方向?qū)?shù)和梯度

1、關(guān)于方向?qū)?shù)與梯度第一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、方向?qū)?shù)的定義 討論函數(shù) 在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題第二張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，是否存在？第三張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月記為方向?qū)?shù)的幾何意義第四張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月過(guò)直線 作平行于 z 軸的平面 與曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲線記為 C 表示C 的割線向量 即即割線轉(zhuǎn)化為切線第五張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上式極限存在就意味著當(dāng)點(diǎn)趨于點(diǎn) 曲線C在點(diǎn) P0 有唯一的切線它關(guān)于 方向的斜率就是方向?qū)?shù)LCM0TP0PM

2、l第六張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到第七張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故有方向?qū)?shù)第八張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解第九張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知故第十張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義第十一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解令故方向余弦為第十二張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故第十三張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、梯度的概念第十四張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十五張，PPT共三十四頁(yè)，

3、創(chuàng)作于2022年6月在幾何上 表示一個(gè)曲面曲面被平面 所截得所得曲線在xoy面上投影如圖梯度為等高線上的法向量等高線第十六張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月等高線的畫法第十七張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例如,第十八張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月等高線圖舉例這是利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 繪制的曲面及其等高線圖, 帶陰影的等高線圖中, 亮度越大對(duì)應(yīng)曲面上點(diǎn)的位置越高等高線圖帶陰影的等高線圖第十九張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月梯度與等高線的關(guān)系：第二十張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月此時(shí) f ( x , y ) 沿該法線方向的方向?qū)?shù)

4、為 故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)，這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。第二十一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.第二十二張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解由梯度計(jì)算公式得故第二十四張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例5 求函數(shù)沿曲線在點(diǎn)處的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)解一用方向?qū)?shù)計(jì)算公式即要求出從 x 軸正向沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角在兩

5、邊對(duì)x 求導(dǎo)第二十五張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解得（切線斜率）故法線斜率為內(nèi)法線方向的方向余弦為而由得第二十六張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解二用梯度梯度是這樣一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值, 即梯度是函數(shù)在這點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向 從等高線的角度來(lái)看，f ( x , y ) 在點(diǎn) P 的梯度 第二十七張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月方向與過(guò)點(diǎn)P 的等高線 f ( x , y ) = C 在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線等高線為f ( x , y ) = C 即橢圓大于橢圓因此在點(diǎn)處的內(nèi)法線恰好是梯度方向第二十八張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微第二十九張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個(gè)向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系思考題第三十張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題解答第三十一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022