4微分方程的解及解的穩(wěn)定性

1、第四講微分方程解的穩(wěn)定性k(t)k(t)上一講，我們利用最大值原理討論了新古典經(jīng)濟增長模型，得到了兩個方 程，一個是狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)移方程，另一個是歐拉方程。這兩個方程構(gòu)成了包含 狀態(tài)變量和控制變量的二元一次方程組。c(t)-ok(t)3 =1.k(t)；,一 ：一、.c(t)這個方程組是一個非線性微分方程組，一般情況下，非線性方程組不存在 解析解，即方程組的解不能用初等函數(shù)來表示。因此，他們的性質(zhì)需要借助其 他方法來了解。微分方程：變量為導數(shù)的方程叫做微分方程。常微分方程：只有一個自變量的微分方程叫做常微分方程。偏微分方程：有兩個或兩個以上自變量的方程叫做偏微分方程。微分方程的階：微分方程中變量

2、的導數(shù)最高階叫做方程的階。線性方程：方程的形式是線性的。例如,方程ai y(t) + a2 y(t)十a(chǎn)g y(t)+x(t) = 0是一個二階線性常微分方程。又如，索洛-斯旺模型的基本方程是一個非線性方程:k(t) =sk(t) -、.k(t)再如，拉姆齊模型的動態(tài)是下列微分方程組的解：處=k(t)L.皿一 k(t)k(t)也=二 k(t) P-、.c(t)一階微分方程一階微分方程可以用下面的方程表示半=f(x,y)(1.1)dx其中，函數(shù)f:RMRT R是連續(xù)可微函數(shù)。最簡單的微分方程是(1.2)(1.3)f(x) dx它的解可表示為不定積分:y = f (x)dx c其中，F(xiàn)(x)=f(

3、x)dx表示任意一個被被積函數(shù)，c為任意常數(shù)。當然,我們也 . 、- 一一x可以確定任意一個被積函數(shù)，例如，令 F(x)= Jf(x)dx=L f(t)dt,則(2.2)的不定 積分可表示為 xy= j f (t)dt +c這時，不定積分仍然代表無窮多條曲線，如果給出初始條件 y(0) = y。，則，上面 微分方程的解就是 xy= 0 f (t)dt +y0(1.4)二、常見的一階微分方程解法一階線性微分方程一階線性微分方程的一般形式為dy p(x)y = g(x)(2.1)dx邊界條件(即初始條件)y(0) = y。 x為求解線性微分萬程，在萬程的兩邊同乘以exp j0 p(t)dt ,則方

4、程的左邊為dy-exp 0 p(t)dtxp(x)exp。p(t)dt yd y exp 0 p(t)dtdx所以x TOC o 1-5 h z d y exp 0 p(t)dtx =g(x)exp p(t)dt(2.2) dx0方程(2.2)的解為xxxy =exp - 0 p(t)dt 刊.0 g(x)exp ,0 p(t)dt c (2.3).可分離變量的微分方程一個方程是可分離變量的，如果它可以寫成下列形式f (x)dx = g(y)dy這類方程的解只需在方程兩邊同時積分即可。(2.4)f (x)dx = g(y)dy.可化為可分離變量或線性方程的貝努利方程方程dy p(x)y =yn

5、g(x)(2. dz ,、,、P(x)z =g(x) n -1 dx 這樣，貝努利方程就轉(zhuǎn)化為線性方程。 .恰當方程考慮非線性方程M(x,y) N(x,y)dy =0(2.7)dx或者M (x, y)dx N(x, y)dy = 0 如果存在函數(shù)(x, y) 滿足M (x, y)dx N(x, y)dy = d (x, y)則稱方程(2.7)是恰當方程，其解6(x,y)=c。dx叫做貝努利方程。其中，n為正整數(shù)。方程(2.5)兩邊同除以yn/ p(x)y1g(x)1 -n1 dy /、j ,、 一P(x)y = g(x) n1 dx1 .n(2.6)z 二 y例1,方程xdx + ydy =0

6、的解是xy=c.方程 dy +(ln y)dx =0 的解是 xln y = c . y三、一階常微分方程的圖解法對于線性常微分方程而言，目前已經(jīng)有完整的理論，方程的解也可以用明確 的解析表達式來表示。但是，對于非線性方程而言，除了個別特殊的形式之外， 一般是沒有辦法獲得解析表達式的，甚至根本不存在解析表達式。我們希望在沒 有明確的解析表達式的情況下，仍然了解方程的解的性質(zhì)。例2,索羅-斯旺模型的基本方程k(t) =sk(t)二 一、.k(t)(3.1)k表示資本存量，6表示資本折舊率，a表示資本的收入份額。該方程表示資本 存量的凈增加等于總儲蓄與總折舊之間的差額。先求穩(wěn)定點。令k(t) =0

7、,得s(k(t)r5 -k(t) = 0可以求得兩個解，k(t) = 0,(k(t) ) =9/s嚴力由于k -0,再判斷穩(wěn)定點穩(wěn)定性。* 0,k kk(t) =s(k(t)尸6 k(t)=0,k=k*k，J根據(jù) 處為=口 S(k(t)產(chǎn)-6= 0 ,可得(k(t)* =(每/sa產(chǎn))，k(t)在 dk(k(t) * =g/ss -3)有最大值，在(k(t)=付6支)1(d)的左邊大于0,是k的增函數(shù)；在(k(t)* =(6/sa3的右邊小于0,是k的減函數(shù)。即：L -*. 0, k k=a s(k(t)產(chǎn)-6 = * = 0, k = k*dk*k四、一元高階線性微分方程與多元微分方程組以二

8、階線性微分方程為例：ay(t) a2 y(t) a3 y(t) x(t) =0令z(t) = y(t),則，z(t) = y(t),于是該二階線性微分方程就可以用一個一階線性微分方程組來表示：az(t) a?z a3 y(t) x(t) =0y(t) = z(t)或者 TOC o 1-5 h z a2a31z(t)= - z(t)-y(t) x(t) aiaiaiJ(t) =z(t)由此看來，一個二階微分方程就可以用一個一階線性微分方程組來表示。同樣道理，任何一個更高階的微分方程，可以化成一個一階微分方程組。因此， 要了解高階微分方程的性質(zhì)，只要研究一階微分方程組的性質(zhì)即可。1.最簡單的線性線

9、性方程組：對角矩陣系統(tǒng)。yi(t) =a1iyi(t)y2(t) =a22 y2(t)寫成矩陣形式就是：5y；(t) A 0 、,yi(t)、M(t)八 0a22 Xy2(t),系數(shù)矩陣有兩個特征根，分別是aii和a?。方程的解yi(t) =ea11t - ciy2(t) =ea22t c2情形 1, aii 0,且 a22 A0： yi(t0) 0,y2(t0) 0, yi, y2 都隨著時間的推移而 增加。狀態(tài)不穩(wěn)定。情形 2, a11c0,且 a22 0, y2(t0) 0, yi, y2都隨著時間的推移而 下降。狀態(tài)穩(wěn)定。情形3,a11A 0,且a220,y2(t0)0,yi都隨著時間

10、的推移而增加y2隨著時間的推移而下降。狀態(tài)為鞍點穩(wěn)定。2. 一般非對角線性系統(tǒng):y；(t)、由2 (t) /aii22ai2丫 yi甲 xi(t)a22 人y2(t)JlX2 該方程組的矩陣形式為Y(t) -AY(t) X(t)根據(jù)矩陣理論，對于矩陣 A,存在矩陣V,使V-AV = D為一個對角矩陣。其中，對角線上的元素是矩陣 A的特征根。令Z(t)=V,Y(t),則Z(t)=V 二AVZ(t) V 二X(t)= DZ(t) V JX(t)這個方程組定義了兩個獨立的一階常系數(shù)線性微分方程：1Zi(t)= iZ(t) Vi X(t)其中，叫是矩陣A的第i個特征根，V是V-1第i行。乙。)=e J

11、eV1X(t)dt +bie酬再通過變換Z(t) =V Y(t)求Yo二維系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般討論：對角例子的穩(wěn)定性性質(zhì)依賴于對角元的符號。所以，依此類推，非對角系統(tǒng)的穩(wěn)定性性質(zhì)依賴于其特征值的符號。于是會產(chǎn)生以下幾種可能性：1)兩個特征值不同且都是正實數(shù)，在這種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2)兩個特征值不同且都是負實數(shù)，在這種情況下系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3)兩個特征值是實數(shù)但符號相反，在這種情況下系統(tǒng)是鞍點路徑穩(wěn)定的。止匕外，當系統(tǒng)是鞍點路徑穩(wěn)定時，穩(wěn)定臂對應于與負特征值相關的特征向量。 同理，不穩(wěn)定臂對應于正特征值相關的特征向量。這里的直觀想法仍然是與對角 矩陣相關的軸就是特征向量。正如我們前面的例子中看到

12、的，當系統(tǒng)是對角的時與對角矩陣的負分量相關的軸是穩(wěn)定臂，與正分量相關的是不穩(wěn)定臂。4)兩個特征值都是負實部的復數(shù)，在這種情況下系統(tǒng)以一種振蕩方式收斂到 穩(wěn)態(tài)。5)兩個特征值都是有正實部的復數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定且振動的。6)兩個特征值是有零實部的復數(shù)，所示其軌跡是環(huán)繞著穩(wěn)態(tài)運動的橢圓。7)兩個特征值相等。在這種情況下特征向量矩陣不可逆，所以前面概括的解析解法不適用，此時的解的形式為yi (t) = (bi bi2t)e：t其中bi和源是積分常數(shù)和矩陣A中的系數(shù)函數(shù)。汽是唯一的特征值。若a0,解是不穩(wěn)定的。更高維系統(tǒng)的穩(wěn)定性也有類似的性質(zhì)。如果所有的特征值都為正，這系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果所有的特征值都為

13、負，則系統(tǒng)穩(wěn)定的。如果特征值異號，則系統(tǒng)是鞍點路徑穩(wěn)定的。由于像前面所說的一樣，穩(wěn)定臂對應于與負特征值相關的特征向量，那么穩(wěn) 定臂的維數(shù)就是負特征值的個數(shù)。例如在有一個負特征值的3*3系統(tǒng)中，穩(wěn)定臂(有時被稱為穩(wěn)定流形(stable manifold)是一條通過穩(wěn)態(tài)且對應于這一負特征向 量的直線。如果有兩個負特征值，則穩(wěn)定流形是一個通過穩(wěn)態(tài)的平面。這一平面 由這兩個負特征值生成。在一個 n*n系統(tǒng)中，穩(wěn)定臂是由相關特征向量生成的一 個超平面，其維數(shù)等于負特征值的個數(shù)。例3,考慮一個非對角系統(tǒng)。yi(t) =0.06yi(t)-y2(t) 1.4y2 (t) = -0.004yl (t) 0.0

14、4以矩陣符號表示，這一系統(tǒng)可被寫成jy；(t)M(t),0.060.004一1,i0 大y2(t)J 0.04；它有初始條件為 y1(0)=1, lim.e_0.06t y1 (t) = 0在這個例子中x是一個常數(shù)向量X(t)=1.4904對角特征值矩陣D和特征向量矩陣100 0.04,-0.040.10.1/0.140.04/0.14-1/0.141/0.14定義4、=VyBarro的經(jīng)濟增長中譯本有誤，其100/14 一項的符號為正是錯誤的。 ,則系統(tǒng)可改寫成 ）y2 ）乙=0.1乙 1 01 4Z2 =一0.0鈕 9.61 4這樣一個由兩個微分方程組成的系統(tǒng)，而我們已經(jīng)知道如何求解。其解

15、為 01tZ1（t） = 100/14 13.1Z2（t） =240/14 bze。04t其中“和b2是要通過邊界條件加以確定的積分常數(shù)。通過在Z之前乘以V我們可以把對和而言的解轉(zhuǎn)換成對 Y的解y1（t） =10 b4.1t b2e，.4ty2（t） =2 0.04b1e.1t 0.母-04t我們現(xiàn)在需要確定常數(shù)b1和b2的值。初始條件y1（0） = 1暗示，b1+b2 = -9。利用條件 lim_e06ty1（t）1=0當t趨于無窮大時中間那個表達式中的第一和第三項都趨于0,但是除非等于0,這意味著“ =0 ,所以，b2 = -9。.因此這個ODE系統(tǒng)的精確解為y1（t） =10 9e04t

16、y2=2 0.9e4t穩(wěn)定臂為y2（t） =0.1y1（t） 1注意在t=0時，%（0） =1 ,隨后持續(xù)增加并趨于其穩(wěn)態(tài)值10,變量y2在t=0時等于1.1,隨后持續(xù)增加并趨于其穩(wěn)態(tài)值 2。換言之，邊界條件選擇了能使經(jīng)濟 終結(jié)于其穩(wěn)態(tài)的的初始值。所選的值使系統(tǒng)位于穩(wěn)定臂上。在初始點，朝向穩(wěn)態(tài) 的向量為，9 L或者把第一個元素標準化為1單位后，這一向量為負特征向量0.9I1 L因此，穩(wěn)定臂通過穩(wěn)態(tài)且對應于與負特征值的特征向量。10l撇開解析解，也可以討論方程組解的性質(zhì)yi=0.06，(t) 72 1.4 = 0y2(t) - -0.004yi(t) 0.04 = 0的解，穩(wěn)態(tài)解為*yi (t)

17、 =10* 一一 _y2 (t) = 2y； =0的軌跡是向上傾斜的直線y2 =1.4 + 0.06%。如果開始時，y1這條直線 在左邊，即y1比均衡值減少一點，y； 0, %是遞減的。y =0的軌跡是垂直與 必軸的直線y =10。如果開始時，y1這條直線在左邊，即y1比均衡值減少一點，丫20, y2是遞增的。反之，如果開始時，y1在這條直線在右邊，即y1比均衡值增加一點，y20, y2是遞減的。另外，一階導數(shù)等于0產(chǎn)生了兩條軌跡，將整個平面分成了四個區(qū)域。 可以 綜合起來畫出在四個區(qū)域的箭頭走向。為了評價系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們可以用相位圖研究在那個區(qū)域系統(tǒng)朝穩(wěn)定狀態(tài) 移動，答案是有兩個區(qū)域系統(tǒng)可

18、能趨于穩(wěn)定狀態(tài)，所以，該系統(tǒng)是鞍點穩(wěn)定的， 在這兩個區(qū)域，有一條路徑，系統(tǒng)沿著它從非穩(wěn)態(tài)開始，在穩(wěn)態(tài)點結(jié)束。該路徑 叫做穩(wěn)定臂。在任何非穩(wěn)定臂上的一點開始，系統(tǒng)都將偏離穩(wěn)態(tài)。在另外兩個區(qū) 域，有一條路徑是通過穩(wěn)態(tài)點的路徑叫做非穩(wěn)定臂。對微分方程系統(tǒng)的圖形解基本上也一樣.穩(wěn)定臂和不穩(wěn)定臂對應于兩個特征 向量。如果我們把這兩條臂理解為一組新的軸 -也就是說如果我們把舊的軸和線 抹去-那么老的矩陣A就可被表示為對角特征值矩陣.非對角情形下的相位圖相應 的看上去就向?qū)乔樾蜗履且粋€扭曲的版本。例4,新古典經(jīng)濟增長模型的穩(wěn)定性?？紤]拉姆齊模型:處二k(t)尸-兇一k(t)k(t)c(t) = k(t)冷

19、-： c(t)穩(wěn)定狀態(tài)所滿足的條件為:c(t) = k(t)F -、. k(t)fP+N3)dc . - j=: k 一：dk(二嚴 k* ,意味著穩(wěn)定點在消費所以，在k=k* =但i 時，c有最大值。注意k5最大值點的左側(cè)。在k二士I CLI (二.)左側(cè)，消費增長率大于0,在其右側(cè)，消費增長率小于00在c(t) = k(t)R-6,k(t)上側(cè)，資本增長率小于0,在其下側(cè)，資本增長率小 于0。據(jù)此，我們可以畫出，相位圖。五、非線性系統(tǒng)的線性化如同新古典拉姆齊模型那樣，經(jīng)濟學中許多最優(yōu)化問題的解都與非線性常微 分分成(ODE)系統(tǒng)有關。我們可以利用前面討論過的相位圖技巧直接研究穩(wěn)態(tài) 路徑的性

20、質(zhì)，也可以利用泰勒級數(shù)展開來對非線性方程進行線性化近似?？紤]如下的線性ODE系統(tǒng)：yi(t) = f1yi(t),y2(t),yn(t)y，2(t) = f 2yi(t), y2(t), ,yn(t)yn(t) = fnyi(t), y2(t), ,yn(t)其中，函數(shù)1()=12一一，是非線性的。我們可以利用泰勒級數(shù)展開來研究系 統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)領域中的穩(wěn)態(tài)。一階展開可被寫成yi(t) = f1()fy：()(yi-yi)f；n()(ynTn)Ryn=fn() fy：() (yi -y；)fy：() (yn 7；) Rn其中，是函數(shù)f i( ),i =1,2,，n ,在穩(wěn)態(tài)的值，f；j (),i =

21、 1,2,n; j = 1,2,，n是函數(shù)在穩(wěn)態(tài)對yi的偏導數(shù)。Ri項是泰勒余項。如果系統(tǒng)接近于穩(wěn)態(tài)，那么這些余項很小而且可被忽略。在穩(wěn)態(tài)附近線性化的方便之處在于根據(jù)穩(wěn)態(tài)的定義每個方程的第一項1()=1,2,，n為0;也就是說，對所有的i, yi穩(wěn)態(tài)值為0。去掉余項后的線性系統(tǒng)可用矩陣符號表示為*Y = A (Y -丫)其中A是一個對應于穩(wěn)態(tài)的函數(shù)的一階偏導數(shù)f；j (),i =1,2，n； j =1,2，n ,構(gòu)成的nxn常數(shù)矩陣。這一線性系統(tǒng)與前面分析過的系統(tǒng)類似。例如5,通過非線性系統(tǒng)線性化討論下列非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0.3=k-c0.3 k = k-c_0 7一c -c (0.3k .

22、 -0.06)其邊界條件為它有初始條件為k(0) = 1 , limb061k(t)=0。穩(wěn)態(tài)值為 t J二二_ _-0 7 一一c = c (0.3k . -0.06)其邊界條件為它有初始條件為k(0)=1, limeq6tk(t)=011穆利甘和薩拉伊馬丁(1991)提出了一種有效的數(shù)值技巧，稱之為時間消去方 法(time-elimination method) 0這種方法的關鍵是從方程中消去時間，就像我們在 構(gòu)造相位圖時所作的那樣。穩(wěn)定臂把 c表示為k的一個函數(shù)。在動態(tài)規(guī)劃中，這 一函數(shù)有時被稱為策略函數(shù)。暫時假設我們有這一策略函數(shù)的一個閉式解 c=c(k)0時間消去方法為算出策略函數(shù) c=c(k)提供了一種數(shù)值技巧。竅門是注意 到這一函數(shù)的斜率由對的比率給出：0 7dc _ g _ c _ c(k)0.3 k -0.06= c(k) 0-3dkk k c(k)注意到這是一個關于c的微分方程。其中導數(shù)dc/dk是對k而非對t的。為用標 準數(shù)值方法解這個方程，我們需要一個邊界條件；也就是說我們要知道位于穩(wěn)定 臂上的一點(c,k)。盡管我們并不了解初始的一對c(0), k(0),但我們清楚策略函