數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模

1、關(guān)于數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模第一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月21.什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型第二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月3自然離不開數(shù)學(xué)1、圓形蜘蛛網(wǎng)是一個簡單漂亮的數(shù)學(xué)創(chuàng)造2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工時”巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格 3、在礦物結(jié)構(gòu)中，可以找到許多更為奇妙的空間圖形 第三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月4問題/應(yīng)用來自數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)核磁共振成像技術(shù)(MRI)計算機(jī)輔助成像(CAT)積分幾何空中交通管制控制論期權(quán)定價Black-Scholes期權(quán)模型和Monte Carlo模擬全局勘察、信號處理、圖象處理、數(shù)據(jù)采掘應(yīng)急用儲備物資的

2、管理運(yùn)籌學(xué)、最優(yōu)化理論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性邏輯、計算機(jī)科學(xué)、組合學(xué)機(jī)密和完整性數(shù)論、密碼學(xué)/組合學(xué)大氣和海洋的建模小波、統(tǒng)計學(xué)、數(shù)值分析敏捷制造、自動制造、可視化、機(jī)器人過程質(zhì)量控制中的幾何學(xué)、控制論設(shè)計和訓(xùn)練模擬、建模、離散數(shù)學(xué)人類基因組分析數(shù)據(jù)采掘、模式識別、算法合理的藥物設(shè)計數(shù)據(jù)采掘、組合學(xué)、統(tǒng)計學(xué)Seiberg- Witten方程(弦論)幾何學(xué)宇宙數(shù)據(jù)的解釋數(shù)據(jù)采掘、建模、奇點理論復(fù)合材料的設(shè)計系統(tǒng)控制論、計算、偏微分方程地震的分析和預(yù)測過程控制中的統(tǒng)計學(xué)動力系統(tǒng)/湍流建模社會離不開數(shù)學(xué)第四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月5 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物

3、之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學(xué)作為語言工具 。著名數(shù)學(xué)家 華羅庚 任何應(yīng)用問題，一旦建立起了數(shù)學(xué)的模型，就會立即顯現(xiàn)出解決問題的清晰途徑和通向勝利的一線曙光。馬克思教導(dǎo)我們：一門學(xué)科只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了完善的地步！第五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月6玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實物模型我們常見的模型第六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月7玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型我們常見的模

4、型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型第七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月8玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物，集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型第八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月9模型物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型物理模型思維模型符號模型數(shù)學(xué)模型模型的分類第九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月10 “1”是最簡單的數(shù)學(xué)模型。 那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型 設(shè)水池的總?cè)萘繛?。兩臺抽水機(jī)

5、同時工作所需要時間為 例 兩臺不同功率的抽水機(jī)向一個大水池中注水。如果第一臺抽水機(jī)單獨(dú)工作，4小時可以將水池注滿；如果第二臺抽水機(jī)單獨(dú)工作，6小時可以將水池注滿?，F(xiàn)在由兩臺抽水機(jī)同時工作，需要多長時間注滿水池？（小時） 第十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月11弧度制是對角大小的另一種度量方式，弧度制的基本原理與平面相似形有關(guān)。1扇形相似于扇形 因此，可以用扇形弧長與半徑之比來確定圓心角。 比如，當(dāng)扇形的弧長與半徑之比為時，對應(yīng)的圓心角是直角；時，對應(yīng)的圓心角是平角（扇形剛好是半圓）. 當(dāng)扇形的弧長與半徑之比為弧度制的主要特點是只用數(shù)就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量綱（

6、名數(shù)）。 引入角的弧度制實際上是數(shù)學(xué)建模的過程，這種數(shù)學(xué)模型恰是關(guān)于幾何圖形的數(shù)學(xué)模型。第十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月12方程是表現(xiàn)等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型 那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型例 一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬馱倆，馬仔倆馱一塊。問大馬、小馬、馬仔各幾何。解 設(shè)大馬，小馬，馬仔分別為匹，應(yīng)有分別消去 和 可得這是一個不完全方程組的求整數(shù)解問題丟番圖問題。第十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月13 “點”、“面”、“線”抽象化的數(shù)學(xué)模型那些我們所熟知的數(shù)學(xué)模型1726年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（17011783）受聘于沙俄科學(xué)院，后來出任數(shù)學(xué)部主任。1736年秋天，歐拉收

7、到來自東普魯士首都哥尼斯堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生在來信中向他請教的是下面一個問題。 布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學(xué)的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個小島，七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚前后，學(xué)生們?nèi)齼蓛傻厣⒉接谛u上與河岸邊。 有人突發(fā)奇想，能不能在一個晚上走遍這七座橋而每座橋又都只通過一次呢？哥尼斯堡七橋問題第十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月14店主橋鐵匠橋木橋綠橋“饞嘴”吉布萊茨橋高橋蜜橋內(nèi)福夫島普雷蓋爾河新河道舊河道哥尼斯堡是條頓騎士在1380年建立的，作為日耳曼勢力最東端的前哨達(dá)四百年之久。第二次世界大戰(zhàn)以后，他被更名為加里寧格

8、勒，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間，加里寧格勒現(xiàn)仍屬俄羅斯。 第十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月15CDBA作為一筆畫過程，應(yīng)該只有一個起點和一個終點，并且起點和終點應(yīng)該是奇節(jié)點，而其它點都是通過點，并只能是偶節(jié)點歐拉在草紙上勾畫出示意圖。在他看來，問題是否有可行的方案，與島、半島的大小無關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的長度無關(guān)。因而不妨將半島、兩側(cè)河岸和小島都縮為一點，將各個小橋代之以線?，F(xiàn)在的問題是，能否用一只鉛筆從“結(jié)點”A、B、C、D之中的某一點開始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而不出現(xiàn)線路重復(fù)呢？ 類似這樣的問題，后來被統(tǒng)稱為“一筆畫”問題。

9、圖中四個節(jié)點A、B、C、D都是奇節(jié)點。所以，這是一個不可行的一筆畫問題。 第十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月16什么是數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模 一般地說，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）第十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月17數(shù)學(xué)模型的分類分類標(biāo)準(zhǔn)具體類別對某個實際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)學(xué)方

10、法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際范疇人口模型、生 態(tài)系統(tǒng)模型 、交通流模型、經(jīng) 濟(jì)模型、 基因模型等第十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月182.如何數(shù)學(xué)建模？第十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月19你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解第十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月20航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出必要的簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）

11、； 用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時20千米/小時）； 驗證上述結(jié)果（用實際現(xiàn)象進(jìn)行驗證）。第二十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月21幾個數(shù)學(xué)建模示例第二十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月22例1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，任何方向都不會出現(xiàn)間斷，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對平坦，使椅子在

12、任意位置至少三只腳同時著地。第二十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月23 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCODC B A 用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是 的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來模型構(gòu)成第二十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月24用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f() , g()是連續(xù)函數(shù)對任意, f(), g()至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知： f

13、() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地第二十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月25模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因為f() g()

14、=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評注和思考建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子和 f(), g()的確定第二十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月26 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的問題第二十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月27模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)抓本質(zhì)，在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題內(nèi)在規(guī)律發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟第二十七張，

15、PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月28模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟第二十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月29例2 商人們怎樣安全過河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全

16、體人員過河第二十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月30模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+

17、1=(0,0).多步?jīng)Q策問題第三十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月31模型求解xy3322110 窮舉法 編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y) 16個格點 10個 點允許決策D 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法, 易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D=(u , v) u+v=1, 2 適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效解決此類問題的方法。第三十一張，PPT共四十三頁，

18、創(chuàng)作于2022年6月32數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐第三十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月33思考與練習(xí)第三十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能

19、停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離 L。這就是說，在離街口距離為 L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。 馬路的寬度 D是容易測得 的，問題的關(guān)鍵在 于L的確定。為確定 L，還應(yīng)當(dāng)將 L劃分為兩段：L1和L2，其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時間內(nèi)駛過的路程 ，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機(jī)的平均反應(yīng)時間 t1早有測算，反應(yīng)時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v 也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，

20、從而 L1=v*t1。剎車距離 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來 （ 留作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計算出 L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已過線的車順利穿過馬路，即T 至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到 （L+D）/v。 DL第三十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí) 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。 顯然，這是一個對策問題，較為復(fù)雜。僅討論以下簡單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)

21、已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追趕方案的設(shè)計） 設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r()，見圖1。BAA1drdsd圖1第三十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月363.為什么數(shù)學(xué)建模？第三十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月37 隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型這個詞匯越來越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動中。例如： 電氣工程師必須建立一個用于控制生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，通過它的精確設(shè)計和計算來實現(xiàn)有效的過程控制； 氣象工作者為得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報，需要依賴于根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立的數(shù)學(xué)模型； 生理醫(yī)學(xué)家通過構(gòu)建藥物濃度在人體內(nèi)隨時間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，可以分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥； 城市規(guī)劃者需要建立一個包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)依據(jù)。第三十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月38數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機(jī)