2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：熱點(diǎn)探究訓(xùn)練5平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)題型

1、熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(五)平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)題型.設(shè)Fi, F2分別是橢圓C：/+事=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MFi與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.3(1)假設(shè)直線MN的斜率為4,求C的離心率；假設(shè)直線 MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|FiN|,求a, b.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962428】解(1)根據(jù)c= /a2-b2及題設(shè)知M cb2ab22c=3, 2b2 = 3ac.2 分將 b2 = a2 c2 代入 2b2= 3ac,c 1 c解得=2, a=2(舍去). TOC o 1-5 h z ,1故C的離心率為2(2)由題意,原點(diǎn)。為F1F2的中點(diǎn),MF2/y軸,

2、所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),- b2rr 2故=4,即b = 4a.由|MN| = 5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.8 分設(shè)N(x1, y1),由題意知y1b0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),右頂點(diǎn)為A,且|AF|=1. a b圖5(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)假設(shè)動(dòng)直線l: y=kx+ m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P,且與直線x= 4交于點(diǎn)Q,問：是否存在一個(gè)定點(diǎn)M(t,0),使得MP MQ = 0.假設(shè)存在，求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.解(1)由c= 1, a c=1,得 a=2, .b = V3,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2+y2=1. 5分43由

3、y= kx+ m, 3x2+4y2=12,消去 y得(3 + 4k2)x2 + 8kmx+ 4m212=0,A= 64k2m24(3+4k2)(4m212) = 0,即 m2 = 3 + 4k2.8 分設(shè) P(xp, yP),那么 xp= 一4km 4k3+41 m，yP = kxP+m= m= 3 即 p mm mm，m M(t,0), Q(4,4k+ m), TOC o 1-5 h z 二 4k 3 f.MP=而-t, m，MQ = (4 t,4k+m),10 分二4k324k一 . .MPMQ= -t (4 。+ 而(4k+ m) = t2 4t+3+m(t1) = 0 包成立,t1 =

4、 0,故。即t=1.t2 4t+3= 0,存在點(diǎn)M(1,0)符合題意.12分3.如圖6,拋物線C: x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A, B兩 點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).圖6(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；(2)作C的任意一條切線1(不含x軸)，與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的 定直線相交于點(diǎn)N2,證明：|MN2|2|MN1|2為定值，并求此定值.解(1)證明：依題意可設(shè)AB方程為y=kx+ 2,代入x2=4y,得x2=4(kx + 2),即 x2-4kx-8 = 0.設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2),那么有 x1x2 = 8

5、.直線AO的方程為y= y1x; BD的方程為x=x2. 2分x = x2,解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為y絲V= xi，注意到 xix2= 8 及 x2= 4y1,那么有y=yr=*- TOC o 1-5 h z 因此D點(diǎn)在定直線y = 2上(xw 0).5分(2)依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為v= ax+ b(aw0), 代入 x2= 4y 得 x2 = 4(ax+ b),即 x2 4ax 4b= 0.8 分由A= 0得(4a)2+16b = 0,化簡(jiǎn)整理得b= a2.故切線l的方程可寫為y=ax a2.分別令 y=2, y= - 2 得 Ni, N2 的坐標(biāo)為 N1 1+ a,

6、 2 , N2a, 2 ,aa10分2那么 MN2|2 |MNi=2 a +42- 2+ a =8, aa即MN2|2 一|MN1|2為定值 8.12 分(2021重慶模擬)橢圓C:冬+r=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2 = 4x a b的焦點(diǎn)一樣，且橢圓C上一點(diǎn)與橢圓C的左、右焦點(diǎn)F1, F2構(gòu)成的三角形的周 長(zhǎng)為2.2+2.(1)求橢圓C的方程；點(diǎn)， AOB的重心G滿足：FiG F2G =5- 9(2)假設(shè)直線l: y= kx+ m(k, mC R)與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962429】a2 = 2,b2=1,c=1,解(1)依題意得 2a

7、+ 2c=2也+ 2,a2=b2 + c2,.一x2橢圓C的方程為x2 + y2=1.4分(2)設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2).y= kx+ m,聯(lián)立得方程組消去y并整理，得(1 + 2k2)x2+4kmx+ 2m2x2+2y22=0, 2=0,那么z0? 1 + 2k2m2 * , 4kmX1 + X2=-,1+2k22m2 2X1X2- 1 + 2k2設(shè)AAOB的重心為G(x, y), TOC o 1-5 h z 由F1G F2G =一1可得x2 + y2 = *99由重心公式可得G x1瓷 絲著，代入式，3整理可得(X1+x2)2+(y + y2)2 = 4? (X1+x2

8、)2 + k(x1 +X2)+2m2 = 4,8 分 2 291+2k22將式代入式并整理，得m2=丁，代入(*)得kw 0,1+4k2那么m2=1+2k2 22= 1 + 1 + 4k24k421 + 4k241+41. 10 分k2+k4. kw 0, ,-t = 120,-t2+4t0, m21,me ( 00, -1)U(1, +00).12 分(2021全國(guó)卷H)橢圓C: 9X2 + y2=m2(m0),直線l不過原點(diǎn)O且不平 行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)假設(shè)l過點(diǎn)m, m ,延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)

9、P,四邊形OAPB能否為3平行四邊形？假設(shè)能，求此時(shí)l的斜率；假設(shè)不能，說明理由.解(1)證明：設(shè)直線 l: y=kx+ b(kw 0, b*0), A(xi, yi), B(x2, y2), M(xm ,yM).將 y= kx+b代入 9x2 + y2 = m2,得(k2+9)x2+2kbx+ b2m2=0,故 xM =xi + x2 TOC o 1-5 h z -kb .1 9b2, yM = kxM+b= 2.于是直線OM的斜率k0M = yM= 9,即kOM k= 9. xmk所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.(2)四邊形OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€l過點(diǎn), m ,所以l不

10、過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是 3k0, kw 3.由(i)得om的方程為y= 9x.7分設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x巳/曰 Nk2m2行9k2 + 81,9v=一29x2 + y2=m2,即xpikm3k2 + 9 TOC o 1-5 h z 將點(diǎn)m, m的坐標(biāo)代入直線l的方程得b=mk, 33k k 3 m八因此xm = 3 . + 9 .9分四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段 AB與線段OP互相平分，即xp =2xm .匕 dkmk k 3m f廠廠于是研春=2x7k2rr 解得 ki=46, k2=4+s.因?yàn)閗i0, kw3, i=i,2,所以當(dāng)直線l的斜率為4，7或4+3時(shí)，四邊形

11、OAPB為平行四邊形.12分X2 y26. (2021全國(guó)卷H )A是橢圓E:彳+事=1的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0)的直線交E于A, M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA NA.(1)當(dāng)AM|= AN|時(shí)，求4AMN的面積；(2)當(dāng) 21AM|=|AN|時(shí),證明： 3k0.由及橢圓的對(duì)稱性知，直線 AM的傾斜角為:又A( 2,0),因此直線 AM的方程為y= x+ 2. 2分 TOC o 1-5 h z 22將 x= y2 代入+3= 1 得 7y212y= 0.一 ，12 12解彳導(dǎo)y= 0或y=,所以 抑=7.1 12 12 144八因此 4AMN 的面積 4amn= 2XtX X =9.5 分27749(2)證明：設(shè)直線AM的方程為y=k(x+2)(k 0),x y代入加+甘=1 得(3 + 4k2)x2+16k2x+ 16k212 = 0. 7 分16k2- 122 3 4k2由 x1 J 2戶刀不得 x1=3k2故 |AM|= x1 + 2|1+ k22 k 1由題意，設(shè)直線AN的萬程為y= k(x+2),故同理可得|AN| =12K/1 + k23