2022年高考理科《數學》人教A版總復習練習題-考點規(guī)范練27　平面向量的數量積與平面向量的應用

1、考點規(guī)范練27平面向量的數量積與平面向量的應用考點規(guī)范練A冊第18頁基礎鞏固1.對任意平面向量a,b,下列關系式不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:A項,設向量a與b的夾角為,則ab=|a|b|cos |a|b|,所以不等式恒成立;B項,當a與b同向時,|a-b|=|a|-|b|;當a與b非零且反向時,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C項,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D項,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.綜上,故選B.

2、2.已知a,b為單位向量,其夾角為60,則(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,a與b的夾角=60,則(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos -|b|2=211cos 60-12=0,故選B.3.已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為()A.6B.3C.23D.56答案:B解析:因為(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.所以cos=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a與b的夾角為3,故選B.4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且pq,則|p+q|的值為(

3、)A.5B.13C.5D.13答案:B解析:由題意,得26+3x=0,解得x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.5.(2020山東,7)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點,則APAB的取值范圍是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案:A解析:如圖,以AB所在的直線為x軸,AE所在的直線為y軸建立平面直角坐標系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).設P(x,y),則AP=(x,y),AB=(2,0),APAB=2x+0y=2x.-1x3,APAB的取值范圍為(-2,6),故選A.6.在

4、ABC中,邊AB上的高為CD.若CB=a,CA=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,則AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b答案:D解析:ab=0,CACB.|a|=1,|b|=2,AB=5.又CDAB,由射影定理,得AC2=ADAB.AD=45=455.ADAB=4555=45.AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故選D.7.設向量a與b的夾角為,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),則cos =()A.-35B.35C.55D.-255答案:A解析:向量a與b的夾角為,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),b=a+2b-

5、a2=(2,1),cos =ab|a|b|=-4+155=-35.8.設m,n為非零向量,則“存在負數,使得m=n”是“mn0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:m,n為非零向量,若存在0,使m=n,即兩向量反向,夾角是180,則mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反過來,若mn0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos +|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故選B.15.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P為矩形ABCD內一點,且AP=32.若A

6、P=AB+AD(,R),則+3的最大值為()A.32B.62C.3+34D.6+324答案:B解析:因為AP=AB+AD,所以|AP|2=|AB+AD|2.所以322=2|AB|2+2|AD|2+2ABAD.因為AB=1,AD=3,ABAD,所以34=2+32.又34=2+3223,所以(+3)2=34+2334+34=32.所以+3的最大值為62,當且僅當=64,=24時等號成立.16.已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內一點,則PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案:B解析:以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標原點建立

7、平面直角坐標系,如圖. 可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).設P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.當點P的坐標為0,32時,PA(PB+PC)取得最小值為-32,故選B.17.如圖,在平面四邊形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點,則AEBE的最小值為()A.2116B.32C.2516D.3答案:A解析:如圖,取AB的中點F,連接EF, AEBE=(AE+BE)

8、2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.當EFCD時,|EF|最小,即AEBE取最小值.過點A作AHEF于點H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因為DAB=120,所以HAF=30.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AEBE)min=542-14=2116.18.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e為平面單位向量,則|ae|+|be|的最大值是.答案:7解析:設a與b的夾角為,由已知得=60,不妨取a=(1,0),b=(1,3).設e=(cos ,sin ),則|ae|+|be|=|cos |+|cos +3sin |cos |+|cos |+3|sin |=2|cos |+3|sin |,當cos 與sin 同號時等號成立.所以2|cos |+3|sin |=|2cos +3sin |=727cos+37sin=7|sin(+)|其中sin=27,cos=37,取為銳角.顯然7|sin(+)|7.易知當+=2時,|sin(+)|取最大值1,此時為銳角,sin ,cos 同為正,因此上述不等式中等號能同時取到.故所求最大值為7.高考預測19.已知兩個平面向量a,b滿足|a|=1,|a-2b