高考數(shù)學建模法

1、高考數(shù)學建模法“建模法”是指：從實際問題或綜合、新穎的數(shù)學問題中建立數(shù)學模型，再通過解決數(shù)學問題達到解 決實際問題或轉(zhuǎn)化為若干個常規(guī)的數(shù)學問題，從而解決問題的方法；建模法主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題?？v觀高中數(shù)學，“建模法”涉及的數(shù)學模型從數(shù)學的角度，主要分為以下幾種模型：代數(shù)模型、幾何 模型、規(guī)劃模型、優(yōu)化模型、概率模型、統(tǒng)計模型、決策模型等。高考中已出現(xiàn)的應用題，大致可分為： 與排列、組合、概率有關(guān)的應用題、與函數(shù)及函數(shù)的最值有關(guān)的應用題、與數(shù)列的通項或數(shù)列等求和有關(guān) 的應用題、與立體幾何或解析幾何的位置和軌跡有關(guān)的應用題； 一、利用“建模法”

2、解實際問題數(shù)學建模活動是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的過 程；主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算 求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學建?；顒邮腔跀?shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動；是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容。例1、如圖，一輛汽車在水平公路上向正西方行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂 D在西偏北30的方向上，行駛600米后到達B處，測得此山頂在西偏北 75的方向上，仰角為30，此山頂?shù)母叨?CD為多 少米？【提示】這是一個實際應用性問題，題目背景跟數(shù)學中的解三角形有關(guān)，可以

3、考慮做適當?shù)臄?shù)學抽象，構(gòu)建三角模型；一般的，建立數(shù)學模型解決實際問題要經(jīng)歷這么幾個過程：第一是模型準備，即弄清題目背景，明確研究 問題.在本題中，就是要弄清題目中的那些方位角，仰角到底是指哪些角；第二是模型假設：即對實際問題做合理的適當?shù)暮喕?，方便我們分?比如本題中，我們需要假設 CD 面ABC等；第三是模型構(gòu)建，經(jīng)過前面的分析，我們可以構(gòu)建數(shù)學模型了；第四是模型求解；數(shù)學模型為：在三木錐 D ABC 中，CD 面 ABC , BAC=30 ,ABC=105 , CBD=30 , AB=600 ,求 CD的長；600 【解析】在 ABC中使用正弦定理可得:,所以 BC 一產(chǎn)2 300a ,

4、sin BCA sin BAC2方之后在Rt BCD中，便可解出CD ,即CD BC tan 30100匹;即山頂?shù)母叨仁?00J6米;【評注】建立數(shù)學模型解決實際或數(shù)學問題，往往需要經(jīng)歷模型準備，模型假設，模型構(gòu)建，模型求解, 模型評價幾個環(huán)節(jié)；模型準備就是弄清問題背景，明確研究問題，收集必要數(shù)據(jù)等等，模型假設是指對實 際問題作出適當?shù)募僭O，忽略次要因素，突出主要因素；從實際問題中抽象出數(shù)學模型，模型構(gòu)建便是把 這種模型用數(shù)學語言表達出來，模型求解指利用數(shù)學知識，解決這個數(shù)學問題，從而達到解決原問題；當 然，實際生活中還需要根據(jù)情況對模型求解的結(jié)果進行評價，如果不合理的話就需要回到模型假設，

5、重新 作出假設，構(gòu)建數(shù)學模型。例2、某學習小組由學生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)；若教師人數(shù)為4,則女學生人數(shù)的最大值為;該小組人數(shù)的最小值為 ?！咎崾尽勘绢}可以考慮構(gòu)造不等式模型；【解析】設男學生 x人，女學生 y人，教師z人，則題設所列舉的三個條件可以轉(zhuǎn)換為不等式組：2z x y z ；根據(jù)題目條件可得8 x y 4,故x 7,y 6即女學生人數(shù)的最大值為 6人；結(jié)合3個不等式可得：2z x y z,考慮到x ,y ,z都是正整數(shù)，可得 z 3, y 4, x 5, 所以x y z 3 4 5 12

6、 ,即該小組最少12個人；【評注】本題（2017年北京高考文14）忽略題干中的實際背景，從中抽象出數(shù)學模型；問題轉(zhuǎn)化為不等 式模，利用不等式的知識，解決了問題后，在反演回實際問題，從而完成問題的解決。二、利用“建模法”解數(shù)學應用題解應用題，首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象成數(shù)學問題，就是從實際出發(fā)， 經(jīng)過去粗取精、抽象概括，利用學過的數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型，再利用數(shù)學知識對數(shù)學模型進行分 析、研究，得到數(shù)學結(jié)論后返回到實際問題中去驗證。解應用題的一般程序；（1）讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)；（2）建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言， 利

7、用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型,熟悉基本數(shù)學模型, 正確進行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān)； （3）解：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論 ，一要充分注意數(shù)學模型中元素 的實際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程；（4）答：將數(shù)學結(jié)論還原給實際問題的結(jié)果。中學數(shù)學中常見應用問題與數(shù)學模型；（1）優(yōu)化問題：實際問題中的“優(yōu)選” “控制”等問題，常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問題解決；（2）預測問題：經(jīng)濟計劃、市場預測這類問題通常設計成“數(shù)列模型”來解決；（3）最（極）值問題：工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設及實際生活中的極限問題常設計成“函數(shù) 模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；（5）測量問題：可設計成“圖形模型”利用幾何知識解決。（

8、4）等量關(guān)系問題：建立“方程模型”解決;例3、國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費；每一年度申請總額不超過6 000元，某大學2017屆畢業(yè)生凌霄在本科期間共申請了 24 000元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)(按36個月計)全部還清；簽約的單位提供的工資標準為第一年內(nèi)每月1 500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5姑到4 000元；凌霄同學計劃前 TOC o 1-5 h z 12個月每個月還款額為 500,第13個月開始，每月還款額比上一月多x元；(1)若凌霄恰好在第 36個月(即畢業(yè)后三年)還清貸款，求 x的值

9、；(2)當x=50時，凌霄同學將在第幾個月還清最后一筆貸款？他當月工資的余額是否能滿足每月3 000元的基本生活費？(參考數(shù)據(jù)：1.05 18=2.406 , 1.05 19= 2.526 , 1.05 20 =2.653 , 1.05 21 = 2.786 )【提示】注意：以數(shù)列及其相關(guān)知識為模型；【解析】方法1、(1)依題意，從第13個月開始，每月還款額比前一個月多x元，故 12X500+ (500 +x) +(500 + 2x) + (500 + 24x) =24 000 ,即 36X500+ (1 + 2+3+ 24)x =24 000 ,解得 x= 20,即要在三年全部還清，第13個

10、月起每個月必須比上一個月多還20元；(2)設凌霄第 n 個月還清，則應有 12X500+ (500 + 50)+(500 +2X50)+ + 500 +(n-12)X50 24 000,2-3+ 3 321即n -3n-8280,解得n號30,取n=31,即凌霄工作 31個月就可以還清貸款；這個月凌霄的還款額為：24 000 12 X500+ (500 + 50) X (30 - 12) + (30 12) (30 12 1 50=2450(元)，第 31 個月凌霄的工資為 1 500 X 1.05 19 = 1 500 X 2.526 = 3 789(元)，因此，凌霄的剩余工資為3 789

11、450= 3 339(元)，能夠滿足當月的基本生活需求；方法2、(1)依題意，從第13個月開始，每個月的還款額an構(gòu)成等差數(shù)列，其中 a1 = 500+x,公差為x.從而，到第 36 個月，凌霄共還款12X500+ 24d+ 24 (24 1)x ,令 12 X 500 + (500 + x) X 24 +224X 2412x= 24 000,解得x=20,即要在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還20元.(2)設凌霄第n個月還清，則應有12X500+ (500 + 50) X (n - 12)+ (n 12) (n 12 1)50 24 000 ,整理，得 n2-3n-8280

12、, 233 321 解得n 一 30,取n=31,即凌霄工作31個月就可以還清貸款.這個月凌霄的還款額為：24 000 12 X500+ (500 + 50) X (30 - 12) + (30 12) (30 12 1 50=2450(元)，第 31 個月凌霄的工資為 1 500 X 1.05 19 = 1 500 X 2.526 = 3 789(元)；因此，凌霄的剩余工資為 3 789 450= 3 339(元)，能夠滿足當月的基本生活需求；【評注】在經(jīng)濟活動中，諸如增長率、降低率、存款復利、分期付款等與年(月)份有關(guān)的實際問題，大 多可歸結(jié)為數(shù)列問題，即通過建立相應的數(shù)列模型來解決.在解

13、應用題時，是否是數(shù)列問題一是看自變量 是否與正整數(shù)有關(guān)；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律。例4、如圖所示，某街道居委會擬在 EF地段的居民樓正南方向的空白地段 AE上建一個活動中心，其中 AE =30米；活動中心東西走向，與居民樓平行；從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD上部分是以DC為直徑的半圓；為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下3落在居民樓上的影長 GE不超過2.5米，其中該太陽光線與水平線的夾角0滿足tan 0 =(1)若設計AB= 18米，AA 6米，問能否保證上述采光要求?(2)在保證上述采光要求的前提下，

14、如何設計(注：計算中兀取3)AB與AD的長度，可使得活動中心的截面面積最大?【提示】注意：以解析幾何及其相關(guān)知識為模型;【解析】如圖，以 A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系, (1)因為AB= 18米，AD- 6米，所以半圓的圓心為 H(9,6),半徑r = 9.設太陽光線所在直線方程為y=-3x+b,即3x + 4y-4b=0,則由竺善工4= 9,4132+42.一 .3 3.一解得b=24或b=Q(舍)，故太陽光線所在直線方程為y= 4*+24,令x=30,得EG= 1.5 2.5,所以此時能保證上述采光要求；(2)設AD- h米，AB= 2r米，則半圓的圓心為H(r,

15、h),半徑為r,方法1、設太陽光線所在直線方程為y = -x + b,即3x+4y4b=0,由13r qhb= 解得b=卜+2r或b= h r(舍)，故太陽光線所在直線方程為y = -3x+ h+2r, TOC o 1-5 h z 3+42，445.5 1令 x=30,得 EG= 2r + h 萬，由 EGC 萬，彳導 h25- 2r.12_32_3252_5_2所以 S=2rh +2兀 r =2rh +2x r w2r(25 2r) +3X1 =-r + 50r = - -(r 10) +250250,當且僅當 r=10時取等號，所以當AB= 20米且AA 5米時，可使得活動中心的截面面積最

16、大.方法2、欲使活動中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長 EG恰為2.5米，則此時點G為(30,2.5),設過點G的上述太陽光線為11,則 l 1 所在直線方程為 y 2= 4(x 30),即 3x + 4y 100= 0.由直線l i與半圓H相切，得|3r +4h100|,而點H(r , h)在直線li的下方，則 3r + 4h-1000,3r+ 4h 1005x y例5、設D為不等式組 x yx+3y【提示】注意：利用線性規(guī)劃與構(gòu)建代數(shù)式“模型”，從而 h=252r,又 S= 2rh 兀 r 2= 2r(25 - 2r) +|x r 2= - |r2 +50r = - |(r -10)2 + 25

17、0W250.當且僅當r=10時取等號，所以當AB= 20米且AD- 5米時，可使得活動中心的截面面積最大;【評注】以解析幾何為背景的應用題，一般要建立坐標系，然后轉(zhuǎn)化為三角知識或二次函數(shù)或用基本不等 式來求解；解析幾何型應用題是高考的冷點，但在復習時要引起重視。三、利用“建模法”解數(shù)學新穎題對于綜合性強、題設背景新穎的數(shù)學試題，若能通過審題、理解與聯(lián)想，將原問題轉(zhuǎn)化為若干個常 見的課本中的常規(guī)解題“模型”，則往往可以找到解題的“切入點”。00表示的平面區(qū)域，對于區(qū)域D內(nèi)除原點外的任一點 P(x, y),則1x y TOC o 1-5 h z .22.x y ”的“模型”；22x y作出區(qū)域D如

18、圖：下面關(guān)鍵就是構(gòu)建代數(shù)式x y 的模型,22.x y觀察其形式，可以考慮構(gòu)建向量模型，幾何模型，三角模型等;【解析】解法1、向量模型 設 a (x , y) , b (1, 1),且向量 a 與 b所成角為(0 ,則 a b x y 7y2 J5 cos ,所以 J y 、72 cos ，由圖可知 一,所以所求范圍為J2,。; TOC o 1-5 h z ,x2 y22解法2、幾何模型為區(qū)分直線方程中的x , y ,故設P(x0 , y0),則直線OP: x0y y0 x 0,點(1,1)到直線OP的距離為：d 10 y即所求.觀察圖像可知 d 0,J222,x y又因為P所在區(qū)域滿足x y 0,所以所求 _y2_d V2,0；22x0