高中物理奧賽之力學-5.1簡諧振動

1、高中物理精品教案學案 第五講 機械振動和機械波 5. 1簡諧振動5. 1. 1、簡諧振動的動力學特點如果一個物體受到的回復力F回與它偏離平衡位置的位移x大小成正比，方fe向相反。即滿足：F回Kx的關系，那么這個物體的運動就定義為簡諧振動根F回 Ka 據牛頓第二是律，物體的加速度 mm，因此作簡諧振動的物體，其加速度也和它偏離平衡位置的位移大小成正比，方何相反?，F有一勁度系數為k的輕質彈簧，上端固定在P點，下端固定一個質量為圖 5-1-1m的物體，物體平衡時的位置記作 0點?，F把物體拉離0點后松手，使其上下振動，如圖5-1-1所示。當物體運動到離0點距離為x處時，有F 回 F mg k(xo x

2、) mg式中x0為物體處于平衡位置時，彈簧伸長的長度，且有kx。 mg，因此F回 kx說明物體所受回復力的大小與離開平衡位置的位移x成正比。因回復力指向平衡位置0,而位移x總是背離平衡位置，所以回復力的方向與離開平衡位置圖 5-1-2的位移方向相反，豎直方向的彈簧振子也是簡諧振動。 注意：物體離開平衡位置的位移，并不就是彈簧 伸長的長度。5. 1. 2、簡諧振動的方程由于簡諧振動是變加速運動，討論起來極不方便，為此?？梢胍粋€連續(xù)的勻速圓周運動，因為它在任一直徑上的分運動為簡諧振動， 以平衡位置0為圓 心，以振幅A為半徑作圓，這圓就稱為參考圓，如圖 5-1-2，設有一質點在參考圓上以角速度 作

3、勻速圓周運動，它在開始時與 0的連線跟x軸夾角為那么 在時刻t，參考圓上的質點與 0的連線跟x的夾角就成為t 0，它在x軸上的投影點的坐標x Acos（ t o）（2）這就是簡諧振動方程，式中 0是t=0時的相位，稱為初相：t0是t時刻的相位。參考圓上的質點的線速度為 A ，其方向與參考圓相切，這個線速度在x軸 上的投影是(3)v A cos（ t o）這也就是簡諧振動的速度參考圓上的質點的加速度為A 2，其方向指向圓心，它在x軸上的投影是(4)a A 2 cos( t這也就是簡諧振動的加速度由公式（2）、（4）可得a 2x由牛頓第二定律簡諧振動的加速度為因此有(5)簡諧振動的周期T也就是參考

4、圓上質點的運動周期，所以25. 1. 3、簡諧振動的判據物體的受力或運動，滿足下列三條件之-物體運動中所受回復力應滿足物體的運動加速度滿足物體的運動方程可以表示為事實上，上述的三條并不是互相獨立的者，其運動即為簡諧運動：F kx ；2aX ；X Acos( to)o其中條件是基本的，由它可以導出另外兩個條件和 5.2彈簧振子和單擺簡諧振動的教學中經常討論的是彈簧振子和單擺，下面分別加以討論5. 2. 1、彈簧振子彈簧在彈性范圍內胡克定律成立，彈簧的彈力為一個線性回復力，因此彈k簧振子的運動是簡諧振動，振動周期恒力對彈簧振子的作用比較一個在光滑水平面上振動和另一個豎直懸掛振動的圖 5-2-1彈簧

5、振子，如果m和k都相同(如圖5-2-1 )，則它們的振動 周期T是相同的，也就是說，一個振動方向上的恒力不會改變振動的周期。如果在電梯中豎直懸掛一個彈簧振子，彈簧原長lo，振子的質量為m=1.0kg,電梯靜止時彈簧伸長I =0.10m，從t=0時，開始電梯以g/2的加速度加速下降ts，然后又以g/2加速減速下降直至停止試畫出彈簧的伸長I隨時間t變化的圖線。由于彈簧振子是相對電梯做簡諧運動，而電梯是一個有加速度的非慣性系,因此要考慮彈簧振子所受到的慣性力 f。在勻速運動中，慣性力是一個恒力，不圖 5-2-2會改變振子的振動周期，振動周期T 2 /2 /. km因為k mg/ 1，所以 T 2 .

6、 g 0.2 (s)因此在電梯向下加速或減速運動的過程中，振動的次數都為n t/T /0.25（次）當電梯向下加速運動時，振子受到向上的慣性力 mg/2，在此力和重力mg的 共同作用下，振子的平衡位置在1mg / k I / 2的地方，同樣，當電梯向下減速運動時，振子的平衡位置在3mg/k 3 I /2的地方。在電梯向下加速運動期間，振子正好完成5次全振動，因此兩個階段內 振子的振幅都是I/2o彈簧的伸長隨時間變化的規(guī)律如圖 5-2-2所示，讀者可以 思考一下，如果電梯第二階段的勻減速運動不是從 5T時刻而是從4.5T時刻開始的，那么lt圖線將是怎樣的？彈簧的組合 設有幾個勁度系數分別為k1、

7、k2kn的輕彈簧串聯起來，組成一個新彈簧組，當這個新彈簧組在 F力作用下伸長時，各彈簧的伸長為 Xi，那么總伸長各彈簧受的拉力也是F，所以有XiF /kiFnli 1 ki根據勁度系數的定義,彈簧組的勁度系數F /x1/k即得n丄i 1 ki如果上述幾個彈簧并聯在一起構成一個新的彈簧組，那么各彈簧的伸長是相同的。要使各彈簧都伸長x，需要的外力nnF Kx x kji 1i 1根據勁度系數的定義，彈簧組的勁度系數kii 1m圖 5-2-3導出了彈簧串、并聯的等效勁度系數后，在解題中要靈活地 應用，如圖5-2-3所示的一個振動裝置，兩根彈簧到底是并聯還是串聯？這里我們必須抓住彈簧串并聯的本質特征：

8、串聯的本質特征是每根彈簧受力相同；并聯的本質特征是每根彈簧形變相同。由此可見圖5-2-3中兩根彈簧是串聯。k1k2當m向下偏離平衡位置 x時，彈簧組伸長了 2 x，增加的彈力為2 xkm受到的合外力（彈簧和動滑輪質量都忽略）ki k22 x kik?4kik2xki k：所以m的振動周期T再看如圖5-2-4所示的裝置，當彈簧i由平衡狀態(tài)伸長1i時，彈簧2由平衡位置伸長了 l2，那么，由桿的平衡條件一定有（忽略桿的質量）ki ? lia由于彈簧2的伸長,ki a k2 bli使彈簧1懸點下降l2fk1 a2 k2 b2li因此物體m總的由平衡位置下降了圖 5-2-4x1l1 xk1k2b21 1

9、2此時m所受的合外力F k1 11k1k2b2k1a2 k2b2Xi所以系統的振動周期t 2m(kia2 kzb2):kik2b2（3）沒有固定懸點的彈簧振子質量分別為mA和mB的兩木塊A和B，用一根勁度系數為k的輕彈簧聯接起來，放在光滑的水平桌面上（圖 5-2-5）?，F在 讓兩木塊將彈簧壓縮后由靜止釋放，求系統振動的周期。想象兩端各用一個大小為 F、方向相反的力將彈簧壓縮，假設某時刻A、B各偏離了原來的平衡位置Xa和Xb,因為系統受的合力始終是零，所以應該有mAXA mXBA、B兩物體受的力的大小Fa Fb (Xa XB)k圖 5-2-5由、兩式可解得mA mBFa k a-XamBF- k

10、3BX-m-由此可見A、B兩物體都做簡諧運動，周期都是mAm-T 2k(mA m-)此問題也可用另一種觀點來解釋:是不動的，所以可以將彈簧看成兩段。m-l o一段原長為mA m-，勁度系數為圖 5-2-6lomA m- k山人m-，勁度系數為m-，這樣處理所得結果與上述結果是相同的，有興趣的同學可以討論，如果將彈簧壓縮之后，不是同時釋放兩個物體，而是先釋放一個，再釋放另一個，這樣兩個物體將做什么運動？系統的質心做什么運動？5. 2. 2、單擺一個質量為m的小球用一輕質細繩懸掛在天花板上的0點，小球擺動至與豎直方向夾 角，其受力情況如圖5-2-6所示。其中回復力，即合力的切向分力 為F回 mg

11、sinx sin - 當5o時， OAB可視為直角三角形，切向分力指向平衡位置 A,且I ,所以mgkkx （式中mg）說明單擺在擺角小于5o時可近似地看作是一個簡諧振動，振動的周期為在一些異型單擺中，I和g的含意以及值會發(fā)生變化（1）等效重力加速度g單擺的等效重力加速度g等于擺球相對靜止在平衡位置時，指向圓心的彈力 與擺球質量的比值。再如圖5-2-7所示，在傾角為的光滑斜圖 5-2-8面上有一單擺，當擺球相對靜止在平衡位置時，繩中張力為mgsin ，因此單擺的等效重力加速度為g =gsin ，周期為T又如一節(jié)車廂中懸掛一個擺長為I的單擺，車廂以加速度a在水平地面上運動（如圖5-2-8）。由于

12、小球m相對車廂受到一個慣性力f ma，所以它可以“平衡”在OA位置，7，此單擺可以在車廂中以OA為中心做簡諧振動。當:2 2小球相對靜止在平衡位置A處時，繩中張力為 m a g，等效重力加速度 2 2g a g，單擺的周期單擺的等效擺長并不一定是擺球到懸點的距圖 5-2-9離，而是指擺球的圓弧軌跡的半徑。如圖5-2-9中的雙線擺，其等效擺長不是I，而是Isin ，周期T 2再如圖5-2-10所示，擺球m固定在邊長為L、質量可忽略的等邊三角形支架ABC的頂角C 上, 三角支架可圍繞固定的AB邊自由轉動，AB邊與 豎直方向成a角。圖 5-2-10當m作小角度擺動時，實際上是圍繞AB的中 點D運動，

13、故等效擺長圖 5-2-11Lcos30正因為m繞D點擺動，當它靜止在平衡位置時，指向 D點的彈力為 噸引na ,等效重力加速度為gsina，因此此異型擺的周期T22g sin a(3)懸點不固定的單擺如圖5-2-11, 一質量為M的車廂放在水平光滑地面上，車廂中懸有一個擺 長為I，擺球的質量為m的單擺。顯然，當擺球來回擺動時，車廂也將作往復運 動，懸點不固定。由擺球相對于車廂的運動是我們熟悉的單擺， 故取車廂為非慣性系，擺球受 到重力mg，擺線拉力N和慣性力maM的作用，如圖分析擺球回復力N=mgcosF mgsinmaM sinmaM cos(忽略擺球向心力)分析車廂:NsinMaM因為很小

14、,所以可認為sincos1，sin20則由、式可得aMmMg把它代入mg(1擺球偏離平衡位置的位移F mg(M m) 所以M %因此擺球作簡諧振動，周期I ml(M m)g由周期表達式可知：當M?m時，T 2 g，因為此時M基本不動，一般T情況下，高考必背物理公式質點運動1勻速直線運動:vs vtv表示速度，s表示位移，t表示時間。2變速直線運動:-v-v-v2s vt 其中：s表示位移，v表示平均速度，t表示時間。vt v0-3勻變速直線運 基本公式：a - s vtt-22導出公式：1sv-tat2 2as2 2v-v。sv-v-tv-v-v中 s1v中 t222紙帶法s aT2SMSNv

15、中tvS兩側a(MN)T22T4平拋運動:沿V-方向Sxvotvx v-ax-Fx-tx ty沿垂直于V-方向(豎直)-Sy1 .2艸vygtayg -Fymg各量方向-位移：tanSygt1丄tan-速度：tanSx2v-vxv-其余量的求法：位移：S S；速度：v vx2Vyv0 g 2t2 時間:2hg勻速率圓周運動:基本公式：運動快慢線速度:S 其中：s為t時間內通過的弧長。t-轉動快慢角速度:為t時間內轉過的圓心角。周期：T -向心力：F心 m2vm r4mT2m4ma心向心加速度：a心v2力的表達式1.重力Gmg不考慮地球自轉的情況下，重力與萬有引力相等mgGMmR22.彈力不明顯

16、的形變用動力學方程求解;明顯的形變在彈性限度以內,滿足胡克定律:3.摩擦力靜摩擦力0max最大靜摩擦力：fmax sFn其中：s為最大靜摩擦因數?；瑒幽Σ亮 Fn其中：為動摩擦因數，Fn為正壓力。4.力的合成和分解;2 2合力的大小：F 、F1 F2 2F1F2COS其中： 為F1與F2的夾角;合力的方向:6.核力：組成原子核的核子之間的作用力。7.電場力:庫侖力：FkQQ2r強力、短程力電場力：F Eq8安培力：當BI時,F B II其中B均勻,1為有效長度；當B/I時F 0。方向用左手定則判斷。9洛侖茲力：FqBv其中B v ；若B/v則F 0 ；方向用左手定則判斷。牛頓運動定律、萬有引

17、力定律1.牛頓第定律 F外 ma2.牛頓第二定律 FabFba3萬有引力定律曲嚴 G=6.67*10-11牛頓米2/千克2條件：均勻球體或者質點。 r4.星體運動:萬有引力提供向心力,所以:=ma r衛(wèi)星繞行星的環(huán)繞速度:,GM其中:M為行星的質量。衛(wèi)星繞行星的公轉周期：-T 2 - gm其中：為軌道半徑=R+hMM4 2r33當R r時（近地軌道），GT2V4 d34 d3gt2r3RR333GT2黃金替代：-2g其中：R為地球半徑；g為地球表面的重力加速度。R2用近軌道衛(wèi)星的周期表示行星的密度:雙星問題：它們之間的引力提供了他們的圓周運動的向心力,角速度： 12 向心力：F1F?- 到圓心

18、的距離：r 口 am2 TOC o 1-5 h z Arm1m2同步通訊衛(wèi)星：在赤道正上方36000千米處；角速度、周期與地球的相同;衛(wèi)星變軌：內?。ń模┩獯螅x心） 。動量、動量守恒定律1.動量：定義式：pmv改變量：pP2P1mv2mv1I2.動量守恒定律：PP2R 0 系統的動量的增量為零;常用具體等式:m1v1m2v2m1v1m2v2條件-系統：F外0或F外F內且時間t0;或者某一方向滿足此 規(guī)律。P2Pl 第二個物體的動量的增量等于第一個物體的動量的減小量;厶匕曰.冃匕量1.功恒力功：WFScos ；變力功：W總外W卜FsEk2.滑動摩擦力功：Wfl其中:l是路程；且滑動摩擦力功生

19、熱fl相對功率：平均功率Pt一 1 2 1 2 動能定理：W外Ekmv2mwF v 瞬時功率pFv cos其中:F為牽引力。其中:5.重力勢能：Ep mgh且WGEp機械能守恒定律物體：E2 E1 或 EkEP或者mgh*mv2 mgh212 mvf條件W其它0-系統：E2E1 或 EPA1EKA1 EPB1EKB1 EPA2 EKA2 EPB2 EKB2或 E2E!條件：只是系統內部的動能和勢能的轉化，不產生其它形式的能。電場中的公式1.庫侖定律:FKQ；Q2其中：K是靜電力常量K=9.0*10 9牛頓.米2/庫侖2r2.電場強度:定義式：E其中：q為試探電荷，對于電場中的某一點有:F q，

20、普遍適用。量度式i:量度式2 :KQ廠 其中：Q為場源電荷，r為該點到場源電荷的距離，只適用于真空r中點電荷形成的電場。U其中：U為兩點間的電勢差，d為距離，只適用于勻強電場。3.電勢差U abWabqA b 電場力做功:W Uq4.電勢能q 電場力做功與電勢能的關系:W電 Uq5.某帶電粒子只在重力和電場力作用下:Ek1 Ep11 Ek2 Ep2 26.靜電場中平衡導體：等勢體：21 內部場強為零：E內0Q7.電容器：電容定義式：C -Q ；UU平行板電容器電容決定式：C 其中在這里是介電常數；4kd電容器的兩極板與其匕斷開時，電量不變，且有：4 kQ *E與d無關。8.電荷只在電場力的作用

21、下的加速：W Uq Ek ;當V。0時,末速9電荷只在電場力的作用下的偏轉:電場力：FEqUqd加速度：amUqmd穿過I長電場所用時間:偏轉速度大小:Uqlmdv0速度偏轉方向：tanUqlmdvo偏轉位移大小:Uql22mdv：位移偏轉方向：tanUql2mdv(2S電容器與電源相連時， 兩極板電壓不變；它兩端的電壓等于與它并聯的電路的電壓， 穩(wěn)恒直流電路中與它串聯的電阻是無用電阻。穩(wěn)恒電流Q微觀描述：I n vsq其中: t是自由移動電荷的定向移動速度，R UII UR1.電流：定義式:2.電阻：定義式:3.部分電路歐姆定律:4.閉合電路歐姆定律:s是導體的橫截面積，q導體決定式：R S

22、適用條件：純電阻電路n為單位體積內自由電荷數,是自由移動電荷的帶電量。5.電動勢、內電壓、路端電壓的關系:閉合電路歐姆定律：I R r電動勢等于開路時電源兩端的電壓。路端電壓：U隨外電阻的增大而增大。6.電功：（普遍適用）WUQ UItPt純電阻電路中WQ熱i2r tu27電功率：（普遍適用）PUI純電阻電路中PP熱i2r8電源輸出功率：當 R = r時，輸出功率最大且 F出此時效率是4r50%29某電機的輸入功率：p UI，熱功率：P熱I R ,輸出功率：P機PP熱10.串聯電路:電壓:U U, U2 U 3電流:I I,丨2電阻：RR,R2 R3其它關系旦PU2P2W1W2R1R211并聯

23、電路：電壓:U U1 U2U3電流:IIl電阻:R 1R11R21R31其它關系:山I 2P2RR112把電流計Ig、Rg改裝成量程為的電流表需并聯電阻的阻值是:I g Rg。I Ig13把電流計Ig、Rg改裝成量程為U的電壓表需串聯電阻的阻值是:IgRg。14多用電表工作原理：因為： I所以：Rx r Rg R調零 R x(r Rg1.安培力：當B I時,F B方向用左手定則判斷。2磁感應強度：當B I時，B3洛侖茲力：當Bv時，f q當 B/V時，fI其中B均勻,1為有效長度；當B I時,F0。B v ； f不做功，但是可以改變物體的動量。0 方向用左手定則判斷。4.帶電粒子只在洛侖茲力的作用下做勻速率圓周運動:mv2 m半徑：R；周期：T;轉過圓心角 所用時間:qBqBqB電磁感應1磁通量： BS改變量:B S或者B S2電磁感應現象的條件:0；改變率：E3法拉第電磁感應定律：平均感應電動勢：E n其中 tB ln為線圈匝數；瞬時感應電動勢：E Bl v條件：B v l vE感4.電磁感應現象中通過導體的電量：Q I