線性定常連續(xù)系統(tǒng)的解(一)

1、2.1 概述第二章 線性控制系統(tǒng)的動態(tài)分析2.2 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解2.3 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解（介紹）2.4 線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解（提高）小 結(jié)1本 章 簡 介本章討論線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析。主要介紹時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的求解、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和計(jì)算22.1 概述 建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述之后，接著而來的是對系統(tǒng)作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系統(tǒng)對給定輸入信號的響應(yīng)問題，也就是對描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的求解問題。定性分析主要包括研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，如能控性、能觀性、穩(wěn)定性等。3本章先討論用狀態(tài)空間模型描述的線性系統(tǒng)的定量分析問題，即狀態(tài)空間模型-

2、狀態(tài)方程和輸出方程的求解問題。根據(jù)常微分方程理論求解一個(gè)一階定常線性微分方程組，通常是很容易的?？墒乔蠼庖粋€(gè)時(shí)變的一階線性微分方程組卻非易事。（選學(xué)）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的引入，從而使得定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的求解公式具有一個(gè)統(tǒng)一的形式。為此，本章將重點(diǎn)討論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出狀態(tài)方程的求解公式。4本章需解決的問題:線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解理論基本概念: 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的性質(zhì)和計(jì)算重點(diǎn)與難點(diǎn)5求解狀態(tài)方程是進(jìn)行動態(tài)系統(tǒng)分析與綜合的基礎(chǔ)，是進(jìn)行定量分析的主要方法。本節(jié)講授的狀態(tài)方程求解理論是建立在狀態(tài)空間上，以矩陣代數(shù)運(yùn)算來描述的定系數(shù)常微分

3、方程解理論。下面基于矩陣代數(shù)運(yùn)算的狀態(tài)方程解理論中，引入了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣這一基本概念。該概念對我們深刻理解系統(tǒng)的動態(tài)特性、狀態(tài)的變遷(動態(tài)演變)等都是非常有幫助的，對該概念必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。2.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解6本節(jié)需解決的主要問題狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?矩陣指數(shù)函數(shù)？狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)齊次狀態(tài)方程的求解?非齊次狀態(tài)方程的求解?非齊次狀態(tài)方程解的各部分的意義？輸出方程的解？重點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)7在討論一般線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解之前，先討論線性定常齊次狀態(tài)方程的解，以引入矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣等概念。所謂齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中不考慮輸入項(xiàng)(u(t)=0)的作用，

4、滿足方程解的齊次性。研究齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)本身在無外力作用下的自由(自治)運(yùn)動。所謂非齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中輸入項(xiàng)的作用，狀態(tài)方程解對輸入具有非齊次性。研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動。8下面，將依次分別討論:齊次狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常連續(xù)系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解92.2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解齊次方程就是指滿足解的齊次性的方程，即若x是方程的解，則對任意非零的實(shí)數(shù)a,ax亦是該方程的解。所謂齊次狀態(tài)方程，即為下列不考慮輸入的自治方程x=Ax齊次狀態(tài)方程滿足初始狀態(tài)對上述齊次狀態(tài)方程,常用的常微分方程求解方法有級數(shù)展開法和

5、拉氏變換法 2種。 101. 級數(shù)展開法在求解齊次狀態(tài)方程式之前，首先觀察標(biāo)量常微分方程在初始時(shí)刻t0=0的解。該方程中x(t)為標(biāo)量變量，a為常數(shù)。由常微分方程理論知，該方程的解連續(xù)可微。因此，該解經(jīng)泰勒展開可表征為無窮級數(shù)，即有式中， qk(k=1,2,.)為待定級數(shù)展開系數(shù)。 11將所設(shè)解代入該微分方程,可得 如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解，則對任意t，上式均成立。因此，使t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等，即可求得令x(t)的解表達(dá)式中t=0，可確定q0=x(0)因此， x(t)的解表達(dá)式可寫為12上述求解標(biāo)量微分方程的級數(shù)展開法，可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解。為此，設(shè)其解為t的向量冪級數(shù)，即 x

6、(t)=q0+q1t+q2t2+qktk+式中， qk(k=1,2,.)為待定級數(shù)展開系數(shù)向量。將所設(shè)解代入該向量狀態(tài)方程x=Ax，可得q1+2q2t+3q3t2 +kqktk-1+=A(q0+q1t+q2t2 +qktk+)如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解，則對任意t，上式均成立。因此，使t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等，即可求得13若初始時(shí)刻t0=0，初始狀態(tài)x(0)=x0，則可確定q0=x(0)=x0因此，狀態(tài)x(t)的解可寫為該方程右邊括號里的展開式是nn維矩陣函數(shù)。由于它類似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的無窮級數(shù)展開式，所以稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，且記為利用矩陣指數(shù)函數(shù)符號，齊次狀態(tài)方程的解可寫為：x(t)=eAt

7、x0142拉氏變換法若將對標(biāo)量函數(shù)拉氏變換的定義擴(kuò)展到向量函數(shù)和矩陣函數(shù)，定義對向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的拉氏變換為分別對該向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的各個(gè)元素求相應(yīng)的拉氏變換，那么可利用拉氏變換及拉氏反變換的方法求解齊次狀態(tài)方程的解。對該齊次狀態(tài)方程x=Ax，設(shè)初始時(shí)刻t0=0且初始狀態(tài)x(t)=x0，對方程兩邊取拉氏變換，可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得該齊次狀態(tài)方程的解x(t)的拉氏變換為 X(s)=(sI-A)-1x015對上式取拉氏反變換，即得齊次狀態(tài)方程的解為x(t)=L-1(sI-A)-1x0下面討論如何求解拉氏反變換L-1(sI-A)-1。主要思想為將標(biāo)量函數(shù)的拉氏變換與反變換平行

8、推廣至矩陣函數(shù)中。對標(biāo)量函數(shù)，我們有16將上述關(guān)系式推廣到矩陣函數(shù)則有其中eAt稱為時(shí)間t的矩陣指數(shù)函數(shù)，并有17因此，基于上述(sI-A)-1的拉氏反變換，該齊次方程的解為x(t)=L-1(sI-A)-1x0 = eAt x0上述拉氏反變換法求解結(jié)果與前面的級數(shù)展開法求解結(jié)果一致。若初始時(shí)刻t00，對上述齊次狀態(tài)方程的解作坐標(biāo)變換，則可得解的另一種表述形式:狀態(tài)方程的解表達(dá)式說明了齊次狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上是初始狀態(tài)x(t0)從初始時(shí)刻t0到時(shí)刻t系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，其轉(zhuǎn)移特性和時(shí)刻t的狀態(tài)完全由矩陣指數(shù)函數(shù) 和初始狀態(tài)x(t0)所決定。18解 (1) 首先求出矩陣指數(shù)函數(shù)eAt，其計(jì)算過程為【

9、例1】試求如下狀態(tài)方程在初始狀態(tài)x0下的解19(3) 狀態(tài)方程的解為(2) 計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。20為討論方便，引入能描述系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性的線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下:(t)=eAt因此,有如下關(guān)系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)由上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義和齊次狀態(tài)方程的解，系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有如下關(guān)系(t)=L-1(sI-A)-121齊次狀態(tài)方程的解描述了線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動。由解的表達(dá)式可以看出，系統(tǒng)自由運(yùn)動的軌線是由從初始時(shí)刻的初始狀態(tài)到t時(shí)刻的狀態(tài)的轉(zhuǎn)移刻劃的，如圖2-1所示。圖2-1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性22當(dāng)初始狀態(tài)給定以后，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性就完全由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

10、所決定。所以，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動的全部信息?？梢姡瑺顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算是齊次狀態(tài)方程求解的關(guān)鍵。232.2.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣下面進(jìn)一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,主要內(nèi)容為:基本定義矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)241. 基本定義定義2-1 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)x=Ax,當(dāng)初始時(shí)刻t0=0時(shí)，滿足如下矩陣微分方程和初始條件:(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)為線性定常連續(xù)系統(tǒng)x=Ax的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。這里定義的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的。引入上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣新定義，主要是為了使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念易于推廣到時(shí)變系統(tǒng)、離散系統(tǒng)等，使得有可能對各種類

11、型系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解作統(tǒng)一描述，更好地刻劃系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動變化的規(guī)律。25當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為nn維方陣時(shí),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)亦為nn維方陣,且其元素為時(shí)間t的函數(shù)。下面討論幾種特殊形式的系統(tǒng)矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1) 對角線矩陣。 當(dāng)A為如下對角線矩陣:A=diag1 2 n 則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 式中，diag表示由括號內(nèi)元素組成對角線矩陣。262) 塊對角矩陣。當(dāng)A為如下塊對角矩陣:A=block-diagA1 A2 Al其中Ai為mimi維的分塊矩陣,則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為式中，block-diag表示由括號內(nèi)各方塊矩陣組成塊對角矩陣。273) 約旦塊矩陣。當(dāng)Ai為特征值為i的mimi維約旦塊,則分塊矩陣的

12、矩陣指數(shù)函數(shù)為對上述三種特殊形式矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù),可利用矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式證明。282. 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下性質(zhì)(t)為方陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣)1) (0)=eA0=I292) eA(t+s)=eAteAs ， (t+s)=(t)(s)式中t和s為兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量自變量證明 由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開式,有3) (t2-t1)-1=(t1-t2)304) 對于nn階的方陣A和B,下式僅當(dāng)AB=BA時(shí)才成立e(A+B)t=eAteBt5) 6) (t)n=(nt)7) (t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0) 31由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義，有x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1