《控制工程基礎(chǔ)》第三章習(xí)題解題過程及答案

1、3-1已知某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)二語，試求其單位階躍響應(yīng)。解法一，采用拉氏反變換：C(s)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)=R(s)G(s)K=k=1+G(s)Ts+K+1k1輸入為單位階躍，即：R(s)=-s故:C(s)=0(s)R(s)=比+；+K可由待定系數(shù)法求得：A二，K+1KK+1KK+1所以，C(s)=1AB=+ss丄K+1s+TB=丄K+1-丄(1一1)s+空曲TT對上式求拉氏反變換：解法二，套用典型一階系統(tǒng)結(jié)論：由式(3-15)，已知典型一階系統(tǒng)為：空s)=呂丄由式(3-16)，其單位階躍響應(yīng)為：c(t)=1-eTt若一階系統(tǒng)為(s)=，則其單位階躍響應(yīng)為：c(t)=

2、K(1一eT)R(s)Ts+1、C(s)G(s)現(xiàn)本系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)=k=,R(s)1+G(s)Ts+K+1Ts(K+1)+1Ts+1K(K+1)其中，八,丄Kki所以，c(t)=K(1-e-Tt)(1-e-Tt)K+1采用解法二，概念明確且解題效率高，計算快捷且不易出錯，應(yīng)予提倡3-2設(shè)某溫度計可用一階系統(tǒng)表示其特性，現(xiàn)在用溫度計測量容器中的水溫，當(dāng)它插入恒溫水中一分鐘時，顯示了該溫度的98%，試求其時間常數(shù)。又若給容器加熱，水溫由0C按10C/min規(guī)律上升，求該溫度計的測量誤差。解：(1)由題意知，誤差為2%,因此調(diào)節(jié)時間：t二4T二1min，即時間常數(shù)T：sT二-1=0.25

3、min二15sec4s(2)由題意知輸入信號為斜坡信號，r(t)10。Cmin。由式(3-24)，一階系統(tǒng)跟蹤斜坡信號時有一固定穩(wěn)態(tài)誤差：eAT10Cminx0.25min2.5。Csst3-3一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題3-3圖所示，其中為開環(huán)放大倍數(shù)，K2為反饋系數(shù)。設(shè)=100,=0.1。試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間t(按5%誤差計算)；如果要求t=0.1，求反饋系數(shù)K_os2解：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖題3-3圖KC(s)1系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)務(wù)KR(s)1+K1K2sK1s+KK12厶s+1KK12可見，時間常數(shù)T=0.1secKK12(1)調(diào)節(jié)時間t3T0.3sec(5%誤差)s33(2)已知t3T，所以K=

4、-sKK2tK12s10.1x100=0.334設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)k4時，求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：C(s)G(s)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)kR(s)1+G(s)s2+5s+4這是一個二階過阻尼系統(tǒng)(匚1)，1輸入為單位階躍：R(s)s4故:C(s)(s)R(s)k不是二階振蕩系統(tǒng)，因此不能套用現(xiàn)成結(jié)論?？捎脗鹘y(tǒng)方法求解，即1_11343+s2+5s+4sss+4s+1對上式求拉氏反變換：14c(t)1+e-4tet333-5已知某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)-羅R(s)s2+23s+2nn系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)g%=8%，峰值時間t=1s，試確定:和值。pn解：由g

5、/=e-眩T-g2，可求得：匚=oln2go一二0.627(也可查圖3-16而得)兀2+ln2goo由t二，可求得：p1-g2nn兀=4.031radst1-g2p3-6一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求：(s)=-s(s+1)(1)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及動態(tài)性能指標(biāo)t、t、t和g%；rps2)輸入量為單位脈沖時系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。Gk解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)=k=1R(s)1+G(s)s2+s+1k(注：上式已經(jīng)符合標(biāo)準(zhǔn)式(3-27)，否則應(yīng)變換為標(biāo)準(zhǔn)式才能繼續(xù))系統(tǒng)的參數(shù)為：o=1,23=1=匚=0.5，為欠阻尼。nn2on1)由式(3-46)，單位階躍響應(yīng)：c(t)=1-旳-sin(o1一

6、匚21+0)，其中0=arctand2八:代入各參數(shù)：c(t)二1-1.15e-o.5tsin(0.866t+1.047)，其中0=arctan匚匚？二1.047rad以下求各指標(biāo)：故：t冗一0.1一C2，其中0二arctan二1.047rad，.：1-g2匚n兀一0二二2.418secJ1-g2n冗=3.628secO、J1-g2n一3=6sec(A=5%)3n4-=8sec(A=2%)3Jng/=e-眩T-g2x100%=16%(也可查圖3-16而得)o2)由式(3-46)，單位脈沖響應(yīng)：t=sg(t)二c(t)二e-Qnsin1匚21n代入各參數(shù)：g(t)二c(t)二1.15e-o.5t

7、sin0.86613-7某二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如題3-7圖所示試畫出=0,題3-7圖控制系統(tǒng)框圖0K1時的單位階躍響應(yīng)曲線。AA解：1C(s)s(s+1)s2+(1+K)s+1ATOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)=1一R(s)1+1(1+Ks)s(s+1)A系統(tǒng)的參數(shù)為：1，2匚1+KA。nnA2(1)K0A1+K此時，Q*0.5，為欠阻尼，可求得:t3.628secpV；1g2n3t5ns46sec8sec(A5%)(A2%)b0e-眩t-E2x100%16%o(2)0K1A1+K此時，由Q-

8、廠，可知0.5Q1，仍為欠阻尼。由于阻尼比增大，因此超調(diào)量減小。若0.5Q1A1+K此時，由Q-亍，可知Q1，成為過阻尼系統(tǒng)，因此沒有超調(diào)量。調(diào)節(jié)時間t的計算不能應(yīng)用公式t沁(34)x,應(yīng)按照定義計算，通常會加大，略.ssQw三種情況下的單位階躍響應(yīng)曲線如下面圖所示。3-8由實驗測得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線c(t)如題3-8圖所示，試計算其系統(tǒng)參數(shù):和。n解：3-9題3-8圖二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線由圖可知，b/=20%,t=0.2sec。op由b/=e-眩訂弋2，可求得：匚二Eboo二0.456(也可查圖3-16而得)兀2+ln2boo兀兀由t二，可求得：二二17.65radsP宀弋2n

9、t1弋2np某系統(tǒng)如題3-9圖所示，若要求單位階躍響應(yīng)c(t)的最大超調(diào)b%二20%，調(diào)節(jié)時間t2secs二0.02)，試確定K值和b值。題3-9圖控制系統(tǒng)框圖解：C(s)s2系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)=R(s)1+K(1+bs)s2+Kbs+Ks2與標(biāo)準(zhǔn)式(3-27)比較，知：o=JKnKbb、K且23=Kb，所以：匚二=n2o2n根據(jù)題意，最大超調(diào)b%二20%。而超調(diào)量是阻尼比:的單值函數(shù),由此可決定阻尼比C:ln2boo二0.456兀2+ln2boo4而調(diào)節(jié)時間t=_t匚s=4.386rad；s由此得聯(lián)立方程：o=4K4.386rad!sn慶K二0.4562解得：K=o219.24nb二

10、玉二0.2085，且附近無零點。因此s=0.2士j0.5確實可視為閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點。Res0.21,21,2即可以用二階主導(dǎo)極點系統(tǒng)近似等于原三階系統(tǒng)：0(s)=C(s)麗378(s+3.56)(s+0.2+j0.5)(s+0.2-j0.5)378)3.56(s+0.2+j0.5)(s+0.2-j0.5)366x0.542s2+2x0.37x0.54s+0.542該二階系統(tǒng)的參數(shù)為：匚=0.37,=0.54n單位階躍輸入的響應(yīng)指標(biāo)為：b%沁29%,t沁15sec(A=5%)s列勞斯表如下s5114s4235s313,2x11x3122b1223-12已知控制系統(tǒng)的特征方程如下，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定

11、性。3-12(1)s5+2s4+s3+3s2+4s+5=0解：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項。2x41x53b=222s1s037185-12x3-2x32門c=91-12z9x32+12x537d=1918結(jié)論：勞斯表第列變號二次，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（特征方程有二個右根）3-12（2）2s4+s3+3s2+5s+10=0解：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項列勞斯表如下s42310s315s2-7101x3-2x5b=7u/11s145-7x5-1x10457c1-77s010結(jié)論：勞斯表第列變號二次，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（特征方程有二個右根）3-12(3)s4+3s3+s2+3s+1=0解：特征方程的系數(shù)均

12、大于0且無缺項。列勞斯表如下s411s333s201s13x1-1x3b=013結(jié)論：勞斯表第列出現(xiàn)零值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（特征方程有純虛根）3-12（4）s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項。列勞斯表如下s62016s521216s421216s300b=2X8-1X12=212b=2X20-1X16=1222s1結(jié)論：勞斯表出現(xiàn)全零行，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(特征方程有純虛根)3-13設(shè)某系統(tǒng)的特征方程s3+(a+1)s2+(a+b-1)s+b-1=0,試確定待定參數(shù)a及b,以便使系統(tǒng)穩(wěn)定。解：列勞斯表如下s31a+b1s2a+1b-1s1b7(a

13、+1)(a+b-1)-(b-1)b=11a+1s0b-1為使系統(tǒng)穩(wěn)定,需滿足以下條件：特征方程的系數(shù)均大于0，即：a+10(1)a+b10(2)b-10(3)勞斯表第一列元素均大于0,去除與條件重復(fù)部分后，有：(a+1)(a+b-1)-(b-1)0(4)解以上4個不等式：由(1)：a-1；由(2)和(3):a0；綜合得：a0；由(3):b1；由(4)：(a+1)(a+b1)(b1)=a(a+b)0；綜合得：a0于是,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：a0,b13-14已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為1)100s(0.1s+2)(s+5)2)3s+1s2(4s2+120s+2500)試分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

14、：100(1)G(s)=ks(0.1s+2)(s+5)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：(s)=k=100R(s)1+G(s)0.1s3+2.5s2+10s+100k閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：0.1s3+2.5s2+10s+100=0判別穩(wěn)定性：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項列勞斯表如下s30.110s22.5100s16b=1s0100結(jié)論：勞斯表第一列均為正值，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。2.5x10-0.1x100/-62.52)G(s)=3s+13s+1ks2(4s2+120s+2500)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：O(s)=需=篙)=4s4+120s3+2500s2+3s+1k閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：4s4+120s3+2500

15、s2+3s+1=0判別穩(wěn)定性：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項列勞斯表如下s4425001s31203s22499.91120 x2500-4x3b249991120s12.9522499.9x3-1202952c2.95212499.9s01結(jié)論：勞斯表第一列均為正值，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。3-15試分析下列圖示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。題3-15圖控制系統(tǒng)框圖解：3-15(a)10s2+101s+10C(s)先求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：(s)=R(s)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：s2+101s+10=0判別穩(wěn)定性：這是一個二階系統(tǒng)，只要特征方程的系數(shù)均大于0就必然穩(wěn)定，無須采用勞斯判據(jù)。(同學(xué)可自證之)3-15(b)該閉環(huán)系

16、統(tǒng)有二個反饋回路，可采用方塊圖等效化簡方法合并之TOC o 1-5 h zR(s)10s+10C(s)10s+10s3+21s2+10s+10s3+21s2+10s+10C(s)即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：(s)=R(s)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：s3+21s2+10s+10=0判別穩(wěn)定性：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項10列勞斯表如下s3s22110200,21x1010200s1b=2112121s010結(jié)論：勞斯表第列均為正值，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。3-16試確定使題3-16圖所示系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。3-16(a)解：Ks3+s2+2s+KC(s)先求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：(s)=門(R(s)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：s3

17、+s2+2s+K=0判別穩(wěn)定性：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項，要求K0。列勞斯表如下s312s21Ks12Ks0K若要求勞斯表第列均為正值，應(yīng)滿足：J2-K0K0綜合有：0K0。列勞斯表如下s3110s210K+110s1100K10K+1s010若要求勞斯表第列均為正值，應(yīng)滿足K0.1K010K+100速度反饋增益K在上述范圍內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。3-16(c)解：K0.025s3+0.35s2+s+KC(s)先求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：(s)=R(s)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：0.025s3+0.35s2+s+K=0判別穩(wěn)定性：特征方程的系數(shù)均大于0且無缺項，要求K0。列勞斯表如下s30.0251s2

18、0.35Ks11一14若要求勞斯表第列均為正值，應(yīng)滿足：1一00K0綜合有：0K0。列勞斯表如下s3s2O2n2ns11丄23ns0若要求勞斯表第列均為正值，應(yīng)滿足：1-聽0JK23TOC o 1-5 h z2CWnn丨K0K0l綜合有：0K23(1)n代入數(shù)據(jù)后：0K06546SK50I9K59綜合有：5p14K99開環(huán)增益K在上述范圍內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)不但穩(wěn)定，且所有閉環(huán)極點的實部均小于-1。3-19已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Ks(s2+6s+25)試根據(jù)下述條件確定K的取值范圍。(1)使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；(2)當(dāng)r(t)二3t時，其穩(wěn)態(tài)誤差e0.6。ss解：(1)關(guān)于閉環(huán)穩(wěn)定性求解本題當(dāng)然

19、可以用普通方法，如在習(xí)題3-12至3-18中所應(yīng)用的。但我們換一種思路，設(shè)計利用一些規(guī)律性的結(jié)果。在習(xí)題3-17中已經(jīng)求出，對于單位反饋系統(tǒng)若具有下列形式的開環(huán)傳遞函數(shù)：Ks(S2+2匚s+1)2nn當(dāng)0K20時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。n將本題改寫成如上形式：K25s20.6s(+2xs+1)525可以看出，二個參數(shù)為：匚二0.6,o=5n因此，習(xí)題3-17中，穩(wěn)定條件0K2o就成為n2x0.6x525K1502)關(guān)于穩(wěn)態(tài)誤差式是求閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的開環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。可以看出，該系統(tǒng)是1型系統(tǒng)，開環(huán)增益是K/25,靜態(tài)速度誤差系數(shù)也為：25當(dāng)輸入為斜坡函數(shù)r(t)=3t時，其穩(wěn)態(tài)誤差為A375e=l

20、=ssKK25Kv已知要求在此輸入下即e0.6ss7575e二二125ssK0.6綜合和，有：125KT)1s2s(Ts+1)122解：圖示系統(tǒng)為典型控制系統(tǒng)方塊圖。令r(t)0，即R(s)0，可以得到擾動信號n(t)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差eNss據(jù)式(3-82)有：eNss豊sEn(s)一巴sGH!詈N(s)k在本題中，有H(s)1,G(s)G(s)G(s)，即k12eNsss1+G(s)G(s)“121)2018-10-20543823632.doc-P /22頁1當(dāng)n(t)二1(t)時，N(s)二；s1當(dāng)n(t)=t時，N(s)二-；s2(1)G(s)=K,1G2(S)=K2s(Ts+1)2代入式1）：K2s(Ts+1)2N(S)1+KK21s(Ts+1)2Ks=lim2ST。s(Ts+1)+KK211當(dāng)n(t)=