高考復(fù)習(xí)資料用叉乘求法向量

1、高考復(fù)習(xí)資料平面法向量的求法及其應(yīng)用平面的法向量1、定義：如果a _L a ,那么向量a叫做平面a的法向量。平面a的法向量共有兩大類 （從方向上分），無數(shù)條。2、平面法向量的求法.方法一（內(nèi)積法）：在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面口的法向量n = （x, y, 1）或.*4 444 4n =（x,1,z），或n =1,yz ,在平面a內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量 a,b。由n _La，得n a = 0II且n b =0,由此得到關(guān)于 x, y的方程組，解此方程組即可得到 n。方法二：任何一個(gè)x,y,z的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個(gè)平面的方程是 x, y, z的一次方程。Ax + By +C

2、z + D = 0 （A, B,C不同時(shí)為0）,稱為平面的一般方程。其法向量n = （A,B,C）;若平面與3個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為 Pi（a,0,0）, P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如圖所示，則平 x y z面萬程為：一,上,- 二1,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向 a b c量。方法三（外積法）：設(shè)胃，號為空間中兩個(gè)不平行的非零向量， 其外積0三為一長度 等于|a|b|sine, （8為國，兩者交角，且0日 n），而與a, b皆垂直的向 量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由示的方向轉(zhuǎn)為；的方向時(shí)，大拇指所指的方向規(guī)定為ax b的方向T T T Tax

3、 b = - bx a 。設(shè) a = (x1, y1，乙)，b = (x2, y2,z2),則：a b =y1y24 _ Xi,z2X2Ziz2XiX2y1丫2(注：1、二階行列式：M =a b = adcb ；c d例1、 已知，a = (2,1,0),b =(1,2,1),T Tf -f試求(1) ： a父 b; (2) ： bx a.T TT TKey: (1) a b =(1,-2,5) ;(2) b a -(-1,2,5)例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體 ABCD A1B1c1D1中,高考復(fù)習(xí)資料平面法向量的應(yīng)用1、求空間角7T求平面 AEF的一個(gè)法向量 n。key:法向量n =

4、T(1)、求線面角：如圖2-1,設(shè)n是平面o(的法向量，AB是平面口的一條斜線， A W豆，則AB與平面ot所成的角為：圖 2-1-1： -=-： n,AB2JIn AB=arccos 2|n|AB|-,f -,fn AB圖 2-1-2: 1 -： n, AB 一一 = arccos-=2|n|AB|2 Tsin 二-| cos : n, AB |f(2)、求面面角：設(shè)向量m,Tn分別是平面aP的平面角為:（圖 2-2）;T Tm n二-,(3)、證明面面垂直：在圖 2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直(m，1=0)高考復(fù)習(xí)資料(4)、證明面面平行：在圖2-1

5、1中，m向是平面q的法向量,n是平面P的法向量，證明A-xyzy軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(I). AP =(0,0,1), AD =(1,0,0),又 DC =(0,1,0) , DP =(1,0,1),兩平面的法向量共線(m =九n )。三、高考真題新解1、(2005全國I, 18)(本大題滿分 12分)已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB/DC,1NDAB =90 , PA 1 底面 ABCD ,且 PA=AD=DC= AB=1 , 2M是PB的中點(diǎn).(I )證明：面 PAD，面PCD;(n)求AC與PB所成的角；(出)求面 AMC與面BMC所成二面角的大小解:以A

6、點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別以AD, AB , AP為x軸,如圖所示.T T T設(shè)平面PAD的法向量為 m = APx AD = (0-1,0)設(shè)平面pcd的法向量為 n=DCm Dp = (1,0,1)二 m*n=0, m _L n ,即平面 PAD_L平面PCD。(II )： AC =(1,1,0), PB=(0,2,-1) , . ： AC,PBT TAC*PB 號 arccos；|AC|PB|.10=arccos5-11(III ). - CM =(1,0,一) 211 ,、m = CM CA =(一,1).2 2二-arccos2 3TCA=(1,1,0),設(shè)平在AMC的法向量為 TOC o 1

7、-5 h z HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 11又 CB =(1,1,0),設(shè)平面 PCD 的法向量為 n = CM MCB = (,1).22T Tm*n, 2、:m, narccos =arccos( ). HYPERLINK l bookmark107 o Current Document |m|n|3一 ，一 ，2、一二面AMC與面BMC所成二面角的大小為 arccos().或 32、(2006年云南省第一次統(tǒng)測 19題)(本題滿分12分)如圖3-2,在長方體 ABCD ABGD中，已知 AB= AA=a, BC= J2 a, M是

8、 AD的中點(diǎn)。(I)求證：AD/平面ABC高考復(fù)習(xí)資料(H)求證：平面 AMC1平面ABD;(田)求點(diǎn)A到平面AMC勺距離。解：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz如圖所示.(I), BC =(-V2a,0,0) , BA1=(0,a,a),設(shè)平面 Abc 的法 向量為 TOC o 1-5 h z 222 2 2n =BC BAi =(0, 2a ,2a )一 三，二 T 匕 _ 三 T 一一又= AD =(T2a,0,0); n.AD =0: AD _L n,即 AD平面 AiBC.2，2(II ), ； MC =(a,0,a) , MAi

9、=(a, a,0)，設(shè) 平面 AiMC 的法 向量為 222 . 2 2、22m=MC MA1 =(a ,a ,-a), 22又 BDi =(J2a,-a,a) , BAi =(0,a,a),設(shè)平面 AiBD 的法 向量為n =BDi BAi =(0, .2a2,、2a2), HYPERLINK l bookmark24 o Current Document T Tf ?m*n =0,. m_L n，即平面 AiMC _1平面 AiBDi.(III ),設(shè)點(diǎn)A到平面AiMC的距離為d,2 -222 2.|m*MA|m|i=一 a，2丁 m =MC父MAi =(a ,a，一a )是平面amc的法向量， 22又= MA =(2a,0,0), a點(diǎn)到平面amc的距離為：d2四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲 (i)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件，相