固體力學(xué)中的邊界積分方程及其邊界元法綜述

1、2014年03月17日計算固體力學(xué)讀書報告固體力學(xué)中的邊界積分方程及其邊界元法綜述Review of the Boundary Integral Equation andBoun dary Eleme nt Method in Solid Mecha nics土木工程系評語讀書報告計算固體力學(xué)（2013-2014）- - TOC o 1-5 h z 目錄 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 摘要2A BSTRACT 2一、弓丨言 3 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1）什么是邊界元法3 HYPER

2、LINK l bookmark12 o Current Document 2）積分方程和邊界元法的發(fā)展歷史2 3 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 二、邊界元法5 4 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 1）概述4 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 2）基本解4 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 3）拉普拉斯（Laplace ）積分方程 5 HYPERLINK l bookmark26 o Curre

3、nt Document 4）拉普拉斯（Laplace ） 邊界積分方程 6 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 5）拉普拉斯（Laplace ）積分方程離散化與解法6 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 6）泊松（Poisson） 邊界積分方程 7 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 三、結(jié)束語8 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 參考文獻 9讀書報告計算固體力學(xué)(2013-2014) 摘要本文綜述了邊

4、界元法的歷史、現(xiàn)狀及發(fā)展，并對積分方程和邊界元法的原理進行了簡單推導(dǎo)。邊界元法是在經(jīng)典的積分方程的基礎(chǔ)上，吸收了有限元法的離散技術(shù)而發(fā)展起來的計算方法，具有計算簡單、適應(yīng)性強、精度高的優(yōu)點。它以邊界積分方程為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時采用了與有限元法相似的劃分單元離散技術(shù)，為代數(shù)方程組，再用數(shù)值方法求解代數(shù)方程組, 的有限單元法求解不可壓縮材料會遇到嚴重困難 問題。近年來隨著將快速多級算法引入邊界元法 幾個數(shù)量級的提高。關(guān)鍵詞：邊界元法積分方程邊界離散通過將邊界離散為邊界元，將邊界積分方程離散從而得到原問題邊界積分方程的解。用傳統(tǒng)，但是用邊界元法求解這類材料不會有任何，使邊界元法的計算效率和解題規(guī)模都有了

5、快速多級算法AbstractThis paper reviews the history, curre nt situati on and developme nt of the boun dary eleme nt method and deduced the in tegral equatio n. The boun dary eleme nt method is based on the in tegral equati on and absorbed the discrete tech no logy of fin ite eleme nt method. It has the adv

6、a ntages of simplecalculatio n, stro ng adaptability and high accuracy. It is based on the boun dary in tegral equati on, though boun dary discretizatio n discrete boun dary in tegral equati ons into algebraic equati ons, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the

7、original problem soluti on of boun dary in tegral equatio ns. The soluti on of n early or exactly in compressible materialproblems prese nts serious difficulties and errors whe n using the conven ti onal displaceme nt-basedfin ite eleme nt method, because the gen eral stress-stra in equati ons of el

8、asticity contain terms thatbecome infin ite as Poiss ons ratio reaches 0.5, Whindthy element method accommodatessuch problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much atte n

9、ti on because some large-scale engin eeri ng desig n and an alysis problems were an alyzed faster using boun dary eleme nt method tha n with fin ite eleme nt method. This new trend suggests future prospects for boun dary eleme nt method applicati ons.Keywords: Boundary Element Method; Integral Equat

10、ion; Boundary Discretization Method;Fast Multipole Algorithm引言什么是邊界元法邊界元法是在經(jīng)典的積分方程的基礎(chǔ)上，吸收了有限元法的離散技術(shù)而發(fā)展起來的計算方法。從計算格式形成的全過程來看，關(guān)鍵問題有兩個。一個是問題的邊界化，即將給定區(qū)域上的定解問題化為可以只考慮邊界的問題。這一步的關(guān)鍵是格林公式，這是邊界元法的基石。邊界化的結(jié)果使問題降維，如果是各維尺度相近的大型問題，代數(shù)方程組的未知數(shù)按指數(shù)規(guī)律減少，這無疑將大大減少準備工作、存儲量與機時。有限元法要將全部區(qū)域及邊界 離散，并要求將全部節(jié)點納入方程進行計算，這是因為這些節(jié)點值包含在同

11、一個封閉方程組中。邊界元法的封閉方程組中只有邊界結(jié)點上的未知量，解完方程組再根據(jù)需要有目的地求內(nèi)部值，因此減少了計算的盲目性。第二個關(guān)鍵是邊界的離散化。單就離散技術(shù)本身而言，與有限元法沒有很大的不同。由于只對邊界離散，因此計算誤差只來源于邊界，這就使我們將減少誤差的全部注意力放在邊界上。有由于區(qū)域內(nèi)由解析公式計算，這就提高了計算精度，并達到內(nèi)部值的某些特殊要求，如連續(xù)性、可微性等。計算格式形成的兩個關(guān)鍵已經(jīng)體現(xiàn)了計算簡單、適應(yīng)性強、精度高的優(yōu)點，這正是這種方法的生命力所在。積分方程和邊界元法的發(fā)展歷史21828年George Green就對位勢問題提出了三個Green等式，其中包括解的積分表示

12、式，即將問題的解表示為單層勢和雙層勢與邊界變量及其法向?qū)?shù)乘積的邊界積分。1903年由Erik Ivar Fredholm 奠基了積分方程理論。1926年Erich Trefftz提出了區(qū)別于 Ritz法的積分方 程邊界解法，即Trefftz法。1963年M.A.Jaswon將邊界積分方程直接法用于位勢問題。1967年F.J.Rizzo在Quarterly Applied Mathematics發(fā)表了關(guān)于彈性靜力學(xué)問題直接法邊界積分方 程方法的論文一維函數(shù)具有下列性質(zhì):。C.A.Brebbia于1978年出版了書籍工程師用邊界元法，P.K.Nanerjee和R.Butterfield于1981

13、年出版了工程科學(xué)中的邊界元法。我國的邊界元法研究起步于20世紀70年代末，清華大學(xué)的杜慶華在推動我國邊界元法研究方面起了重要作用。清華大學(xué)張楚漢運用動力學(xué)邊界元法與斷裂力學(xué)原理提出重力壩 地震斷裂與拱壩裂縫擴展模型，在邊坡與地下工程研究方面提出了時域邊界元與離散元耦合模型。邊界元法由于形成的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是滿陣，因此對于求解規(guī)模有很大的制約，傳統(tǒng)的邊界元法難以處理工程實際中復(fù)雜的大規(guī)模計算問題。由于20世紀90年代開始將計讀書報告計算固體力學(xué)（2013-2014）(5) 算數(shù)學(xué)的重要成果一一快速多級算法引入邊界元法，使邊界元法的計算效率和解題規(guī)模都有了幾個數(shù)量級的提高。采用快速多極邊界元

14、法，在一臺微機就能計算數(shù)十萬、甚至上百萬個 自由度的大規(guī)模問題， 在微機機群并行系統(tǒng)能計算近千萬自由度，在超級計算機最大的算例達到數(shù)千萬自由度。這是邊界元法今年的重要進展之一。邊界元法51）概述采用邊界元法求解時，根據(jù)積分定理，將區(qū)域內(nèi)的微分方程變換成邊界上的積分方程。 然后，將邊界分割成有限大小的邊界元素，稱為邊界單元，把邊界積分方程離散成代數(shù)方程。同樣，把求解微分方程的問題變換成求解關(guān)于節(jié)點未知量的代數(shù)方程的問題。邊界元法分為直接法和間接法兩類。直接法用物理意義明確的變量來建立積分方程，積分方程中的未知函數(shù)就是所求物理量在邊界上的值；間接法用物理意義不一定明確的變量來建立積分方程。2）基本

15、解邊界元法中，將微分方程變換成積分方程時要應(yīng)用基本解。設(shè)以函數(shù)u表示的某一物理現(xiàn)象與時間無關(guān)，微分方程為：Lu（P） =0（ 1）其中L為線性微分算子，P為區(qū)域內(nèi)的點。式（1）的基本解u*定義為下列方程的解：Lu*（P,Q） 、（P -Q） =0（2）式中的P和Q為無限域中的任意兩點,、.（PQ）為狄拉克（Dirac）.函數(shù):(4)b.aU(x)(x- )dxu()0a ：: b:a或 b :讀書報告計算固體力學(xué)(2013-2014) 對于二維和三維問題只需把積分換為二維和三維積分即可。拉普拉斯(Laplace)積分方程考慮下述二維拉普拉斯方程的混合邊界條件問題:l2u=0區(qū)域吶(6)u =u

16、邊界:u 上邊界】q上(7)式中廠為拉普拉斯算子。格林(Green)公式:(8)式中P、Q為二維無限域中的任意兩點。取P點為坐標原點，將(9)式寫成極坐標形式,即:d2u* 1 du*dr2 r dr=(r)(10)r = 0r =0拉普拉斯方程(6)的基本解u (P,Q)滿足方程:(9)l2u*(P,Q)、(P _Q)二0r為P點和Q點之間的距離。運用格林公式可得拉普拉斯方程的基本解：* 1 1 ,、u (P,Q) ln( 11)2 兀 r(P,Q)把u和u*(P,Q)代入格林公式中，并由 ：函數(shù)的性質(zhì)，可得：u(P) = u*(P,Q)q(Q)u(Q)q*(P,Q)d】(Q)( 12)式中

17、q*(P,Q)=工(P,Q)。該式是區(qū)域內(nèi)任意點的函數(shù)值u(P)、邊界上的函數(shù)值u(Q)岔(Q)和函數(shù)的法向?qū)?shù)值 q(Q)之間的關(guān)系式，稱為積分方程。如果邊界上所以未知的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?shù)值全部求出的話，區(qū)域內(nèi)任意點的函數(shù)值就可以通過上式計算。將基本解式(11)代入(12)式得:u（P） *少侖器蟲）啟口荷心）(13)4）拉普拉斯（Laplace）邊界積分方程式（12）對于區(qū)域內(nèi)的任意點都適用，現(xiàn)在把式（12）用在邊界上，可得邊界積分方程：C（P）u（P）二u*（P,Q）q（Q）_u（Q）q*（P,Q）d（Q）（ 14）式中的C（P）是與P點處的邊界幾何形狀有關(guān)的常數(shù)，C（P）二蘭巳，J

18、（P）為邊界點P處2n的邊界切線之間的夾角，對于光滑邊界d（p）二：。將基本解式（11）代入邊界積分方程（14）式得:u(P)=1(Q)r(P,Q) ：n(Q)-u(Q)lnn(Q )1EdQ)(15)5）拉普拉斯（Laplace）積分方程離散化與解法一般情況下，不可能用解析法來求解積分方程，而必須采用近似的數(shù)值解法。邊界元法將區(qū)域的邊界分割成 n個邊界單元，整個邊界上的積分以n個邊界單元上的積分和來表示。各邊界單元上的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?shù)值，可以通過插值函數(shù) （也稱形函數(shù)）和邊界單元上有限個點（稱為節(jié)點）的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?shù)值，以多項式近似?，F(xiàn)采用常單元將邊界積分方程離散成聯(lián)立一次方程

19、組。把邊界F分割成n個邊界單元 匚（j=1 , 2，n）。其中n1個邊界單元屬于邊界-u, Q個邊界單元屬于邊界-q，總的邊界單元數(shù)n=n 1+ n2。對 于常單元（也稱 0次單元），節(jié)點取在邊界單元的中點，邊界上的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?shù) 值在邊界單元上設(shè)為常量，并等于節(jié)點的值。對于n個節(jié)點，得到的聯(lián)立一次方程組，可以用下列矩陣形式表示：HU=GQ（16）其中，H和G是n n階的系數(shù)矩陣，U和Q分別是邊界單元節(jié)點的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?數(shù)值的列向量。在（16 ）式中，未知量和已知量在方程的兩邊都有，可寫成下述形式：H11H21H12H22H11H21H 1i 1H 21 1.n1Hn2HnlG

20、nG21Gnl以直線為界,可用部分矩陣表示如下:G2把未知量移到等號的左邊,已知量移到等號的右邊，得1H1G2將等號左邊的系數(shù)矩陣用A表示，未知的列向量用X表示，Gi+ Gm 丨 q1G21 1 G2nq2qiqiiGnl 半Gnn qnn等號右邊的已知列向量用未知IJ已知示，上式可以寫成:(17)AX 二 F在邊界上n個函數(shù)值和n個函數(shù)的法向?qū)?shù)值中，n1個函數(shù)值和n2個函數(shù)的法向?qū)?shù)值(n n2 = n )作為邊界條件給出，所以由上述方程組可以求出邊界上所有未知的函數(shù)值(n2個)和函數(shù)法向?qū)?shù)值(n1個)。把整個邊界上的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?shù)值代入積分方程式(12)，就可以計算區(qū)域內(nèi)任意點

21、的函數(shù)值。泊松(Poisson)邊界積分方程考慮下述二維泊松方程的邊值問題：可2u=b區(qū)域0內(nèi) TOC o 1-5 h z u =u邊界u上(18)q二昱岡邊界丨q上與拉普拉斯方程一樣，可得積分方程：u(P)亠 $U*(P,Q)b(Q)d(Q) = u*(P,Q)q(Q) -u(Q)q*(P,Q)d】 (Q)( 19)邊界積分方程：.* * * ._ C(P )u(P ) - u (P ,Q)b(Q)d 鋰 Q)二-u (P ,Q )q(Q)-u(Q )q (P ,Q )d】(Q )( 20) 式中的系數(shù)C（P）與拉普拉斯方程中相同。對于n個節(jié)點，用矩陣形式表示的聯(lián)立一次方程組為：HU =GQ

22、 B（ 21）其中H、G、U和Q與拉普拉斯方程中相同，而 B=（Bi B2 Bn T。把式（21）中的未知量和已知量重新排列后可以寫成AX =F，式中的 X為未知列向量。按給定的邊界條件解上述方程組，可求出邊界上未知的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?shù)值。然后，由邊界上的函數(shù)值和函數(shù)的法向?qū)?shù)值，計算區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值。三、結(jié)束語邊界元法的創(chuàng)立既有邊界積分方程理論的深厚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和現(xiàn)代飛速發(fā)展的計算機的堅實物質(zhì)基礎(chǔ)，同時也受到了有限元法的啟發(fā)和推動。它幾十年的發(fā)展也繼續(xù)受到有限元法和其它數(shù)值方法飛速發(fā)展的啟發(fā)和推動，但另一方面也不能回避，它的發(fā)展因為與有限元法等的競爭而受到制約。經(jīng)過 40多年的發(fā)展，在固體力學(xué)

23、領(lǐng)域，邊界元法已經(jīng)成為除有限元法 外最重要的一種有效的數(shù)值分析方法，它被定位在有限元法的一種重要的補充。對于應(yīng)力集中一類求解場具有高梯度、應(yīng)力具有奇異性的斷裂力學(xué)等問題，邊界元法不僅具有比有限元法更高的精度，而且在得到同樣精度的解的條件下具有更高的效率。其原因不僅在于邊界元法降低了問題的維數(shù)，而且還因為通常最大應(yīng)力發(fā)生在邊界，邊界元法可以更直接地得到邊界值的較精確的解。 邊界元法對于求解半無限域問題也有較大的優(yōu)勢，因此在水工結(jié)構(gòu)、 地下工程、巖土工程等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。因為邊界元法要以存在解析基本解（包括具有良好收斂性的級數(shù)解） 為先決條件，因此很難用來解決非均勻介質(zhì)等復(fù)雜問題，這是它的最大的弱點。為了推動邊界元法的繼續(xù)發(fā)展，除了研究它的理論、方法，力圖取得新的突破之外， 應(yīng)用研究對于邊界元法乃是至關(guān)重要的。在國際上，