復(fù)變函數(shù)泛函分析教學(xué)課件

1、泛函分析大家以前多學(xué)過一些數(shù)學(xué)方面的課程，比如分析方面的數(shù)學(xué)分析、實（復(fù)）變函數(shù)等等，都是歸并于經(jīng)典分析，其思想是：如果某個量難以被直接了解，那就將它放到某個變化過程中去考慮，產(chǎn)生了變量、函數(shù)、極限、連續(xù)、微分和積分等基本概念。類似的，如果對某個變量（如函數(shù)）本身難以被直接了解，那能否轉(zhuǎn)而研究一族變動的變量（如函數(shù)空間），然后通過施以變量一定的運算和極限，獲得有關(guān)原變量的知識?國內(nèi)泛函分析方向的數(shù)學(xué)大師南京大學(xué) 曾遠(yuǎn)榮（19031994) 是我國泛函分析的鼻祖 ,后轉(zhuǎn)入計算數(shù)學(xué).在西南聯(lián)大期間,關(guān),田,江和徐利治,楊振寧都聽過課中科院數(shù)學(xué)研究所:關(guān)肇直(1919.2.13-1982.11.12

2、)田方增(1915-)吉林大學(xué) 江澤堅（19212005）復(fù)旦大學(xué) 夏道行(1930-) 山大畢業(yè), 嚴(yán)紹宗 復(fù)旦畢業(yè)泛函分析泛函分析是研究拓?fù)渚€性空間到拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的映射的數(shù)學(xué)分支，用的統(tǒng)一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化，運用代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)等學(xué)科的觀點和方法研究分析學(xué)的課題，可以看作無限維的分析學(xué)。今天，它的觀點和方法已經(jīng)滲入到不少工程技術(shù)的學(xué)科中，起著重要的作用，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。 泛函分析的最基本的內(nèi)容：三個空間，四個定理選擇公理與Zorn引理泛函分析的研究必須首先承認(rèn)一些事情選擇公理：設(shè)C為一個由非空集合所組成的集合,那么，我們可以從每一個在C

3、中的集合中，都選擇一個元素和其所在的集合配成有序?qū)斫M成一個新的集合。Zorn引理：設(shè)（P,）是偏序集，若P的每一個全序子集在P中都有上界，則P必有極大元良序原理：所有集合能被良序化。換句話說，對每一個集合來說，都存在一種排序方法，使得它的所有子集都有極小元素 Zorn引理是集論的一個重要工具，與選擇公理，良序原理都是彼此等價的,主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)上存在性定理的證明，而不具體描述尋求的方法。 基本空間和基本定理距離空間（度量空間）線性賦范空間、Banach空間內(nèi)積空間、Hilbert空間例子以出租車距離定義的平面距離空間;序列空間函數(shù)空間Ca,b;離散距離空間;R上函數(shù)|x-y|2；|x-y|1/

4、2是距離嗎？Hamming距離：X為所有0和1構(gòu)成的三元序組所構(gòu)成的集合（總數(shù)為8）,元素x，y的距離是x，y中不同的對應(yīng)分量的個數(shù)。 在開關(guān)和自動化理論以及編碼理論中都有重要的應(yīng)用。注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收斂的子列，那么 Cauchy序列必是收斂的例子實直線、復(fù)平面都是可分的完備的距離空間離散距離空間X是可分的當(dāng)且僅當(dāng)X是可數(shù)集Lpa,b（p1）在上面定義的距離意義下都是完備的、可分的不可分距離空間，例如有界序列空間 （利用0，1中點是不可數(shù)多個）Ca,b按L1距離就不是完備的,它的完備化空間是L1（存在連續(xù)函數(shù)序列，L1收斂到不連續(xù)的可積函數(shù)） 有理數(shù)點構(gòu)成的距離空間

5、也不完備例：線性代數(shù)Ax=b均可寫成x=Cx+D，如果矩陣C滿足條件|C|1,則該方程有唯一解，且可以由迭代求得練習(xí)：利用壓縮映像原理證明方程x=a sinx只有唯一解x=0，其 中0a1。隱函數(shù)定理：設(shè)函數(shù) f(x,y)在帶狀區(qū)域D中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)。如果存在常數(shù)mM,滿足 則方程f(x,y)=0在區(qū)間a,b上必有唯一的連續(xù)函數(shù)y=g(x)作為解。其中動態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)軌線的存在性和唯一性控制論中，確定性動態(tài)控制系統(tǒng)可以用如下常微分方程來描述x(t)表示時間段T上系統(tǒng)的狀態(tài)軌線（函數(shù)），是n維的向量函數(shù)，u(t)是控制輸入函數(shù)，都視為距離空間中的點。上式等價于如下形式的積分方程

6、：定理：對由上式所描述的系統(tǒng)，假設(shè)T是有界區(qū)間， 是連續(xù)的，即注：只要常微分方程滿足定理條件，就可以利用數(shù)值積分和迭代算法來求方程的近似解（Picard逐次逼近法）定理3（Picard）設(shè) 是矩形 上的二元連續(xù)函數(shù)，設(shè) ，又 在D上關(guān)于x滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)K，使對任意的 ，有 ，那么方程 在區(qū)間 上有唯一的滿足初值條件 的連續(xù)函數(shù)解，其中 壓縮映射原理不僅證明了方程 解的存在性和唯一性，而且也提供了求解的方法逐次逼近法，即只要任取 ，令 ，則解 。如果在（3）中，令 ，則有 （4）（4）式給出了用逼近解x的誤差估計式。 內(nèi)積的性質(zhì)：有界線性算子空間開映射定理定義：設(shè)X,Y是

7、賦范線性空間，T是X到Y(jié)的映射，將X中的開集A映為Y中開集T(A)，則稱映射T是開的線性算子的連續(xù)性賦范線性空間上的有界線性算子T的逆映射是否連續(xù)？與函數(shù)情形是不同的例：同胚映射T是雙射時，T是開映射當(dāng)且僅當(dāng)其逆映射是連續(xù)的例：求積分、微分是互逆的過程，積分算子的有界性并保證不了微分算子是無界的線性算子。逆算子定理閉圖像定理共鳴定理及其應(yīng)用共鳴定理（一致有界原理）共鳴定理的應(yīng)用1.機(jī)械求積公式的收斂性2. Lagrange插值公式的發(fā)散性定理：差值多項式作為連續(xù)函數(shù)的近似表達(dá)時，插值點的無限增多不能更好的逼近插值函數(shù)。3. Fourier級數(shù)的發(fā)散性問題：存在連續(xù)的周期函數(shù)，其Fourier級

8、數(shù)在給定點發(fā)散。Fourier級數(shù)的發(fā)散性問題法國科學(xué)家J.-B.-J.傅里葉由于當(dāng)時工業(yè)上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為熱的解析理論一文中，發(fā)展了熱流動方程，并指出了任意周期函數(shù)都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴(yán)格的論證，但對近代數(shù)學(xué)以及物理、工程技術(shù)卻都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，成為傅里葉分析的起源。 在積分變換中，F(xiàn)-變換是大家熟悉的，為讓 符號與積分的交換，應(yīng)當(dāng)對F-級數(shù)(1)的收斂性加以必要的限制,如一致收斂性。因為可能存在不一致收斂的三角級數(shù)，而它確實表示一個函數(shù) 。大量的事實讓人們誤以為：“的傅里葉級數(shù)一定能收斂于 自身” 總結(jié)人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀