數(shù)值分析2多項(xiàng)式插值的問(wèn)題

1、2.2 分段低次插值2.2.3 分段三次Hermite插值2.2.2 分段線性插值2.2.1 多項(xiàng)式插值的問(wèn)題2.2 分段低次插值學(xué)習(xí)目標(biāo)： 掌握分段低次插值的意義及方法。用插值多項(xiàng)式近似被插函數(shù)時(shí)，并不是插值多項(xiàng)式的次數(shù)越多越好。下面是說(shuō)明這種現(xiàn)象的一個(gè)典型例子。當(dāng)n=10時(shí)，10次插值多項(xiàng)式以及函數(shù)的圖形如圖2-1。由此可見(jiàn)，在區(qū)間-5，5的兩端的截?cái)嗾`差取等距插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造n次Lagrange插值例2.7 給定函數(shù)2.2.1 多項(xiàng)式插值的問(wèn)題非常大。例如， 而 。這種現(xiàn)象稱(chēng)Runge 現(xiàn)象。不管n取多大，Runge 現(xiàn)象依然存在。yx-550實(shí)線虛線圖2-11因此，對(duì)函數(shù)作插值多項(xiàng)式時(shí)，必

2、須小心處理，不能認(rèn)為插值節(jié)點(diǎn)取得越多，插值余項(xiàng)就越小。此外，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，舍入誤差的影響不能低估。為了克服高次插值的不足，采用分段插值理論將是理論和實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)良好的插值方法。 分段線性插值就是通過(guò)相鄰兩個(gè)插值點(diǎn)作線性插值來(lái)構(gòu)成的。設(shè)已知節(jié)點(diǎn)2.2.2 分段線性插值上的插值函數(shù)值記若函數(shù)滿(mǎn)足條件：（3）在每個(gè)小區(qū)間上，是線性多項(xiàng)式。則稱(chēng)為分段線性插值函數(shù)。分段線性插值函數(shù)的幾何意義是通過(guò)n+1個(gè)點(diǎn)的折線.在每個(gè)小區(qū)間上,的表示式為(2.2.1)上,的表示式為(2.2.2)若用插值基函數(shù)表示,則在整個(gè)區(qū)間插值基函數(shù)的形式為(2.2.3)定理2.3 如果記則對(duì)任意分段線性插值函數(shù)有余項(xiàng)估計(jì) （2

3、.2.4）其中,當(dāng)時(shí),沒(méi)有第一式,當(dāng)時(shí),沒(méi)有第二式.顯然,分段線性插值基函數(shù)只在的附近不為零,在其他地方分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)可以通過(guò)線性插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)來(lái)估計(jì).均為零,這種性質(zhì)稱(chēng)為局部非零性.證明 根據(jù)（2.1.10），在每個(gè)小區(qū)間上有 因此，在整個(gè)區(qū)間 上有該定理也說(shuō)明分段線性插值函數(shù) 具有一致收斂性。 例2.8 對(duì)平方根表作線性插值，已知 ，步長(zhǎng) 。試給出按插值方法求出的 的誤差界，并估計(jì)有效數(shù)字的位數(shù)，假定表上給出的函數(shù)值足夠精確。（1）當(dāng) 時(shí)，分兩段討論 。解 令 則由（2.2.4）知截?cái)嗾`差由于 故 可以具有3位有效數(shù)字。由于 ， 故 可以具有6位有效數(shù)字。（2）當(dāng) 時(shí)， 2.2.

4、3 分段三次Hermite插值分段線性插值函數(shù)具有良好的一致收斂性，但它不是光滑的，它在節(jié)點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)不相等。為了克服這個(gè)缺陷，一個(gè)自然的想法是添加一階導(dǎo)數(shù)的插值條件。 設(shè)已給節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值記 如果函數(shù) 滿(mǎn)足條件： (3)在每個(gè)小區(qū)間 上， 是三次多項(xiàng)式。 則稱(chēng) 為分段三次Hermite插值函數(shù)。 顯然，在每個(gè)小區(qū)間 上， 的表示式為（2.1.38）?？梢灾苯佑盟M(jìn)行數(shù)值計(jì)算。若用插值基函數(shù)表示，則在整個(gè)區(qū)間 上， 的表示式為 插值基函數(shù) 和 的形式分別為(2.2.5)(2.2.6)(2.2.7)其中，當(dāng) i=0時(shí)，上述兩個(gè)分段函數(shù)沒(méi)有第一式，當(dāng)i=n時(shí)上述兩個(gè)分段函數(shù)沒(méi)有第二式。顯然，（2.2.6）和（2.2.7）具有局部非零性質(zhì)，這種性質(zhì)使得（2.2.5）也可寫(xiě)成分段表示式（2.1.38）的形式。分段三次Hermite插值函數(shù)的余項(xiàng)可以通過(guò)前面三次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)來(lái)估計(jì)。定理2.4 如果記則對(duì)任意分段三次Hermite插值函數(shù) 有余項(xiàng)估計(jì)（2.2.8）證明 根據(jù)（2.1.39）