高等代數(shù)北大版第章習(xí)題參考答案

1、1. ?判別下面所定義的變換那些是線性的，那些不是:?在線性空間V中，A，其中V是一固定的向量;?在線性空間V中，A?在 P3 中，A(Xl，X2，X3)其中V是一固定的向量;2 22、(Xi,X2 X3,X3).4) ?在 p3 中，A(X1，X2, X3 ) (2x1X2,X2X31 %).?在 Px中，Af (X) f(X D；?在PX中，Af(X) f(x。)，其中Xo p是一固定的數(shù);?把復(fù)數(shù)域上看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，A?ft Pn n, AX=BXCM中B,C Pnn是兩個(gè)固定的矩陣.解1)當(dāng) 0時(shí)，是；當(dāng) 0時(shí)，不是。2)當(dāng) 0時(shí)，是；當(dāng) 0時(shí),不是。3)不是.例如當(dāng) (1,0

2、,0), k 2時(shí)，kA( ) (2,0,0) ,A (k ) (4,0,0),A(k ) kA()。4)是.因取(xi,x2,x3),(y1，y2,y3)，有A() =A( Xi y1 ,X2y2, X3 y3)二 (2Xi 2y1 X2 y2,X2 y X3 y3，x1 y1) 一(2XiX2, X2X3,Xi)(2y1丫2,丫2y3, y1)=A +A ,A(k ) A( kx1, kx2, kx3)= kA(),故A是P3上的線性變換。5)是.因任取 f(x) Px,g(x) Px,并令u(x) f(x) g(x)則A(f (x)g(x)=Au(x) =u(x 1) = f (x 1)

3、 g(x 1) =Af (x)+A(g(x),再令 v(x) kf (x)則 A(kf (x) A(v(x) v(x 1) kf (x 1) k A( f (x), 故A為Px上的線性變換。6)是.因任取 f(x) Px,g(x) Px則.A(f(x) g(x)=f (X0 ) g(x0) A(f(x) A(g(x),A(kf (x) kf (x0 ) k A(f(x) o7)不是，例如取 a=1,k=I ,則 Aka)=-i,k( Aa)=i, A(ka) kA(a)。AX +AY ,8)是，因任取二矩陣 X,Y Pnn,則 A(X Y) B(X Y)C BXC BYCA(k X)= B(k

4、X) k(BXC) k AX ,故 A是 Pn n 上的線性變換.在幾何空間中，取直角坐標(biāo)系oxy,以A表示將空間繞ox軸由oy向oz方向旋轉(zhuǎn)90度的變 換，以B表示繞oy軸向ox方向旋轉(zhuǎn)90度的變換,以C表示繞oz軸由ox向oy方向旋轉(zhuǎn)90度的變換，證明：A4 =B4 =C4 =E,AB BA,A2 B2 =B2 A2 ,并檢驗(yàn)(AB 2 =A2 B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z),則有1)因?yàn)锳a=(x,-z,y),A2 a=(x,-y,-z),A3a=(x,z,-y),A4 a=(x,y,z),Ba=(z,y,-x),B2 a=(-x,y,-z),B3a=(-z,y,x),B4

5、 a=(x,y,z),Ca=(-y,x,z),C2 a=(-x,-y,z),C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z),所以 a4=b4=c4=e。2)因?yàn)?AB)= A(z,y,-x)=(z,x,y), BA(a)= B(x,-z,y)=(y,-z,-x),所以AB BA3)因?yàn)?A2 B2 (a)= A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z), B2 A2 (a)= B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z),所以 A2 B2 =B2 A2 o3)因?yàn)?A 2 (a)=( A蛻 AB：a)_= Az,x,y)=(y,z,x), A2 B2 (a)=(-x,-y,z),所以(A

6、B2 a2b2。.在 Px中，Af (x) f (x), B f (x) xf(x),證明：AB-BA=E證任取f(x) Px,則有- - _ . _ _ . (AB-BA f(x) =ABf(x)-BA f(x) =A( xf (x)-B( f (x) = f(x) xf (x) - xf (x) = f (x)所以 AB-BA=E.設(shè) A,B 是線性變換，如果 AB-BA=E 證明：Ak B-BAk =k Ak 1 (k1)。證采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)k=2時(shí)A2 B-BA2 =(A2 B-ABA)+(ABA-BA 尸A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=a,結(jié)論成立。歸納假設(shè)k m時(shí)

7、結(jié)論成立，即AmB-BAm = mAm 1。則當(dāng)k m 1時(shí)，有Am 1 B-BAm 1=(Am 1 B-Am BA)+(Am BA-BAm 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BAm )A=Am E+m Am 1 A=(m 1)Am0即k m 1時(shí)結(jié)論成立.故對一切k 1結(jié)論成立。.證明：可逆變換是雙射。證設(shè)A是可逆變換，它的逆變換為 A 1若a b ,則必有Aa Ab,不然設(shè)Aa=Ao,兩邊左乘A = lx2eaxcosbx, 1=1eaxx2sinbx,的所有實(shí)數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)六維線性空 ,有a=b,這與條件矛盾。其次，對任一向量b,必有a使Aa=b,事實(shí)上，令A(yù)1b

8、=a即可。因此，A是一個(gè)雙射。.設(shè)1, 2, n是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換。證明：A是可逆變換當(dāng)且僅當(dāng)A i,A 2, ,A n線性無關(guān)。證因 At 1, 2, n ) = ( A 1 ,A 2 , ,A n) = ( 1, 2, n ) A,故A可逆的充要條件是矩陣A可逆，而矩陣A可逆的充要條件是A 1,A 2, ,A n線性無關(guān)，故A可逆的充要條件是A 1,A 2, ,A n線性無關(guān).。.求下列線性變換在所指定基下的矩陣：1)第 1 題 4)中變換 A在基 1=(1,0,0),2 =(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣；2) o; 1, 2是平面上一直角坐標(biāo)系，人是平面

9、上的向量對第一和第三象限角的平分線的垂直投影，B是平面上的向量對2的垂直投影，求A,B,AB在基1, 2下的矩陣；3)在空間Px n中，設(shè)變換A為f(x) f (x 1) f(x),1 試求 A在基 i = x(x 1) (x i 1)- (I=1,2,n-1)下的矩陣 A;i!4)六個(gè)函數(shù) 1=eaxcosbx, 2=eaxsin bx , 3 = xeaxcosbx, 4 =xeaxsin bx ,1(1,0,2)2(0,1,1),3(3, 1,0)求在基 1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣;7）同上，求A在1, 2, 3下的矩陣1+ 2, A 3=(0,1

10、,0)=2,解 1) A 產(chǎn)(2,0,1)=21+ 3, A 2 =(-1,1,0)=-故在基3下的矩陣為2）取尸（1,0) ,2= (0,1)11+2故A在基121212下的矩陣為A= 12又因?yàn)锽1=。,2= 2 ,所以B在基2下的矩陣為B=,另外，(AB) 2=A(B 2)=A = 1=A 2=211+2所以AB在基1,2下的矩陣為AB=12123）因?yàn)?1, 1x,x(x 1)2!x(x 1) x (n 1)!(n0,(x1)A n1(x 1)x x (n 3)(n 1)!x(x 1) x (n 2)(n 1)!x(x 1) x (n 3)= (x 1) x (n 2) (n 1)!所

11、以A在基o, i,，一下的矩陣為A=104）因?yàn)?D 1=a 1- b 2,D 2=b i-a 2, 6,D 3 = i +a 3- b 4,D 4 = 2+b 3+a 4,D 5 = 3+a 5 - b 6,D 6 = 4 +b 5 +a 6,ab10ba01所以D在給定基下的矩陣為上00ab00 ba000000000000100 。01abba5)因?yàn)?1 , 2 , 3 ) = ( 1 ,213)111001 ,所以11(1,2 ,3) = (1 ,2 ,3)111011 =( 1 , 2 , 3 ) X,101故A在基1, 2,3下的矩陣為110B=X 1 AX= 10111 110

12、 11 1110011 2 1106)因?yàn)?1, 2, 3)=( 1, 21 033) 0112101，2，3)二A(13)02但已知A(2， 3)=(3)3)二 (1,3)7)因?yàn)?=(1，2，3)J 727 273767J7371717=(=(574727720757187207272471，2，2， 3)1,23)118.在P2 2中定義線性變換A1(X)=A1，A2，A3 在基 E11，E12，E21bb X，A2(X)=X d，E 22下的矩陣。解因 A1 E11=aE11+cE12，A1 E12=aE12+cE22，A1 E21 =bE11 +dE21，A1E22=bE21 +dE

13、22，,A2(X)=故A1在基日三12三21尼22下的矩陣為A1 =b 0 d00b0d又因 A2 E11=aE11+bE12, A2 E12=cE11+dE12,A2 E21 =aE21 +bE22, A2 E22 =cE21 +dE22,故A2在基E/E 12，E 21，E 22下的矩陣為A2a b00c d00又因 A3E11=a2 E11+abE12+acE21 +bcE22 ,A3 E12=acE11+adE12+c2 E21 +cdE22 ,A3E21=abE11+b2E12 +adE21 +bdE22 ,a2acabbcabadb2bdac2 cadcdbccdbdd2A3o3下

14、的矩陣為A3 E22 =bcE11 +bdE12 +cdE21 +d2 E22 ,故A3在基E11 ,E 12 ,E 21 ,E 22下的矩陣為a13a23，a339.設(shè)三維線性空間V上的線性變換A在基A= TOC o 1-5 h z a11a12a21a22a31a321)求A在基3, 2,1下的矩陣;2)求A在基1,k 2, 3下的矩陣，其中且;3)求A在基3下的矩陣。解 D 因 A 3=a33 3 +a23 2a13 1 ,A 2 =a32 3 a22 2 a12 1 ，A 1=a31 3a21 2a11 1 ,故A在基3, 2,1下的矩陣為B3a33a23a13a32a22a12a3a

15、2a1.ao-12)因 A 1 = an 1 + (k 2) a3i 3 , kA(k 2 )= k a12 1 +a22 (k 2) +ka32A 3 = ai3 1故A在i,k2,aiikai2ai3a2ia22a23kka31ka32a33oa2ia223下的矩陣為B23)因 A( 12 )二(aiiai2)(13) + (aiia2) 2 +( a3ia32)2 = a12 (2 ) + ( a22a12)2 +a32 3 ，3 =ai3 (2)+ ( a23a13)3下的矩陣為B3aiia21a22a31ai2 aii a32a12ai2a22a12a32ai3a23a13。a331

16、0.設(shè)A是線性空間V上的線性變換，如果Ak 10,但 Ak=0,求證:,A ,Ak =0.再由，可得12=0.同理，繼續(xù)作用下去，便可得 (k0)線性無關(guān)。證設(shè)有線性關(guān)系1i 12 A1kAk 10,用Ak 1作用于上式，得11Ak1 =0（!3An 0 對一切 n k 均成立），又因?yàn)锳k 10,所以1i0,于是有12A13A21kAk10,再用Ak 2作用之，得LAkli 12即證，A ,Ak1 (k0)線性無關(guān)。11.在n維線性空間中，設(shè)有線性變換 A與向量 使得An10,求證A在某組下的矩陣是010100 10證由上題知，,A ,A2 , ,An1線性無關(guān)，故,A ,A2 , ,An1

17、為線性空間V的一組基。又因?yàn)锳 01 A 0 A2 +0 An 1 ,A(A )= 0 +0 A +1 A2 +0 An 1 ,A (An 1 ) =0 +0 A +0 A2 +0 An 1 ,故A在這組基下的矩陣為0101。01012.設(shè)V是數(shù)域P上的維線性空間，證明：與 V的全體線性變換可以交換的線性變換是數(shù)乘 變換。證因?yàn)樵谀辰M確定的基下，線性變換與 n級方陣的對應(yīng)是雙射，而與一切 n級方陣可交換的 方陣必為數(shù)量矩陣kE,從而與一切線性變換可交換的線性變換必為數(shù)乘變換K。是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明：如果 A在任意一組基下的矩陣都相同， 那么是數(shù)乘變換。證設(shè)A在基1, 2

18、, , n下的矩陣為A=(aj),只要證明A為數(shù)量矩陣即可。設(shè)X為任一非 退化方陣，且(1, 2, n) = ( 1 , 2, n )X ,則1, 2,L , n也是V的一組基，且A在這組基下的矩陣是X 1AX ,從而有AX=XA這說明A與一切非退化矩陣可交換若取Xi則由 AX1 = X1A知 aj =0(i j),即得a22aiiA=Jnn再取 TOC o 1-5 h z 01000010X2 =00011000由ax2 = x2a,可得a11 a22ann 0故A為數(shù)量矩陣，從而A為數(shù)乘變換。.設(shè)1, 2, 3, 4是四維線性空間V的一組基，已知線性變換 A在這組基下的矩陣為 TOC o

19、1-5 h z 1021121312551）求A在基122 1212 24 ,23 234, 334 , 42 4 下的矩陣;2）求A的核與值域；3）在A的核中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，并求A在這組基下的矩陣； 4）在A的值域中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，并求A在這組基下的矩陣 解1）由題設(shè),知 TOC o 1-5 h z 10 0 0_23 0 0(1 , 2 , 3 , 4 ) = (1,2, 3,4) 八 ，八，01101112故A在基1, 2, 3, 4下的矩陣為2)先求A 1 (0).設(shè)A1(0)0 0 0 2 00111 0 3)1 01 )213 52 15 1 ) 2

20、0 2 21112它在1,4下的坐標(biāo)為4下的坐標(biāo)為(0,0,0,0,)111202222151因 rank(A)=21352故由X1X2X3X40000X1 2X3x1 2x2x40X33?？汕蟮没A(chǔ)解系為X1 =(2,21,0),X2=( 1, 2,0,1)若令1 =(4)X1,2 =( 1,4)X2 ，則1,2即為A 1(0)的一組基，所以A 1 (0)= L( 1, 2)。再求A的值域AV。因?yàn)锳 1= 12 4,A 3 =2 1rank(A)=2，故 A 1,A2, A 3,A 4的秩也為2,且A 1,A2線性無關(guān)，故A 1,A 2可組成AV的基，從而AV=L(A 1,A 2)4)由2

21、)知1, 2是A 1(0)的一組基，且知2, 1, 2是V的一組基，又 TOC o 1-5 h z 10213_0 1-2(1， 2 ,a 1 ,a 2 ) = ( 1, 2 , 3 , 4 )2,0 0100 001故A在基1, 2, 1, 2下的矩陣為0 B=23211 00 10 00 023211201Oo o o O o o o O2 12 2 5 9-2124)由2)知A產(chǎn)122 4, A 2 =2 22 32 4易知A 1,A 2, 3, 4是V的一組基，且 TOC o 1-5 h z 100 0A120 0(A 1,A 2 , 3, 4) = ( 1, 2, 3, 4)1210

22、，12 0 1故A在基A 1,A 2, 3, 4下的矩陣為C=1100 0102112 0 0121 01213125512 0 122 12100 0120 0121 012 0 15 2 2 1931 2=220 0 0 00 0 0 0.給定P3的兩組基1(1,0,1)1(1,2, 1)2(2,1,0)2(2,2, 1),3(1,1,1)3(2, 1, 1)定義線性變換A(i =1,2,3),1）寫出由基1, 2, 3到基1, 2, 3的過度矩陣;2）寫出在基1, 2, 3下的矩陣；3）寫出在基1, 2, 3下的矩陣。解 1)由(1, 2, 3)二( 1, 2, 3)X,引入 P3 的一

23、組基 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),則12, 3)=( e, e2, e3) 012 11 1 =( e , e2, e3)A,0 1所以12(1, 2, 3 ) = ( ei , e2 , e3)2211211 =( e1, e2, e3)B=( e1，e2, e3)A B,1故由基1 , 2, 3到基12, 3的過度矩陣為X=A1 B= 0 1 1223232122)因A 1, 2 , 3)二 ( 1 , 2 , 3)=(1 , 2 , 3)323212323252A= 123252故A在基1, 2, 3下的矩陣為323 TOC o 1-5 h z 1

24、ii2與i2相似，其中（ii,i2, ,in）是1,2, 的一個(gè)排nin列。證設(shè)有線性變換A,使1A（ 1，2， n） =（ 1，2， n）ni1=（1, 2，n）d，二(i1，i2，, in )D2 ,于是與D2為同一線性變換A在兩組不同基下的矩陣，故則 A（ i1，i2，in 尸（i1，i2，in ）22與 2相似。nin.如果A可逆，證明AB與BA相似。證因A可逆，故A 1存在，從而A 1 （AB）A=（A 1 A）BA=BA所以AB與BA相似。.如果A與B相似，C與D相似，證明：A 0與B 0相似0 B 0 D 11 一 X 1證由已知，可設(shè)B=X1AX,D=Y1CY,則00Y1A0

25、X00C 0YB00D這里X10Y1X01，, A0,B0,故 與 相似。0Y0C 0D19.求復(fù)數(shù)域上線性變換空間V的線性變換A的特征值與特征向量.已知A在一組基下的矩陣為：113 40 a 111)A=2)A=3)A=5 2a 011111156114)A=1 01112110 0 15)A= 0 1 0 6)A=1 0 02 1303 7)A=43 04解1)設(shè)A在給定基2下的矩陣為A,且A的特征多項(xiàng)式為先求屬于特征值2-5 -14=(7)(2),故A的特征值為7,-2。=7的特征向量。解方程組4x1 4x25x1 5x201,它的基礎(chǔ)解系為，因此A的屬于特征值7的全部特征向量為k 1(

26、k 0),其中1= 1+ 2。再解方程組5x1 4x20,它的基礎(chǔ)解系為4 ，因此A的屬于特征值-2的全部特5x1 4x205征響向量為k 2(k 0),其中2=4 1-5 2 o2)設(shè)A在給定基1, 2下的矩陣為A,且當(dāng)a=0時(shí)，有A=0,所以 E故A的特征值為1= 2=0。解方程組0 x1 0 x20 x1 0 x20,它的基礎(chǔ)解系為02,0 ,因此A的屬1于特征值0的兩個(gè)線性無關(guān)特征向量為1= 1, 2= 2,故A以V的任一非零向量為其特征向量。當(dāng) a 0時(shí)，E A = a = 2+a 2 =( ai)( ai),故 A 的特征值為 1 = ai,2 =- ai o當(dāng)尸ai時(shí)，方程組ai

27、x1ax2 0的基礎(chǔ)解系為i，故A的屬于特征值ai的全部特ax1 aix201征向量為k 1(k 0),其中1=-i 1+ 2。當(dāng)2=-ai時(shí)，方程組aix1 ax2 0的基礎(chǔ)解系為i ,故A的屬于特征值-ai的全部 ax1aix2 01特征向量為k 2(k 0),其中2=i i + 23)設(shè)A在給定基1, 2, 3, 4下的矩陣為A,因?yàn)镋 A =(2) 3(2),故A的特征值為 1= 2= 32, 411當(dāng) 2時(shí)，相應(yīng)特征方程組的基礎(chǔ)解系為 X1, X2010101001征信2的全部特征向量為k1 1+ k2 2+k 3 3(k 1, k2,k3不全為零)，其中1= 1+ 2,2時(shí)，特征方

28、程組的基礎(chǔ)解系為X41111,故A的屬于特征值-2的全部特征向 TOC o 1-5 h z 量為 k 4(k 0),其中 4= 1-2-344)設(shè)A在給定基1, 2, 3下的矩陣為A,因3 4 2 24=(2)(563E A = 11121故A的特征值為1=2,2=1+,31- 3 o3x1 6x2當(dāng)1=2時(shí)，方程組Xi 2x2x1 2x23x3 02X3 0的基礎(chǔ)解系為13x3 00,故A的屬于特征值2的全部特征向量為k 1(k 0),其中1 = 2 1- 2。 TOC o 1-5 h z (4 .3)x1 6x2 3x3 03當(dāng) =1 +再時(shí)，方程組x1 (1 3)x2 x3 0的基礎(chǔ)解系

29、為 1 ，故A的屬于x1 2x2 (2 . 3) x3 02 . 3特征值1 + 73的全部特征向量為k 2(k 0),其中2=3 1- 2+(2 1)中，求微分變換D的特征多項(xiàng)式，并證明D在任何一組基下的矩陣都不可 能是對角陣。X2解取PX n的一組基1,X, 2(n則D在此基下的矩陣為010.0001.0D=.000.1000.01 0 . 001 . 0從而| E D 0 00 .1故D的特征值是0(n重)，且D的屬于特征值0的特征向量 只能是非零常數(shù)。從而線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)是1,它小于空間的維數(shù)n,故D在任一組基下的矩陣都不可能是對角 形。14222.設(shè) A=034,求 Ak。04

30、314解：因?yàn)镋A030424(1)(5)(5),3故A的特征值為11, 2 5,5,且A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為X (1,0,0), A的屬于特征值5的一個(gè)特征向量為X2 (2,1,2), A的屬于特征值-5的一個(gè)特征向量為X3 (1, 2,1) TOC o 1-5 h z 1 21于是只要記T=(Xi , X 2 , X 3 )10 12 ,貝U T AT0 21100且 Bk0 5k 000( 5)k于是 Ak TBkT 10 2100( 5)k 012 5k 1 1 ( 1)k1=05k 1 1 4( 1)k0 2 5k 1 1 ( 1)k15k 1 4 ( 1)k 12 5k1

31、 1 ( 1)k 15K 1 4 ( 1)k1)2)3)2321127求A的基44下的矩陣;求A的特征值與特征向量;求一可逆矩陣T,使T 1 AT成對角形。解1）由已知得（1211231000100001(1,3, 4)X ,故求得A在基1,4下的矩陣為1B=X1AX65725543222）A的特征多項(xiàng)式為f()2(2)(1)，所以A的特征值為0,A的屬于特征值0的全部特征向量為k11 k2 2,其中k1,k2不全為零，且A的屬于特征值1 一-的全部特征向量為k3 3,其中k30 ,且23 +6 4 023.設(shè)1, 2，3, 4是四維線性空間V的一個(gè)基，線性變換A在這組基下的矩陣為A的屬于特征

32、值1的全部特征向量為k4 4,其中3）因?yàn)?,231011014216311 ，2所求可逆陣為T=2310110142163112為對角矩陣。1,2是線性變換A的兩個(gè)不同特征值,2是分別屬于2的特征向量，證明:12不是A的特征向量;2）證明：如果線性空間V的線性變換A以V中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么 A是數(shù) 乘變換。 TOC o 1-5 h z 證 1)由題設(shè)知 A( 1)1 1,A( 2)2 2,且 12 ,2)=12是A的特征向量，則存在0使A( 1A( 1)20。再由2的線性無關(guān)性，知2 ,這是不可能的。2）設(shè)V的一組基為2不是A的特征向量。1, 2,., n,則它也是A的n個(gè)線

33、性無關(guān)的特征向量，故存在特征A( i) i i(i 1,2,., n)0由1）即知12n k o由已知，又有A（ ） k （ V）,即證A是數(shù)乘變換。25.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，A, B是V上的線性變換，且AB=BA ,證明:1)如過0是A的一個(gè)特征值，那么V0是B的不變子空間;2) A, B至少有一個(gè)公共的特征向量。證1)設(shè) V。，則A 0 ,于是由題設(shè)知AB 尸B(A 尸蛻 o )o(B ),故B V o,即證V。是B的不變子空間。3)由1)知V。是B的不變子空間，若記B|Vo=Bo，則B。也是復(fù)數(shù)域上線性空間V。的 一個(gè)線性變換，它必有特征值 o,使BoB= oB(B 0,且3

34、o),顯然也有A(B)= oB,故B即為A與B的公共特征向量。26.設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，而線性變換 A在基1, 2,., n下的矩陣是 一若當(dāng)塊。證明：V中包含i的A-子空間只有V自身；V中任一非零A-子空間都包含口；V不能分解成兩個(gè)非平凡的 A子空間的直和。 證1)由題設(shè),知1 TOC o 1-5 h z A 1, 2,，n) = ( 1, 2，n)，.1A112A 223即 ，A n1n1 na nn設(shè)W為A-子空間，且1 W則A 1 W進(jìn)而有2 A 11 W A 2 W3 A 22 W A 3 Wn1故 W=Lj 2,., n二V。2)設(shè)W為任一非零的A子空間，對任一非零向量W

35、,有不妨設(shè) 10,則 A lA 12A 2. nA n=1 (12)+ 2 (23)+，+n n二1 22 3. n 1 n W于是1223 n 1 n W同理可得1 32 4. n 2 n W，1 n W從而n W即證V中任一非零的A-子空間W部包含n3)設(shè)W1, W是任意兩個(gè)非平凡的 A子空間，則由2)知于是n W1,故V不能分解成兩個(gè)非平凡的A子空間的直和。27.求下列矩陣的最小多項(xiàng)式:01) 0110 ,2)03131131331311313解1)設(shè)A,因?yàn)锳2-E=0,所以21是A的零化多項(xiàng)式，但2 1。2)因?yàn)閒()A- E 0, A+E 0,故A的最小多項(xiàng)式為mA()E A 4,

36、所以A的最小多項(xiàng)式為，2, 3, 4之一，代入計(jì)算可得A的最小多項(xiàng)式為mA( )2 o二補(bǔ)充題參考解答.設(shè)A,B是線性變換，A2=A,B2=B證明:1)如果(A+E) 2 =A+B那么 AB=02)如果，AB=BAIB么(A+B-AB)2=A+B-AB.證 1)因?yàn)?A2 =A,B2=B,(A+B 2=a+b由(A+B 2 =(A+B)(A+B)=A2 +AB+BA+B,故 A+B=A+AB+BA+B,即 AB+BA=0.又 2AB=AB+AB=AB-BA=A-B2 A=A2 B+ABA=A(AB+BA)=A0=0所以AB=0.2)因?yàn)?A2 =A,B2=B,AB=BA所以(A+B-AB)2

37、=(A+B-AB)(A+B-AB)=A2 +BA-ABA+AB+B-AB2 -A2 B-BAB+ABAB=A+AB-AAB+AB+B-AB-AB-ABB+AABB=A+AB-AB+AB+B-AB-AB-AB+AB=A+B-AB.設(shè)V是數(shù)域P上維線性空間，證明：由V的全體變換組成的線性空間是n2維的。證因 Eii,L Ein, E21,L , E2n,L , Eni,L Enn是Pnn的一組基，Pnn是n2維的。V的全體線性變換與Pn n同構(gòu)，故V的全體線性變換組成的線性空間是n2維的。.設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明：1)在Px中有一次數(shù)n2的多項(xiàng)式“*),使9)0；2)如果

38、f(A) 0,g(A) 0,那么d(A) 0,這里d(x)是f (x)與g(x)的最大公因式.；A可逆的充分必要條件是：有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式f(x)使f(A) 0。證1)因?yàn)镻上的n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是n2維的，所以n2+1個(gè)線性變 22換An ,An 、，A,E , 一定線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)an2,an2 J aa。使22an2 A +an21A +La1A+a0 E=0,22令 f(x) an2 xn an2 1xnL ax a0,且 a 0,1,2,L ,n2)不全為零，(f(x) ) n2。這就是說，在Px中存在一次數(shù) n2的多項(xiàng)式“*),使(凡0。即

39、證。2)由題設(shè)知 d(x) u(x)f (x) v(x)g(x)因?yàn)?f (A) 0,g(A) 0 ,所以 d(A) u(A)f (A) v(A)g(A) =0O3)必要性.由1)知，在Px中存在一次數(shù)n2的多項(xiàng)式“刈，使瓜)0。即 TOC o 1-5 h z 22an2 An +an2 1 An +La1A+a0E=0,一 2一2 (右 a0 0,則 f (x) an2xan2 1x L a1x a0 即為所求。若 a0 0,一 2一 2 (an2 A +an21A +La1A+a0E=0,因 A 可逆，故存在A;(A (Aj) 1也存在，用(Aj) 1右乘等式兩邊, .一22得 an2An

40、 j+an2 1An j 1+- +ajE=0令 f(x) an2 xn j+an2 1 xn j 1+ + aj 0),即 f(x)為所求。充分性.設(shè)有一常數(shù)項(xiàng)不為零的多項(xiàng)式22 1f (x) an2xn an2 1xnL &x % (a。 0)使 f (A) 0,即2 am 1Amia1A a0E 0,所以 amAm am 1Amia1Aa0E ,于是(amAm1a1E) A E,a0又 A(amAm 1a1E) E,a0故A可逆。4.設(shè)A是線性空間V上的可逆線性變換。1)證明：A的特征值一定不為0；12)證明：如果 是的A特征值，那么1是A1的特征值。證1)設(shè)可逆線性變換A對應(yīng)的矩陣是A

41、,則矩陣A可逆,A的特征多項(xiàng)式f()為f( ) n (七 a22ann) n 1(1)nA,A 可逆，故 A 0。又因?yàn)锳的特征值是的全部根，其積為 A 0,故A的特征值一定不為002)設(shè) 是的A特征值,那么存在非零向量，使得A，用A1作用之，得(A1)，于是A1-,即工是A 1的特征值。.設(shè)A是線性空間V上的線性變換，證明；A的行列式為零的充要條件是 A以零作為一個(gè)特 征值。證：設(shè)線性變換A矩陣為A,則A的特征值之積為A 必要性，設(shè)A 0,則A的特征值至少有一個(gè)為零，即一另為一個(gè)特征值。充分性，設(shè)A有一個(gè)特征值0 0,那么A 00.設(shè)A是一個(gè)n階下三角矩陣，證明：1)如果ah a/j，5 1

42、,2 n),那么A相似于一對角矩陣;2)如果ai1a22ann,而至少有一 aiojo 0(ij。)，那么A不與對角矩陣相似。證：1)因?yàn)锳的多項(xiàng)式特征是f( )= E A (ai1)(a22)(ann)，又因 aii ajj(ij，i，j 1,2 n),故A有n個(gè)不同的特征值，從而矩陣 A 一定可對角化，故A似于對角矩陣。 2)假定a*1A=與對角矩陣B= 2相似，a11ai0j0 na”則它們有相同的特征值2, , n,因?yàn)锳的特征多項(xiàng)式f()二所以a11由于B= a11=a11E是數(shù)量矩陣，它只能與自身相似，故 A不可能與對角a11矩陣相似。7.證明:對任n復(fù)系數(shù)矩陣A,存在可逆矩陣T,

43、使T 1AT證:存在一組基11? , 1 , , S1,s.，使與矩陣A相應(yīng)的線性變換A在該基下的矩陣成若s， sr爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J,且A 1111112A s s r若過度矩陣為J1P,則1P 1AP JJS重排基向量的次序,使之成為一組新基11, s2，s1,則由新基到舊基的過渡矩陣為BnQ=B2，其中B,j 二rjBrs于是A (故A在此新基下的矩陣即為上三角形 即存在可逆矩陣T=PQ使T1AT成上三角形。8.如果A1,A2, ,As是線性空間V的兩兩不同的線性變換，那么在 V中必存在向量a,使Aa,A2a, Asa也兩兩不同。證令%| V,A Aa(i,j 1,2, s),因?yàn)锳0 Aj0 0,0 Vj ,故 Vj非空。 TOC o 1-5 h z 又因?yàn)锳3A2, As兩兩不同，所以對于每兩個(gè)A, Aj而言，總存在一個(gè)向量，使AiAj,故Vj是V的非空真子集。設(shè)，Vj,則 AiA ,AiAj,于是 A() Aj(),即Vj又A(k ) kAikAjAj (k )，于是k Vj ,故Vj是V的真子空間。1)如果Vj都是V的非平凡子空