2010年第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A(小學(xué)組)、答案及詳細(xì)分析解答

1、PAGE PAGE 7第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A（小學(xué)組）一、填空題（每小題10分，共80分）1在10個(gè)盒子中放乒乓球，每個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，且彼此不同，那么至少需要 個(gè)乒乓球。2有五種價(jià)格分別為2元、5元、8元、11元、14元的禮品以及五種價(jià)格分別為1元、3元、5元、7元、9元的包裝盒。一個(gè)禮品配一個(gè)包裝盒，共有 種不同價(jià)格。3汽車(chē)A從甲站出發(fā)開(kāi)往乙站，同時(shí)汽車(chē)B、C從乙站出發(fā)與A相向而行開(kāi)往甲站，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇。已知A、B、C的速度分別是每小時(shí)90km, 80km, 60km，那么甲乙兩站的路程是 km。4將和這

2、6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值從小到大排列，則這個(gè)平均值排在第 位。5將一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個(gè)數(shù)稱(chēng)為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?的數(shù)稱(chēng)為“好數(shù)”，那么不超過(guò)2012的“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為 ，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是 。6右圖所示的立體圖形由9個(gè)棱長(zhǎng)為1的立方塊搭成，這個(gè)立體圖形的表面積為 。7數(shù)字卡片“3”、“4”、“5”各10張，任意選出8張使它們的數(shù)字和是33，則最多有 張是卡片“3”。8若將算式的值化為小數(shù)，則小數(shù)點(diǎn)后第1個(gè)數(shù)字是 。二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）9右圖中有5個(gè)由4個(gè)11的小正方格組成的不同形狀的硬紙板。問(wèn)能用這5個(gè)硬紙板拼成右圖中4

3、5的長(zhǎng)方形嗎？如果能，請(qǐng)畫(huà)出一種拼法；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。10長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一條木棍，分別用紅、藍(lán)、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開(kāi)，問(wèn)一共可以得到多少段？其中最短的一段的長(zhǎng)是多少？11足球隊(duì)A，B，C，D，E進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)申?duì)賽一場(chǎng)），每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3分，負(fù)隊(duì)得0分，平局兩隊(duì)各得1分。若A，B，C，D隊(duì)總分分別是1，4，7，8，請(qǐng)問(wèn)：E隊(duì)至多得幾分？至少得幾分？12華羅庚爺爺出生于1910年11月12日。將這些數(shù)字排成一個(gè)整數(shù)，并且分解成19101112116316424，請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)數(shù)1163和16424中有質(zhì)數(shù)嗎？并說(shuō)明理由。三、解答下列各題（每小題15分，共30分，

4、要求寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程）13右圖中，六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米。已知ABC，BCD，CDE，DEF，EFA，F(xiàn)AB的面積都等于335平方厘米，6個(gè)陰影三角形面積之和為670平方厘米。求六邊形A1B1C1D1E1F1的面積。14已知兩位自然數(shù)能被它的數(shù)字之積整除，求出代表的兩位數(shù)。答案1173219 3425 45 5223；363273849不能108，12，18=728+12+18-3-2-1+1=32 除去重復(fù)的32-4=28段最長(zhǎng)一段長(zhǎng)為1，所以1/72117；512有質(zhì)數(shù),1163；1163不能除以2,3,537內(nèi)質(zhì)數(shù),11633740133356=2010 （2010-67

5、0）2=6702010-（6702）=6701411，12，15，24，36第十五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽（A卷）解答的詳細(xì)解析與答案填空題（每小題10分，共80分）1、【解答】（枚舉方法）至少需要11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173 。2、【解答】（列表方法） 共有25-6=19 (種)包 裝 盒 價(jià) 格禮品盒價(jià)格1 357 9235791156810121489111315171112141618201415171921233、【解答】（相遇、追及綜合問(wèn)題）A與C 20分鐘相遇，共行（90+60）(2060)=50( km) ,這50 km即是A與B

6、相遇過(guò)程中，在相同時(shí)間內(nèi)，B比C多行的路程，顯然A與B相遇時(shí)間等于50（80-60）=2.5（小時(shí)）。所以，A與B相遇甲乙兩站的路程為（90+80）2.5=425( km)4、【解答】平均數(shù)=【（+）+】60.265457，所以這個(gè)平均數(shù)從小到大排列在第5位。5、【解答】（余數(shù)問(wèn)題或周期規(guī)律）題意中的好數(shù)實(shí)際是指小于或等于2012中除以9余6的數(shù)有多少個(gè)。即數(shù)列6、15、24、33、42、51.1005、2004共（2004-6）9+1=223（個(gè)），最大公約數(shù)為36、【解答】（表面幾何問(wèn)題）。(視圖方法)。俯視面積5，仰視面積5，前視面積5，后視面積5，左視面積6，右視面積6，表面積共327

7、、【解答】（不定方程問(wèn)題） 設(shè)卡片3用X張，卡片4用Y張，卡片5用M張，則： X+Y+M=8 3X+4Y+5M=33 2X+Y=7 X最大為3 8、【解答】（估算問(wèn)題）根據(jù)分?jǐn)?shù)數(shù)列運(yùn)算符號(hào)的加減周期性，將分?jǐn)?shù)數(shù)列分組求近似值，進(jìn)行估算。 - 0.41 ，-0.01548 ， -0.00354 ，-0.001320.00063，推理后面每?jī)蓚€(gè)分?jǐn)?shù)之差更接近0，而且是有限個(gè)求和,所以小數(shù)點(diǎn)后第一位為4。答下列各題(每題10分，共40分)9、【解答】（染色問(wèn)題）將5塊硬紙板黑白間隔染色，可見(jiàn)黑色有11塊，白色9塊，或者黑色9塊，白色11塊。而右邊20個(gè)格子黑、白各10塊。顯然不能用左邊5個(gè)硬紙板拼成

8、右邊的的45的長(zhǎng)方形。10、解答（重疊問(wèn)題） ：令L=8,12,18=72的K倍，即L=72K。那么: 紅線將木棍等分8等份 （9個(gè)分點(diǎn)）， 每份長(zhǎng)度9K；藍(lán)線將木棍等分12等份（13個(gè)分點(diǎn)）， 每份長(zhǎng)度6K；黑線將木棍等分18等份（19個(gè)分點(diǎn)）， 每份長(zhǎng)度4K；又知：【9K，6K】=18K,重疊4段。 【6K，4K】=12K ，重疊6段。 【9K，4K】=36K，重疊2段【9K,6K,4K】=36K,重疊2段。由容斥原理二得：一共分割的段數(shù)為：(8+12+18)-4-6-2+2=28（段）或總點(diǎn)數(shù)為：（9+13+19）-5-7-3+3=29(分點(diǎn))，所以共有28段。11、【解答】（數(shù)值綜合推

9、理）5只足球隊(duì)單循環(huán)比賽共賽4+3+2+1=10場(chǎng)。從計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)看，有勝負(fù)的場(chǎng)次得3分，平局的場(chǎng)次共得2分，題意中的問(wèn)題是E隊(duì)最多得分和最少得分，顯然和整個(gè)比賽中平局的次數(shù)有關(guān)，平局越少，E隊(duì)得分會(huì)越高；平局越多，E隊(duì)得分會(huì)越低。假設(shè)全是3分，10場(chǎng)共計(jì)30分，每平局總分倒減1分。由A、B、C、D的得分不難分析，A=1 =1+0+0+0B=4 =3+1+0+0 = 1+1+1+1C=7 =3+3+1+0 D=8 =3+3+1+1 從得分看至少3局平局，全部比賽總分30-3=27分，E對(duì)得分最多為27-1-4-7-8=7分。從得分看最多5場(chǎng)平局，全部比賽總分30-5=25分，E隊(duì)得分最少為25-1

10、-4-7-8=5分。12、【解答】（質(zhì)數(shù)問(wèn)題）16424是合數(shù)，原因是16424的約數(shù)不止兩個(gè)，除了有1和本身外還有2、4等等。1163是質(zhì)數(shù),判斷方法是: 35=1225，34=1156 最接近1163，所以用小于34的所有 質(zhì)數(shù)2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不盡，所以可以判斷1163是質(zhì)數(shù)。解答下列各題（每題15分，共30分）13、【解答】（圖形面積問(wèn)題）（容斥原理求面積）六邊形 的面積=六邊形ABCDEF的面積兩個(gè)六邊形中間夾圈部分的面積。根據(jù)容斥原理：兩個(gè)六邊形中間夾圈部分的面積=（3356+670）2=1340所以：六邊形 的面積=六邊形ABCDEF的面積兩個(gè)六邊形中間夾圈部分的面積=2010-1340=67014、【解答】（不定方程問(wèn)題） 令虎為X、威為Y , 則：題意為：10X+Y=XYK（K為整數(shù)） 討論:Y=1 (K-10)X=1 X=1,K=11