線與橢圓的位置關(guān)系代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則0直線與橢圓相交；0直線與橢圓相切；b0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),a2)f(yoal(2,1),b2)1，,f(xo

4、al(2,2),a2)f(yoal(2,2),b2)1，)由，得eq f(1,a2)(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)eq f(1,b2)(yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)0，變形得eq f(y1y2,x1x2)eq f(b2,a2)eq f(x1x2,y1y2)eq f(b2,a2)eq f(x0,y0)，即kABeq f(b2x0,a2y0).2求弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求弦長(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)e

5、q blc(rc)(avs4alco1(或|P1P2|r(1f(1,k2)r(y1y224y1y2)，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長提醒：如果直線方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情況例3 已知斜率為1的直線l過橢圓eq f(x2,4)y21的右焦點F，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長例4 已知橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,4)1的弦AB的中點M的坐標(biāo)為(2,1)，求直線AB的方程跟蹤訓(xùn)練3 過橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,4)1內(nèi)一點M(2,1)引一條弦，使弦被M點平分(1)求此弦所在的直

6、線方程；(2)求此弦長題型四 與橢圓有關(guān)的綜合問題例5 橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)經(jīng)過點A(2,0)，且離心率為eq f(r(2),2).(1)求橢圓E的方程；(2)過點P(4,0)任作一條直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N.在x軸上是否存在點Q，使得PQMPQN180？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1若點P(a,1)在橢圓eq f(x2,2)eq f(y2,3)1的外部，則a的取值范圍為()Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3),3)，f(2r(3),3) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(2r

7、(3),3)，)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(2r(3),3) Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，)Deq blc(rc)(avs4alco1(，f(4,3)2若直線l：2xby30過橢圓C：10 x2y210的一個焦點，則b等于()A1 B1 C1 D23直線yx1被橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,2)1所截得的弦的中點坐標(biāo)是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(5,3) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(7,3) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,

8、3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(13,2)，f(17,2)4已知橢圓的方程是x22y240，則以M(1,1)為中點的弦所在直線的方程是()Ax2y30 B2xy30 Cx2y30 D2xy305已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()Aeq f(r(6),3)Beq f(r(3),3) Ceq f(r(2),3) Deq f(1,3)6橢圓x24y216被直線yeq f(1,2)x1截得的弦長為_7求過點(3,0)且斜率為eq f(4,5)的

9、直線被橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,16)1所截得的線段的長度8設(shè)橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)過點(0,4)，離心率為eq f(3,5).(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為eq f(4,5)的直線被C所截線段的中點的坐標(biāo)【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】eq f(xoal(2,0),a2)eq f(yoal(2,0),b2)1 eq f(xoal(2,0),a2)eq f(yoal(2,0),b2)1. 兩 0 一 0 無 1，解得keq f(3r(3),2).跟蹤訓(xùn)練1 9 解析依題意得，eq f(1,m)eq f(4,n)1，而mn(

10、mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(4,n)1eq f(4m,n)eq f(n,m)45eq f(4m,n)eq f(n,m)52eq r(f(4m,n)f(n,m)9，當(dāng)且僅當(dāng)n2m時等號成立，故mn的最小值為9.例2 解直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組eq blcrc (avs4alco1(y2xm，,f(x2,4)f(y2,2)1，)消去y，得9x28mx2m240.方程的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)當(dāng)0，即3eq r(2)m3eq r(2)時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個公共點

11、(2)當(dāng)0，即m3eq r(2)時，方程有兩個相同的實數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有且只有一個公共點(3)當(dāng)0，即m3eq r(2)或m3eq r(2)時，方程沒有實數(shù)解，可知原方程組沒有實數(shù)解這時直線l與橢圓C沒有公共點跟蹤訓(xùn)練2 解由已知條件知直線l的方程為ykxeq r(2)，代入橢圓方程得eq f(x2,2)(kxeq r(2)21，整理得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)k2)x22eq r(2)kx10，直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k24eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)k2)4k220，解得keq f

12、(r(2),2)或keq f(r(2),2)，所以k的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(，f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，).例3 解設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由橢圓方程知a24，b21，ceq r(a2b2)eq r(3)，F(xiàn)(eq r(3)，0)，直線l的方程為yxeq r(3)，將其代入橢圓方程，并化簡、整理得5x28eq r(3)x80，x1x2eq f(8r(3),5)，x1x2eq f(8,5)，|AB|eq r(1k2)|x1x2|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq

13、 r(2)eq f(r(8r(3)2458),5)eq f(8,5).例4 解方法一根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式法由橢圓的對稱性，知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y1k(x2)將其代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，于是x1x2eq f(82k2k,4k21).又M為線段AB的中點，eq f(x1x2,2)eq f(42k2k,4k21)2，解得keq f(1,2).故所求直線的方程為x2y40.方法二點差法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)為線段AB的

14、中點，x1x24，y1y22.又A，B兩點在橢圓上，則xeq oal(2,1)4yeq oal(2,1)16，xeq oal(2,2)4yeq oal(2,2)16，兩式相減，得(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)4(yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.eq f(y1y2,x1x2)eq f(x1x2,4y1y2)eq f(4,42)eq f(1,2)，即kABeq f(1,2).故所求直線的方程為x2y40.方法三對稱點法(或共線法)設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)，由于點M(2,1)為線段AB的

15、中點，則另一個交點為B(4x,2y)A，B兩點都在橢圓上，eq blcrc (avs4alco1(x24y216， ,4x242y216. )，得x2y40.即點A的坐標(biāo)滿足這個方程，根據(jù)對稱性，點B的坐標(biāo)也滿足這個方程，而過A，B兩點的直線只有一條，故所求直線的方程為x2y40.跟蹤訓(xùn)練3 解(1)法一：設(shè)所求直線方程為y1k(x2)代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個根，于是x1x2eq f(82k2k,4k21).又M為AB的中點，eq f(x1x2,2)eq f(4

16、2k2k,4k21)2，解得keq f(1,2).故所求直線的方程為x2y40.法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)又M(2,1)為AB的中點，x1x24，y1y22.又A，B兩點在橢圓上，則xeq oal(2,1)4yeq oal(2,1)16，xeq oal(2,2)4yeq oal(2,2)16.兩式相減得(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)4(yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.eq f(y1y2,x1x2)eq f(x1x2,4y1y2)eq f(1,2)，即kABeq f

17、(1,2). 又直線AB過點M(2,1)，故所求直線的方程為x2y40.(2)設(shè)弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(x2y40，,f(x2,16)f(y2,4)1，)得x24x0，x1x24，x1x20，|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)eq r(4240)2eq r(5).例5 解(1)由條件可知，橢圓的焦點在x軸上，且a2，又eeq f(c,a)eq f(r(2),2)，得ceq r(2).由a2b2c2得b2a2c22.所求橢圓的方

18、程為eq f(x2,4)eq f(y2,2)1.(2)若存在點Q(m,0)，使得PQMPQN180，則直線QM和QN的斜率存在，分別設(shè)為k1，k2.等價于k1k20.依題意，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為yk(x4)由eq blcrc (avs4alco1(ykx4,f(x2,4)f(y2,2)1)，得(2k21)x216k2x32k240.因為直線l與橢圓C有兩個交點，所以0.即(16k2)24(2k21)(32k24)0，解得k2eq f(1,6).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2eq f(16k2,2k21)，x1x2eq f(32k24,2k21)，y1k(x14

19、)，y2k(x24)，令k1k2eq f(y1,x1m)eq f(y2,x2m)0，(x1m)y2(x2m)y10，當(dāng)k0時，2x1x2(m4)(x1x2)8m0，化簡得，eq f(8m1,2k21)0，所以m1.當(dāng)k0時，也成立所以存在點Q(1,0)，使得PQMPQN180.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.B由題意知eq f(a2,2)eq f(1,3)1，即a2eq f(4,3)，解得aeq f(2r(3),3)或aeq f(2r(3),3).2.B 解析因為橢圓x2eq f(y2,10)1的焦點F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b1或1.3.C解析聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(yx1，,

20、f(x2,4)f(y2,2)1，)消去y，得3x24x20，設(shè)直線與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2eq f(4,3)，故AB的中點橫坐標(biāo)x0eq f(x1x2,2)eq f(2,3).縱坐標(biāo)y0 x01eq f(2,3)1eq f(1,3).4.A解析由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過點M(1,1)的直線方程為yk(x1)1，即ykx1k.由eq blcrc (avs4alco1(x22y240，,ykx1k，)消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以eq f(x1x2,2)eq f(1,2)eq f(4k24k,12k2)1，解得keq f(1

21、,2)，所以所求直線方程為yeq f(1,2)xeq f(3,2)，即x2y30.5.A由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離deq f(2ab,r(a2b2)a，解得aeq r(3)b，eq f(b,a)eq f(1,r(3)，eeq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)sup12(2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(3)sup12(2)eq f(r(6),3).6.eq r(35)由eq blcrc (avs4alco1(x24y216，,yf(1,2)