2021年高考數(shù)學考點32數(shù)列的綜合問題必刷題理含解析

1、考點32數(shù)列的綜合問題的前10項的和為【解析】試題分析：由題可知 品=1 + 5 - 1），2=加-1則數(shù)列即為數(shù)列%奇數(shù)項，則2%的前10項的和為2018項是（）數(shù)列仙，仍為等比數(shù)列，其首項為 = L公比為原數(shù)列仍/公比的平方，則數(shù)列2.刪去正整數(shù)數(shù)列中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，這個數(shù)列的第A. 2062 b . 2063 c , 2064 d , 2065【答案】B【解析】由題意可得，這些數(shù)可以寫為；567島下，第左個平方豹與第十1個平方數(shù)之間有暴 個正整教L而數(shù)列1二2工56,7,8,45頭有20251頁，去掉小個平方數(shù)后，還剩余2025 - 45=198的 數(shù)f所以去掉平方教后

2、第201sl頁應在2Q25后的第3階數(shù)/即是原來數(shù)列的第206碑？即為206苞故選史 點睛；解決該題的關鍵是找出第2018J頁的大概位置，所以數(shù)列1口.23255庇7&3.45二共有2022頁這個條 件非常關鍵I只要弄明白去掉哪些項？去掉多少項“可題便迎刃而解-3,將向量4%二/組成的系列稱為向量列96,并定義向量列瓦）的前也項和=而+&+.若%1= MU MW* ）,則下列說法中一定正確的是（）B ,不存在MN、，使得ll = C,對巾MN ,且口，都有小當D ,以上說法都不對【答案】C_-=A_,_【解析】由%+1=電（共叱*,則,所以數(shù)列瓦構成首項為“公比為4的等比數(shù)列，所以設等差數(shù)列a

3、n的前n項和為3,已知 34 12016 34 11 ,33201312016 320131,則下列結論正確的是（A.S20162016,3201334S20162016,3201334C520162016,3201334S20162016,3201334C.所以當zieN.，且eh仃時，* I。是成立的，故選【解析】令代葉3+加1舐貝/-3W+28配q 所以的在喪上單調(diào)遞增且其X）為奇函封。由條件得近4州u - 1L1式久一1KLrj ju -+q - = 0 ,從而=2又等差數(shù)列SJ的前項和為邑J所以5期6）=01 =2叫因為-1-M / T尸1式H）在R上單調(diào)速噌，所一】，生313 -1

4、：口山：/牌j故選：D5 .某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金 130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：Lgi12=.嗎舊13 = 0 11掰2 = 力）（）A. 2021 年 B . 2020 年 C . 2019 年 D .2018 年【解析】設第打年開始超過200萬元,則130 x fl + 12%) 2015 200，化為（ - 2015）團12 3-爐？n-2(J15 =380.05,取n = 2019,因此開始超過200萬元的年份是2019年，故選C.HJ

5、T律 I帛j件 6.已知數(shù)列叫的前肺頁和為S%若 RTrn ,則%5=. 253【答案】-256【解析】在白口斗又卜所?| = 1中分別取詫=2比+ 乂&E3*)方= 1 (北 N *)1手口：jf+二十$=i+工=L11=*一工十5二片-11 .兩式才目/礴1寸口：工1十n二* 0 .把。u = U弋入得2r訐*1一的*.1 +1=口即a甌41 +1 =59景一+1)j%十多揄卓=1中,取只!得叼=J所以判列叱*_+1提苜項為j公比為:的等比數(shù)列，所以口*=-三, .2尚另解：可運用歸納推理* % = 1% =1q贊n -： Qfli4 flj： =+ a4 = 7fls -ab= *；猜想

6、得Ae +自=三由題意得小 = L所以口,5 =號=一藁7,對任一實數(shù)序列* = (口1外，。處】，定義新序列*=(/-肛&它的第口項為%+ 1一叫，假設序列MA&的所有項都是】，且口 1? = 二 ,則啊=.【答案】100.【解析】設序列A*的首項為由則序列M=WH + Ld + 21 J ,則它的第n項為+也X ,因此序列A的=% + (電-%) 0；350-1n,初奇數(shù)時.數(shù)列an的遞推公式為an a,初偶數(shù)時(n N )，可以求得這個數(shù)列中的每一項都是奇數(shù)，2則&2 ai5 ；研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的奇數(shù)都會重復出現(xiàn)，那么第8個3是該數(shù)列的第 項.【答案】18 384【解析】由題得：這個數(shù)

7、列各項的值分別為1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 11, 3 -a2a153 15 18.又因為a33,a63,a23,a243即項的值為3時，下角碼是首項為 3,公比為2的等比數(shù)列.所以第8個3是該數(shù)列的第3X2 1=384項.故答案為：18, 384.在數(shù)1和2之間插入n個正數(shù)，使得這n+2個數(shù)構成遞增等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記為 An,令*an log 2An, n N .(1)數(shù)列an的通項公式為an=；(2)Tn tana? tana4 tana4 tanaetana2n tana2n 2=.【答案】tan n 2 tan2n.tanlr解析】設在數(shù)1

8、和2之間插入和個正數(shù)？使得這W+2個數(shù)構成遞增等比數(shù)列回則句=1力川=2 =卜。/、即/=2, 中為此等比照列的公比izlXe?講工望十上4 = L-. q -q =q=q *=q I J =/ 十2故數(shù)列/的通項公式為外工Iw + 221由(11可得/=1?；枚粡V，又 ，-, tan | 打+ 1)-tan 門tan 1 = tan | ( r + 1 ) 1 =:l 1+tan (n + l)tan it, tan(白+1 )Tan 口.tan f b+l)tan n =1tan 1tan(冷+2)-tan (4-11/. tan a-, tan = tan i;7 +11 tan用+

9、21 Ln etan 1工？= Set/、Am門* + tm叫-taai + + fmm相 5口工米2tan3 tan2 / tan4 tan3 / tan5 tan4 (111 tanltanltanltan n 2 tan n 11 tan1tan n 2 tan2tan1*n, n N故答案為tan n 2 tan2tan1111.已知數(shù)列 an滿足：an 1 1 ,a12,記數(shù)列 an的前n項之積為R,則Hon【答案】21包112, TOC o 1-5 h z 111.一【斛析】因為an 1 1, a12,所以a21,a312an221所以數(shù)列 an是以4為周期的周期數(shù)列，a1a2a3

10、 2 12670則 P20112 2.ala2a3a201112.已知數(shù)列 an滿足nan 2 n 2 an n 2n ,其中al 1,a2 2 ,右an an 1對 n N恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為.【答案】0,【解析】由呵_(2雙二司/+初得； -生=3令/=&J則WJ的奇數(shù)項和偶數(shù)項 J療+ 2 內(nèi)分別成首項為L且公差為4的等差數(shù)列，所以 A=1 + -1, %=1+吠故 心9=2上一 1%(2斤一1?白=2k+2旬上一因為對寸甘口丫恒成立， 所 以 叼串_ = 2k-1+(2*-1)(上TM優(yōu)產(chǎn)2L+lt(11) 恒 成立， 同 時二2k+2上住1)/1 電科=2科1+|2上+1(年

11、1)金恒成立,即一1M(上一1)月恒成立，當即1時，一一一式工J而出T+工時一上一0 .，開L之。即可？當上=1時J -14而一1)恒成立,綜上彳之0 J 上一1七一1故值0,十H).已知數(shù)列 an滿足a1 1,an 1 an,若X表示不超過X的最大整數(shù)，則 an 1222a1 a2a2017.【答案】1是苜項為U公差為1的等差數(shù)列,1解析】由遞推關系可停:一 =1 (J-J -1)x1 明二一%打則當回時：口;=3高據(jù)此有：可 +H久 H + 曰3 -( 11門 1、( 111+ 1 + 一一-Hb I 2 )3)2016 2017 J=2 122017很明顯：W +W+W+Wou )=1,

12、則* _/*o201=L14.已知數(shù)列 an 中，a1 a 0 a 2 , an 1( an 2 an2an3 an2* 、.n N ，記 Snai若 Sn 2015,則 n .【答案】1343an 2 an 2【解析】: ai=a(0a? 2), an 1 nNan 3 an2 . a2=-a1+3=3-a C 1,3).當 a e 1,2時,3-a e 1,2,. a3=- &+3=a,.當 n=2k-1, kC N?時，a1+az=a+3-a=3,.S2k-1=3(k-1)+a=2015, a=1 時舍去，a=2 時，k=672,此時 n=1343;AN媾WNavPm+STrfL&ima

13、fmnEJ?不是整數(shù)，舍去J 3當仃E 1M寸,32EQ3),；.=dr-2=l-a6(0.1),.tJ當界=4*/ N對力 為+的一用+4=g+3ff a-A2T,3日64刈5 ,二不為整數(shù)，舍去3當花=4#一1,甯“時，佝+為 + a- =a+3-a-l-a=Aa,，&if L+3=2015,舍去*當443RE&沖寸,，豆b產(chǎn)6承一1戶3=3015,舍去口綜上可得：后134主的答案為：1343一15.已知無窮數(shù)列ananZ的前n項和為Sn,記S|,S2,，Sn中奇數(shù)的個數(shù)為bn .(I )若an = n ,請寫出數(shù)列 bn的前5項；(n)求證：為奇數(shù)，a (i = 2,3,4,)為偶數(shù)”是

14、“數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件；(出)若a bi, i=i, 2, 3,，求數(shù)列an的通項公式.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) an 0.【解析】(I)解：b1 =1, b2=2, 4=2, b4=2, b5=3.(n)證明：(充分性) 2,11111所以，對于任意i N*,6都為奇數(shù).所以bnn .所以數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列.(不必要性)當數(shù)列an中只有a2是奇數(shù),其余項都是偶數(shù)時，S為偶數(shù)， S i 2斯以勺二H-L數(shù)列鼠是單調(diào)遞增豹列.所以為奇數(shù)，R=234I為偶數(shù)不是“數(shù)列也是單調(diào)速耀遁廠的四要兼用綜上所述R為奇額，R，=234-)為偶教，是“數(shù)列也是單調(diào)遞增數(shù)

15、列”的充分不必要條件.(m)解：(1)當色為奇數(shù)時j如果其為偶麴，若g.i為奇翻，則4H為奇額,所以&1=% + 1 = %+1為偶數(shù)，與內(nèi)信二4口矛盾手若丹.1為偶數(shù)，則另.為偶數(shù)，所以為w =&=/為奇數(shù)，與小.：=憶1矛盾.所以當心為奇數(shù)時，不靛為f嬲.(2)當町為偶數(shù)時,如果凡為奇物,若應.】為奇數(shù)I則曷U為偶數(shù)，所以取7二%二位為偶數(shù)，與qu=_1茅盾?若呵T為偶數(shù)，則既H為奇額n所以4也=4+1=勺+1為奇數(shù)j與4T=47矛盾*所以當外為偶數(shù)時，*不靛為奇數(shù).綜上可得外與昆同奇偶.所以國-4為偶數(shù),因為$=工十耳槨為偶魏.所以，為偶耨.因為碉=瓦=品為偶數(shù),goh所以&=珥=0.因

16、為叼=&耳+1=1,且4之0,所以= a3 = 0 .以此類推，可得4=0,16.已知(1 + x)2n + 1=0+叩+0/+.r?wN*(”1)求正的值;(2)化簡/的表達式，并證明：對任意的 nw* ,葭，都能被強十2整除.【答案】(1)30 ; (2)證明見解析.【解析】試題分析:Tn =(2n + l)CC = (2n += 2(2n +進而可得到結論.解析二由二項式定理.得/=Cl+1 (Tn 1, 2,2/1).C1) %=(!十 3d十 5(1口 二 Cj 十 3cg + 5C = 30 丁(2) ,5 + 1 += Cn+1 + fr)-上:莊 I =，嗎=t 4 1)C?甘

17、工=，)(2fc + Ef_o (2k4- 1XSh41 SLa (2A H- iKmjJ+i*ttnn=，2(h + l+-(2n + 1)C=/ = 2 W 5 + 1 + 即仁裝產(chǎn)3 41)， C k=ok =ok=o二 2i 十 DEZ C?-(2n + 1) 乙感公產(chǎn)二 20 + 1) ，(21十 c二i + 1)3 2,二 (2n + 1H,工=! + 1K? = (2n +1)(嚙，+ C-_J = 2(2n + 口仁一.，y”N，能被4n+理除.17.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得數(shù)列an的前n項和Snam,則稱an是“回歸數(shù)列”.(1)前n項和為sn 2n的數(shù)列 a

18、n是否是“回歸數(shù)列”？并請說明理由.通項公式為bn 2n的數(shù)列bn是否是“回歸數(shù)列”？并請說明理由；(2)設an是等差數(shù)列，首項 &1,公差d 0,若 為是“回歸數(shù)列”，求 d的值.(3)是否對任意白等差數(shù)列an，總存在兩個“回歸數(shù)列bn和Cn ,使得烝 bn Cn n N 成立，請給出你的結論，并說明理由.【答案】(1)見解析；(2) d 1; ( 3)見解析.【解析】(1)當用32附，,=S*-%= 當葉=1日寸；門=S = 2,當N2 時,Sj=qij,數(shù)列；4是“回歸數(shù)列二(24-2m)m、,04 = 2?,前曾頂和邑=:=獷十時二為行+1),12二雙內(nèi)+ 1)為偶教，存在 2 m =

19、 m(w4-1) f即明使=S仙 ,數(shù)列也是“回歸物列二. HT-1) 2 )=可可 H- d = 4 - d)對任意打己W* ,存在m w V ,使S = a, r Ki nh. .艮-i+(討了一1)片j取x =2時，得l+，= (明一1)/?解得見=2F d：d 0 fS.m 又切 N* n m 1,d 1.(3)設等差數(shù)列an的公差為d,令bna1n1a12 n a1,*對 nN,bn i bna1，*令 Cnn 1 aid ,則對 nN,cn 1 cna1 d ,期4葉% =叫+儕=%,且數(shù)冽也和上是等差曲列,數(shù)列區(qū)J的前門項和q=用為十匹三一- ?! ）4,J?（ n 3 令耳=|

20、2 出心，則出=-一-+ 2?當X = 1日寸n F = 1 ；當M二2時，冊二1 .當心3時，門與打-3的奇偶性不同，故刑3）為非負偶據(jù).ft! c V m，對V尸都可找到所亡使，=A成立,即心力力回歸數(shù)列7f ?T 11數(shù)列7的前刊項和& = -一- %十d） j 二匚我二（5-1（與十| =凡：,i?1-1）則明二- +1 m二對6曰V,雙口一 1）為非負偶扎?.? yT ?，對力白都可找到加6:使得與=J成立，即憶為洞歸數(shù)列二an中等于an故命題得證.18 .無窮數(shù)列 an滿足：a為正整數(shù)，且對任意正整數(shù) n, 2為前口項8，a2,的項的個數(shù).（I）若a1 2,請寫出數(shù)列 an的前7項

21、;（n）求證：對于任息正整數(shù) M ,必存在k N ,使得ak M ；（出）求證：& 1是 存在m N ,當n m時，恒有an 2 an成立 的充要條件。【答案】（I） 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1； （n）證明見解析；（出）證明見解析.【解析】4T三11右腦用1M,矛盾故對于任意的正整整M ,必存在k w,使得% M.（皿充分性當.二1 時 j 數(shù)列%為 1, 1；1,1； 3, h 4,3 1, k-b 1, k,特別地，d吐=k m &2L =1 對任意的HmN（1）若n為偶數(shù)，則1;二4二1（2）若n為奇數(shù)，則%.工=2節(jié)1 = %綜上3仁工2與恒成立，特別地 取m =1有當口

22、之m時恒有區(qū)取二工七成立方法一一假i殳存在力二k （ k使得一存在me N當口之m時,恒有2七成立”則數(shù)列的前k01項為k, L 1, 2）1, 3, 1, 4 ，1, k-L b kt 2f 3； 3 4 2 , k-b 2 ； kj 3 j 4 ； .j3 k 1 j 3, kk-2, k-2, k-L k-2 7 kk1 ； k -1 , 1c后面的項順次為 TOC o 1-5 h z k1-1,k1,2,k1,kk2,1,k2 ,2,，k2,kk3,1,k3,2,，k3,k對任意的總存在建之m ?使得與 =k j但=1,這與矛盾,顏若存在m wN當n Nm時，恒有at一工s,成u，必有

23、, = 1方法二:若存在m u N當n m時,a:乃/恒成立記max/a. -a = 5.由第(2)間的結論可知:存在kwN使得% (由，的定義知kMm + l)不妨謾%是數(shù)列%中第二個大于等于5十】的頊，即皿孫,%.】均小于等于“則dz=】-因為kiNm,所以辦占九丁即坨且】為正整期 所以ai=L記小二口+1,由散列%的定義可知，在/小，&T中恰有t項等于L假設即工1,則可設口匕二/ =%=1；其中1M*MG M考慮這t個1的前一項即丹I因為它們均為不超過5的正整數(shù)，且1二5十1,所以電口,口川皿中一定存在兩項相等， , !將其記為山則數(shù)列gj中相鄰兩項恰好為( 1)的情況至少出現(xiàn)2次，但根

24、據(jù)數(shù)列/的定義可知: 第二個3的后一項應該至少為2f不能為b所以矛盾！故假設% W1不亦L所以力=1,即必要性得證！綜上，“日產(chǎn)1”是h存在mN j當ti 3m時j恒有小豈已力成立說充要條件.19.設Sn為各項不相等的等差數(shù)列 an的前n項和，已知a3a5 3a7,S 9.(1)求數(shù)列 an通項公式；,一1(2)設Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn.H 1【答案】(1) an n 1； (2) T叼-+ h t -42 時，|a i-ai+i | w2(i=1,2 ,n -1).記這樣的數(shù)列個數(shù)為f(n).(I )寫出 f(2),f(3),f(4) 的值；(II )證明f(2018)不能被4整除.【

25、答案】(I) f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4; (n)見解析.【解析】(I)解:(I)根據(jù)題意，a=1;當n? 2時，|a i-ai+1| W2(i=1,2,，n-1);則 f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.d)證明：把滿足條件的數(shù)列稱為n項的首項最小數(shù)列.對于n個數(shù)的首項最小數(shù)列，由于 a1=1,故a2=2或3.(1)若32=2,則a2-1,a 3-1,a n-1構成n-1項的首項最小數(shù)列，其個數(shù)為f(n-1);(2)若a2=3,a3=2,則必有a4=4,故a4-3,a5-3,an-3構成n-3項的首項最小數(shù)列，其個數(shù)為 f(n-3);(3)若a2=3，則a3=4或a3=5

26、.設ak+1是這數(shù)列中第一個出現(xiàn)的偶數(shù)，則前 k項應該是1,3,2k-1, ak+1是2k或2k-2，即ak與ak+1是相鄰整數(shù).由條件，這數(shù)列在ak+1后的各項要么都小于它，要么都大于它，因為 2在ak+1之后，故ak+1后的各項都小于它.這種情況的數(shù)列只有一個，即先排遞增的奇數(shù)，后排遞減的偶數(shù) 綜上，有遞推關系：f(n尸f(n-1)+f(n-3)+1, n5. , Bfj q - 4T 之 4；,-4 = %勒=日i ?,百 _ %： _ 邑-0% y，4 W，%為公比為g的等比皴列.(ill);嗎=2, %=(%=1.23 )尸 B fT 2 拿%=1,，司任意箝之L %之4=1?假設他

27、(讓2)中存在大于二的項，設序為滿足41A2的最小正整數(shù)，貝心力 2,對任意1工上所，%三2 ,又岡=2/一I=工且4 = % 2/,1,Bn =2*1 = 2 ?因小二血口小, 3所22， n1故9*1= +2=1與Mt=彳矛盾，時于任意育義工2即非負整數(shù)列 an各項只能為1或2.22 .設正項數(shù)列 an的前n項和為Sn,且滿足a3 7, a21 6Sn 9n 1, nN(1)求數(shù)列 an的通項公式;（2）若正項等比數(shù)列bn滿足biai,b3a2,且Cn%bn，數(shù)列Cn的前n項和為Tn.求玉；2右對任思n 2, n N ,均有Tn 5 m 6n 31n 35恒成立，求實數(shù) m的取值范圍3【答案】（1） an 3n 2；（2） m 32【解析】昌3 =電十9口十1.次：= 6S.i+9（n l I十1