高考數(shù)學(xué)試題主觀題分類剖析

1、2009年高考數(shù)學(xué)試題主觀題分類剖析馬興奎(云南省文山州硯山一中，663100)在高考數(shù)學(xué)試卷中，主觀題包括計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題等。其基本架構(gòu)是：給出一定 的題設(shè)(即已知條件)，然后提出一定的要求(即要達(dá)到的目標(biāo))，讓考生解答?？忌獯饡r(shí)， 應(yīng)把已知條件作為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，進(jìn)行推理、演繹或計(jì)算， 最后達(dá)到所要求的目標(biāo)，同時(shí)要將整個(gè)解答過程的主要步驟和經(jīng)過，有條理、合邏輯、完整地陳述清楚。 縱觀近幾年高考命題情況，可以發(fā)現(xiàn)，主觀題在高考卷中的考查呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：(1)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，要求全面又突出重點(diǎn)，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合。(2)對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查，數(shù)學(xué)思想與方

2、法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括， 在高考中，常將它們與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合進(jìn)行考查時(shí)，從學(xué)科整體意義和思想含義上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。(3)對(duì)能力的考查，以邏輯思維能力為核心，全面考查各種能力， 強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性，突出數(shù)學(xué)試題的能力立意，強(qiáng)化對(duì)素質(zhì)教育的正確導(dǎo)向。(5)出現(xiàn)一些背景新穎的創(chuàng)新題、開放題、富有時(shí)代特色的應(yīng)用題，并有越演越烈的趨 1 (4)在強(qiáng)調(diào)綜合性的同時(shí)，注重試題的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅(jiān)持多角度、多層 次的考查。勢(shì).一、三角與三角函數(shù)的綜合問題例 1已知函數(shù) f(x) -2.3sin2x sin2x 3.(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最小值；

3、(n)在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y = f (x)在區(qū)間0,冗上的圖象.命題意圖：三角與三角函數(shù)的綜合問題主要考點(diǎn)是三角變換、圖像、解析式、向量或三角應(yīng)用題，重點(diǎn)是三角、向量基本知識(shí)的綜合應(yīng)用能力。數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化的思想是解決三角函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常使用的基本思想方法。屬于基礎(chǔ)題或中檔題的層面，高考中一定要盡量拿滿分。【分析及解】(I) f (x) = 73(12sin2 x)+sin 2x =sin 2x +石 cos2x = 2sin(2x + .) 2二所以，f (x)的最小正周期T =冗，最小值為-22評(píng)注：三角函數(shù)的訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)立足課本，緊扣高考真題，不需要加深加寬.解答

4、三角函數(shù)考題的關(guān)鍵是進(jìn)行必要的三角恒等變形，其解題通法是：發(fā)現(xiàn)差異（角度，函數(shù)，運(yùn)算），尋找聯(lián)系（套用、變用、活用公式，技巧，方法） ，合理轉(zhuǎn)化（由因?qū)Ч?，由果探因?其解題技 巧有：常值代換：特別是用“1”的代換；項(xiàng)的分拆與角的配湊；化弦（切）法；降次與升次；引入輔助角：asinQ +bcos = = Ja2 +b2 sin（。+邛），這里輔助角 中所在象限由a、b的b符號(hào)確定，中角的值由tan5確定.此類題目的特點(diǎn)是主要考查三角函數(shù)的概念、周期a性、單調(diào)性、有界性、“五點(diǎn)法”作圖，以及求三角函數(shù)的最大（最小）值等.二、概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題【例2】如圖所示，質(zhì)點(diǎn) P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)

5、上按逆時(shí)針方向前進(jìn) .現(xiàn)在投擲一個(gè) 質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面上分別寫有兩個(gè)1、兩個(gè)2、兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步（如由A到B）;當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是 2,質(zhì)點(diǎn)P前兩步（如由A到C）,當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是 3,質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步（如由A到D）.在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之 前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止（II ）在點(diǎn)用隨機(jī)變量（I）求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率；P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到 A點(diǎn)的所有結(jié)果中，E表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求E的數(shù)學(xué)期望.命題意圖：概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題主要考點(diǎn)是概率、分布列、

6、期望，文科重點(diǎn)是概率，理科 重點(diǎn)是概率、分布列、期望，考查從摸球、擲骰子、體育活動(dòng)、射擊及生產(chǎn)生活中抽象出的 數(shù)學(xué)模型的能力，分類討論的思想。屬中檔題的范疇。從命題者立意看，命題材料源于課本， 貼近考生，貼近生活，背景公平，設(shè)問新穎。解題時(shí)，多讀題目，多審題，注意語言轉(zhuǎn)換是 關(guān)鍵。【分析及解】（I）投擲一次正方體玩具，上底面每個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為21一 一 、一，八 , 一 TOC o 1-5 h z Pi =-因?yàn)橹煌稊S一次不可能返回到 A點(diǎn)；若投擲兩次點(diǎn)P就恰好能返回到 A點(diǎn), 63則上底面出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：（1, 3）、（3, 1）、（2, 2）三種結(jié)果，其概率為1

7、21P2 =（一）2 3=一,若投擲三次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)字應(yīng)依次 331 O1為：（1, 1, 2）、（1, 2, 1）、（2, 1, 1）二種結(jié)果，其概率為 F3=（）3 3 = 39若投擲四次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：（1, 1, 1, 1）1 41 其概率為P4 =L）=一所以，點(diǎn)P恰好返回到 A點(diǎn)的概率為：38111137P = P2 P3 P4 : 1 1二 373 981 81（II）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到 A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種,331因?yàn)?，P（ =2）=7，P（ =3尸 7，P（ =4）-7所以，E E =2 +3

8、- +4 = 7777評(píng)注：高考中概率大題多以實(shí)際問題為背景，時(shí)代感強(qiáng).其解題的關(guān)鍵是利用語言轉(zhuǎn)換策略把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，抽象成數(shù)學(xué)問題，以“摸球”為背景的；以體育競(jìng)賽(比賽勝負(fù)、射擊、投籃命中率)為背景的；以知識(shí)能力(選題、做題、搶答、面試、考駕照) 為背景的；其他的還有像投擲硬幣、旅游交通、經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)、產(chǎn)品的(抽取、檢驗(yàn)，加工)等 為背景的。這些背景在教材或高考復(fù)習(xí)備考資料中均能找到與其相關(guān)的習(xí)題、例題。平時(shí)訓(xùn) 練既要熟悉以這些材料背景為試題的題型特點(diǎn)，又要?dú)w納整理解題思路。三、立體幾何問題【例3】如圖所示，已知 ABCD是正方形，PD，平面ABCD ,PD=AD=2.(1)求異面直

9、線PC與BD所成的角；(2)在線段 PB上是否存在一點(diǎn) E,使PC,平面 ADE? 若存在，確定E點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由 .命題意圖：立體幾何問題主要考點(diǎn)是底面為四邊形的柱體或錐體或折疊問題，主要考距離、 二面角、線面垂直、平行。重點(diǎn)是處理空間線、面關(guān)系的能力，運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、探究、開放的思想(存在性問題)。從這個(gè)角度來看，變化并不大，題目的難度也不大，屬中檔題的范疇，但是還要關(guān)注立體幾何試題命題的一些變化趨勢(shì)，關(guān)注試題的創(chuàng)新。因此，立體幾何的復(fù)習(xí)探究問題的存在性，解決問題的嘗試性?！痉治黾敖狻?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 D (0, 0, 0),A (2, 0, 0), C (0, 2,

10、0), P (0, 0, 2), B (2, 2, 0),(1) PC =(0,2=2),DB =(2,2,0),cos ： PC, DB =PC DB|PC|DB|42 2 22 PC,DB * 60)異面直線PC與BD所成的角為60要在強(qiáng)化常規(guī)題訓(xùn)練和關(guān)注試題創(chuàng)新這兩個(gè)方面下功夫。本題一道已從解決現(xiàn)成問題發(fā)展為(2)假設(shè)在PB上存在E點(diǎn)，使PC,平ADE,記PE =，PB,PB =(2,2,-2),. PE =(2,2,一2),- E(2- ,2 ,2-2 ),AE = (2九一2,2九,2 2九)，若 PC,平面 ADE ,則有 PCXAE,1即 PC AE =8兒一4=0, . 九=1

11、,E(1,1,1),2存在E點(diǎn)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，PC,平面ADE.評(píng)注：立體幾何的試題考查的核心和熱點(diǎn)仍然是考查空間圖形的線面關(guān)系及幾何量的計(jì)算， 即圍繞平行，垂直， 距離和角的問題進(jìn)行命題設(shè)計(jì)，其中平行和垂直是線面的位置關(guān)系，距 離和角是線面的數(shù)量關(guān)系，在試題設(shè)計(jì)時(shí)，仍然是以正方體，長(zhǎng)方體，棱柱，棱錐為載體， 在解法上，則注意解法的多樣化， 對(duì)于一道立體幾何試題，往往既能用傳統(tǒng)方法求解又能用向量方法求解，有的題目可以用兩種方法結(jié)合求解。有些立體幾何試題，已經(jīng)不是單一的幾何背景，還涉及到解析幾何，方程，不等式，最值，概率等其它數(shù)學(xué)分支，從而考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知 識(shí)和技能的靈活性.四、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

12、的綜合問題2【例 4】已知 f (x) = ln( x 1), g (x) ax bx.(1)若b = 2,且h(x) = f(x1) g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍；(2)若 a =0,b =1 時(shí)，求證 f (x) - g(x) 0對(duì)于xw (-1,收)成立；x V(3)利用(2)的結(jié)論證明：右 0 x(x + y)ln.2命題意圖：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題主要考點(diǎn)是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值、切線、不等式， 重點(diǎn)是三次或含自然對(duì)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值、切線、不等式(主要是恒成立、能 成立或利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題)。屬高檔題的范疇，考查交匯知識(shí)綜合處理能力。解題中 需用到函數(shù)與

13、方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想2【分析及解】(1) b=2日t h(x) =ln x -ax2 -2x11 - ax2 - 2xh (x) =ax-2 , 丫 h(x)有單倜減區(qū)間，h(x)0有解，即 0 , ax +2x10有角軍a之0時(shí)合題意 a0,即 a1, a 的范圍是(一1,收)一.1-x(2)設(shè)中(x) = f (x) - g(x) = ln(x+1) - x , 中(x) =-1 =, - x -1x 1 x 1x(-1,0)0(0尸)(x)+0一邛(x)/最大值當(dāng)x=0時(shí)平(x)有最大值0, 平(x)M0恒成立即 f (x) -g(x) 1 成立(3)0

14、： x : y TOC o 1-5 h z x yx yx yxln x y ln y (xy) ln二 x(ln x ln-) y(ln y ln)2222x2yx y x y= xln y l n =-xln -ylnx y x y2x2yy -xx - y y - x x - y= -xln(1 +-)-yln(1 +-)-x -y -=0 , 求證成立 2x2y2x 2y評(píng)注：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對(duì)函數(shù)問題的命題空間。所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對(duì)函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，

15、反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)， 對(duì)數(shù)函數(shù)等，對(duì)研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，周 期性等，而是把高次多項(xiàng)式函數(shù)， 分式函數(shù)，指數(shù)型，對(duì)數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、 差、積、商都成為命題的對(duì)象， 試題的命制往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，方程等知識(shí)于一體，通過演繹證明，運(yùn)算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的 范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶 藏。通過構(gòu)造函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具，證明不等式，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證 明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)

16、構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。五、圓錐曲線的綜合問題【例5】已知拋物線x2=4y,過定點(diǎn)M o(0,m)(m 0)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).(I)分別過A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求證：這兩條切線的交點(diǎn) P(x0,y0) 在定直線y = m上.(n)當(dāng)m2時(shí)，在拋物線上存在不同的兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l對(duì)稱，弦長(zhǎng)|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用 m表示)，若不存在，請(qǐng)說明理由.命題意圖：圓錐曲線的綜合問題主要考點(diǎn)是雙曲線、拋物線、橢圓相結(jié)合，重點(diǎn)是圓錐曲線 的統(tǒng)一定義，點(diǎn)、弦、面積、取值范圍、定值，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想。 TOC o 1-5

17、 h z 1 21一 【分析及斛】(I)由y = x ,得 y = x,設(shè) A(x1, y1), B(x2,y2)421.一過點(diǎn)A的切線萬程為：y y1 = x1(x -為)，即x1x = 2(y+y1) 2同理求得過點(diǎn)B的切線方程為：x2x = 2(y + y2).直線 pA、PB過 P(x, y), . x1小 =2(y0+y)，x2x0 =2(y+y2)，點(diǎn) A(xi,yi),B(x2, y2)在直線 xx0=2(y0+y)上， .直線 AB 過定點(diǎn) M 0(0,m),0=2(% +m),即 y0 = -m 1 1兩條切線PA、PB的父點(diǎn)P(x, y)在te直線y = m上.(n)設(shè) P

18、(x3, y3),Q(x4, y4)，設(shè)直線 l 的方程為：y = kx + m,則直線PQ的方程為：y = x+n, k1y 二一x n 2 4k x x -4n = 0, TOC o 1-5 h z x2 =4y卜工 44 2 1，x3+x4=-一，x3 x4 = -4n , = ；+16n0kIk， Xq x212設(shè)弦 PQ 的中點(diǎn) G(x5, y5)，則 x5 = - , y5 = - x5 + n = 2 + nkkk HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 22,弦 PQ 的中點(diǎn) G(x5, y5)在直線 l 上，2-+n = k (- ) + m, k2k.2.2- 2-即 n =k (一一)+m = m-2 k k2k2一一i- 4、21代入中，得一+16(m-2-)0= m-2.Ik Jk k|PQ|=11+“+ J J(x3 +4)24x3X411 1-4I X3 - X4 I =16n =16(m-2-k；)=4J+(m_3)J+m_2