2021-2022學(xué)年廣東省深圳市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】_第1頁(yè)
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1、2021-2022學(xué)年廣東省深圳市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合,則()ABCDA【分析】直接根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】解:因?yàn)椋?故選:A.2設(shè)復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解:,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第二象限.故選:B.3已知向量,且,則()ABCD2D【分析】依題意可得,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)椋?,所以,解得;故選:D4已知,則的值為()ABCDA【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,

2、再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,所以;故選:A5已知直線,與平面,則能使成立的充分條件是()A,B,C,D,C【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷【詳解】選項(xiàng)A中條件得出與可能相交可能平行,不一定垂直,A錯(cuò);選項(xiàng)B中條件得出與可能相交可能平行,不一定垂直,B錯(cuò);選項(xiàng)C中條件,則與過(guò)的平面與的交線(設(shè)為)平行,由得,從而可得,C正確;選項(xiàng)D中,得不出與內(nèi)兩條相交直線垂直,從而不能得出線面垂直、面面垂直,D錯(cuò)故選:C6下列不等式恒成立的是()ABCDD【分析】利用特殊值判斷A、C,利用重要不等式判斷B,作差可判斷D;【詳解】解:對(duì)于A:若、時(shí),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:因?yàn)?,所以,所?/p>

3、,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:若、時(shí),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)?,所以,即,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故D正確;故選:D7如圖,在平行四邊形中,為的中點(diǎn),與交于點(diǎn),則()ABCDA【分析】設(shè),則,再根據(jù)三點(diǎn)共線可求得,再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解:設(shè),則,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,解得,則所以.故選:A.8已知函數(shù),則方程的解的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3C【分析】令,則方程的解的個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象,即可得到兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】解:令,得,則方程的解的個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象,可知兩個(gè)函數(shù)圖象的交

4、點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,故方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)故選:C二、多選題9根據(jù)第七次全國(guó)人口普查結(jié)果,女性人口約為68844萬(wàn)人,總?cè)丝谛詣e比(以女性為100,男性對(duì)女性的比例)為105.07,與2010年第六次全國(guó)人口普查基本持平.根據(jù)下面歷次人口普查人口性別構(gòu)成統(tǒng)計(jì)圖,下面說(shuō)法正確的是()A近20年來(lái),我國(guó)總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢(shì)B歷次人口普查,2000年我國(guó)總?cè)丝谛詣e比最高C根據(jù)第七次全國(guó)人口普查總?cè)丝谛詣e比,估計(jì)男性人口為72334萬(wàn)人D根據(jù)第七次全國(guó)人口普查總?cè)丝谛詣e比,估計(jì)男性人口為73334萬(wàn)人AC【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的數(shù)據(jù)判斷.【詳解】近20年來(lái),我國(guó)總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢(shì),所以A正確;由統(tǒng)計(jì)圖

5、數(shù)據(jù)知,歷次人口普查,1953年我國(guó)總?cè)丝谛詣e比最高,所以B不正確;根據(jù)第七次全國(guó)人口普查總?cè)丝谛詣e比,設(shè)男性人口為,則估計(jì)男性人口為72334萬(wàn)人,故C正確,D不正確.故選:AC.10把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖像,下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是()A最小正周期為B在區(qū)間上的最大值為C圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為D圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線AD【分析】根據(jù)伸縮平移變換可得函數(shù)的解析式,進(jìn)而判斷各選項(xiàng)中圖像性質(zhì).【詳解】的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù),再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù),其最小正周期為,A選項(xiàng)正確;由,得,則當(dāng),即時(shí),取最大值為,B

6、選項(xiàng)錯(cuò)誤;令,得,所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為,所以不成立,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;令,解得,所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,當(dāng)時(shí),D選項(xiàng)正確;故選:AD.11已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),則()A的最小值為B在上單調(diào)遞減C的解集為D存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足ACD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)解析式,即可畫(huà)出函數(shù)圖象,即可判斷;【詳解】解:函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以,所以,所以,函數(shù)圖象如下所示:可得時(shí),在時(shí)取得最小值,由偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),可得在上取得最小值,故A正確;在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;由或,解得或,綜上可得的解集為,故C正確;由,即存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,故D正確;故選:ACD

7、12如圖,在菱形中,將沿折起,使到,點(diǎn)不落在底面內(nèi),若為線段的中點(diǎn),則在翻折過(guò)程中,以下命題中正確的是()A四面體的體積的最大值為1B存在某一位置,使得C異面直線,所成的角為定值D當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),四面體的外接球的半徑為ABD【分析】連接交于,連接,取的中點(diǎn),連接,當(dāng)平面平面時(shí),四面體的體積最大,從而可判斷A;易得,說(shuō)明成立,再根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)即可判斷B;證明異面直線,所成的角即為或其補(bǔ)角,再根據(jù)不為定值,即可判斷C;說(shuō)明即為二面角的平面角,再根據(jù)二面角的余弦值可得,補(bǔ)全為正方體,從而可判斷D.【詳解】解:連接交于,連接,取的中點(diǎn),連接,對(duì)于A,當(dāng)平面平面時(shí),四面體的體積最大,

8、點(diǎn)到平面的距離最大,此時(shí)在菱形中,則都是等邊三角形,則,此時(shí)四面體的體積為,所以四面體的體積的最大值為1,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以,且,由題意,則,當(dāng)時(shí),因?yàn)椋詴r(shí),平面,又平面,所以,所以存在某一位置,使得,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)?,所以異面直線,所成的角即為或其補(bǔ)角,因?yàn)椴粸槎ㄖ担圆粸槎ㄖ?,即異面直線,所成的角不為定值,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)?,所以即為二面角的平面角,則,所以,所以四面體為正四面體,如圖,補(bǔ)全正四面體為正方體,則正方體的棱長(zhǎng)為,則這個(gè)正方體外接球的半徑為,即四面體的外接球的半徑為,故D正確.故選:ABD.三、填空題13計(jì)算的結(jié)果為_(kāi).【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)

9、算性質(zhì)及指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得;【詳解】解:;故14從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),則兩個(gè)數(shù)相差為2的概率是_.【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果,再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),所有可能結(jié)果有、共個(gè)結(jié)果;滿(mǎn)足兩個(gè)數(shù)相差為2的有、共個(gè)結(jié)果;所以?xún)蓚€(gè)數(shù)相差為2的概率;故15正方形邊長(zhǎng)為,以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積為_(kāi)【分析】得到的幾何體為圓柱,從而可求圓柱的側(cè)面積.【詳解】邊長(zhǎng)為1的正方形,繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,得到的幾何體為圓柱,則所得幾何體的側(cè)面積為:,故答案為.16已知若存在,使得,的取值范圍是_.【分析

10、】分,三種情況討論,由題意,分別確定的范圍,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),則,所以,即,所以,則,因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增,所以;當(dāng)時(shí),所以,所以不存在,使得;當(dāng)時(shí),則,因?yàn)?,所以,所以,則,令,則,因?yàn)?,所以,所以,所以,即,所以函?shù)在上遞增,所以,即,綜上所述,的取值范圍是.故答案為.四、解答題17已知函數(shù)()的最小正周期為.(1)求的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.(1)(2)【分析】(1)由最小正周期求出,進(jìn)而得到,代入求值即可;(2)整體法求解函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】(1)由最小正周期公式得:,故,所以,所以(2)令,解得:,故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.是18已知的內(nèi)角,的對(duì)

11、邊分別為,.(1)求的值;(2)若,求的值.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理將角化邊,即可求出;(2)根據(jù)數(shù)量積的定義求出,即可求出,再由余弦定理計(jì)算可得;【詳解】(1)解:因?yàn)?,由正弦定理可得,因?yàn)椋?2)解:因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)?,所以,由余弦定理,所?19已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)若,求的值;(2)若時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到,即可求出,從而得到的解析式,再解方程即可;(2)首先判斷函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合奇偶性與單調(diào)性得到在上恒成立,參變分離可得,恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值,即可得解;【詳解】(1)解:因

12、為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,即,解得,所以,即,則,符合題意,又,即,即,即,即,解得(2)解:因?yàn)?,所以在定義域上單調(diào)遞增,又是定義在上的奇函數(shù),所以在恒成立,等價(jià)于在上恒成立,即在上恒成立,即,恒成立,令,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,、,所以,所以,即;20(身體質(zhì)量指數(shù))是目前國(guó)際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),其計(jì)算公式是.在我國(guó),成人的數(shù)值參考標(biāo)準(zhǔn)為:為偏瘦;為正常;為偏胖;為肥胖.某大學(xué)為了解學(xué)生的身體肥胖情況,研究人員從學(xué)校的學(xué)生體檢數(shù)據(jù)中,采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了60名男學(xué)生,40名女學(xué)生的身高體重?cái)?shù)據(jù),計(jì)算出他(她)們的,整理得到如下的頻

13、率分布表和頻率分布直方圖.同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,用樣本估計(jì)總體.分組頻數(shù)頻率150.15400.40300.30100.1050.05合計(jì)1001.00(1)根據(jù)及頻率分布直方圖,估計(jì)該校學(xué)生為肥胖的百分比;(2)已知樣本中60名男學(xué)生的平均數(shù)為,根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)樣本中40名女學(xué)生的平均數(shù).(1)(2)【分析】(1)由頻率分布直方圖求得的頻率,從而可得該校學(xué)生為肥胖的百分比;(2)先根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本的的平均數(shù),再根據(jù)樣本的的平均數(shù)等于,即可得解.【詳解】(1)解:由頻率分布直方圖可知的頻率為,所以的頻率為,所以估計(jì)該校學(xué)生為肥胖的百分比為;(2)解:樣本的的

14、平均數(shù)為,則,解得,所以估計(jì)樣本中40名女學(xué)生的平均數(shù).21如圖,在四棱錐,底面為梯形,且,等邊三角形所在的平面垂直于底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用面面垂直證明線面垂直,進(jìn)而可得異面直線垂直,可證線面垂直;(2)分別過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)作直線的垂線,再通過(guò)平行,構(gòu)造二面角的平面角,進(jìn)而可得二面角余弦值.【詳解】(1)如圖所示,取中點(diǎn),連接,是正三角形,又平面平面,且平面平面,平面,平面,,且,平面;(2)如圖所示,連接,過(guò)點(diǎn),作,分別與交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),連接,設(shè),則,由(1)得平面,即為直線與平面所成角的平面角

15、,平面,則,解得:,故,且,即,解得,又,所以平面,且,即,解得,所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn),故點(diǎn)也為線段中點(diǎn),所以,所以即為二面角的平面角,.22已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且是偶函數(shù),方程有兩相等實(shí)根.(1)求的解析式;(2)討論函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)(2)見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè),易得,根據(jù)是偶函數(shù),可得的一個(gè)關(guān)系式,再根據(jù)方程有兩相等實(shí)根,可得根的判別式,從而可求得,即可得解;(2)函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),即方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),即方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),令,故所求轉(zhuǎn)化為方程在實(shí)根的個(gè)數(shù),再分,三種情況討論,從而可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:設(shè),因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),所以,因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以,即,所以,又方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以,解得(舍去),所以;(2)解:由(1)得,令,則,即,即,令,則,故所求轉(zhuǎn)化為方程在實(shí)根的個(gè)數(shù),令,當(dāng),即時(shí),若,則,故,所以時(shí),方程無(wú)實(shí)根;若,則,故,所以時(shí)

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