計算機(jī)視覺的多視幾何.課件

1、計算機(jī)視覺的多視幾何吳 毅 紅中國科學(xué)院自動化研究所模式識別國家重點(diǎn)實驗室主 要 內(nèi) 容1. 單視幾何（應(yīng)用 單幅圖像測量）2. 兩視幾何（Epipolar Geometry 約束）空間平面與Homography3. 三視幾何（Trifocal Geometry 約束）1. 單視幾何成像平面攝像機(jī)坐標(biāo)系ZXYOMm成像平面O1. 單視測量目標(biāo)、內(nèi)容研究的意義國內(nèi)外研究的現(xiàn)狀算法1. 單視測量從單幅圖像中恢復(fù)場景的全部或部分三維信息運(yùn)用射影幾何理論，探索利用單幅圖像實現(xiàn)場景測量所需的圖像信息以及場景信息，從而實現(xiàn)對場景中距離、面積、體積等的測量目標(biāo)、內(nèi)容1. 單視測量利用超聲波、激光等來測量，很

2、容易受到外界不可預(yù)測反射等因素的影響基于圖像的測量技術(shù)，因其所需的只是場景圖像，所以更靈活、方便、即時、準(zhǔn)確具有非常廣泛的應(yīng)用前景，如法庭取證、交通事故現(xiàn)場的測量、建筑物測量等等很多方面研究的意義1. 單視測量用兩幅或多幅圖像對場景進(jìn)行重建以后進(jìn)行測量的方法以及攝影測量學(xué)的方法有很大的局限性利用單幅圖像對場景進(jìn)行測量，已引起人們的關(guān)注A. Criminisi University of Oxford目前，國內(nèi)外在此方面還沒有系統(tǒng)的研究研究現(xiàn)狀1.單視測量空間平面與其圖像間的關(guān)系可由平面Homography: H 來表示(一個 的矩陣). 一般將空間平面假設(shè)為 即X-Y 平面, 則： 算法成像平

3、面攝像機(jī)坐標(biāo)系ZXYOMmXwYw平面測量1. 單視測量 如果4個空間點(diǎn) 已知，則由它們可線性求解H：算法然后通過將圖像點(diǎn)反投到空間平面，實現(xiàn)空間平面上的測量平面測量距離面積夾角1. 單視測量 已知一個空間平面的homography和此平面法向量方向的一組平行線、某個線段的距離，或已知另一個平面的位置，可測：算法空間測量體積、身高、兩個平面的距離、兩個平面內(nèi)的兩個點(diǎn)之間的距離1. 單視測量算法物體體積的測量結(jié)果：V1 Real volume: 109265.0 cm3 Measured value: 110018.9 cm3 Relative error: 0.69 % V2 Real vol

4、ume: 26826.7 cm3 Measured value: 26628.2 cm3 Relative error: 0.74 %2. 兩視幾何外（對）極幾何（Epipolar geometry）基本矩陣、本質(zhì)矩陣重建景物平面與單應(yīng)矩陣（Homography）主要內(nèi)容2. 兩視幾何外極幾何外極幾何是研究兩幅圖像之間存在的幾何。它和場景結(jié)構(gòu)無關(guān)，只依賴于攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。研究這種幾何可以用在圖像匹配、三維重建方面?；靖拍睿夯€；外極點(diǎn)；外極線；外極平面；基本矩陣；本質(zhì)矩陣2. 兩視幾何外極幾何外極線MmmleelOOmTFm=0基線外極點(diǎn)外極平面對極線基本矩陣，的矩陣2. 兩視幾何基線：連

5、接兩個攝象機(jī)光心 O（O）的直線外極點(diǎn)：基線與像平面的交點(diǎn)外極平面：過基線的平面外極線：對極平面與圖像平面的交線基本矩陣F：對應(yīng)點(diǎn)對之間的約束外極幾何2. 兩視幾何外極幾何世界坐標(biāo)系Ou攝像機(jī)坐標(biāo)系v圖像坐標(biāo)系OR0, t0R, t如果將世界坐標(biāo)系取在第一個攝像機(jī)坐標(biāo)系上，則：R, t基本矩陣 F： 是一秩為2的33矩陣，自由度為 72. 兩視幾何外極幾何對象的數(shù)學(xué)表達(dá)：MmmleelOOmTFm=0外極點(diǎn)：光心：本質(zhì)矩陣 E： 是一秩為2的33矩陣，自由度為 52. 兩視幾何外極幾何對象的數(shù)學(xué)表達(dá)：MmmleelOOmTFm=0外極線：（用法向量表示）對象之間的關(guān)系式：2. 兩視幾何外極幾何

6、MmmleelOOmTFm=0對象之間的關(guān)系式：F不是一個一一對應(yīng)的變換。如果，m，m是一對對應(yīng)點(diǎn)，則：反之，不成立。2. 兩視幾何H是一個 射影變換矩陣 ，投影矩陣對 和 對應(yīng)相同的基本矩陣 ?；揪仃?. 兩視幾何在兩幅圖像之間，基本矩陣將點(diǎn) m 映射為對應(yīng)的對極線，將對極點(diǎn)映射為0。不能提供對應(yīng)點(diǎn)間的一一對應(yīng)。基本矩陣的變換作用MmmleelOOmTFm=0F0F2. 兩視幾何空間中一點(diǎn) 在兩幅圖像上的成像分別為： 極點(diǎn) 極線基本矩陣的代數(shù)推導(dǎo)mmleelCCmTFm=0M因此：2. 兩視幾何基于代數(shù)誤差的線性估計-8、7點(diǎn)算法基于幾何誤差的非線性優(yōu)化基于RANSAC思想的自動估計算法基

7、本矩陣F 的估計方法2. 兩視幾何一對對應(yīng)點(diǎn) ， 之間滿足約束：展開可以得到約束方程為：基本矩陣F 的估計方法8點(diǎn)算法:2. 兩視幾何當(dāng) n=8 時，可以線性求解 f。對于 n 對對應(yīng)的圖像點(diǎn)對可得到 n 個這樣的方程構(gòu)造向量:構(gòu)造矩陣:從而:基本矩陣F 的估計方法8點(diǎn)算法:2. 兩視幾何基于代數(shù)誤差的估計方法是滿足某些約束下使 最小的算法8 點(diǎn)算法：步驟：1) 由對應(yīng)點(diǎn) (n=8) 集構(gòu)造矩陣A；2) 對 A 進(jìn)行奇異值分解 ，由向量 構(gòu)造矩陣F（3）對F進(jìn)行SVD分解 得到基本矩陣的估計基本矩陣F 的估計方法8點(diǎn)算法:2. 兩視幾何8 點(diǎn)算法估計基本矩陣 F 的結(jié)果與圖像點(diǎn)的坐標(biāo)系有關(guān)。當(dāng)

8、圖像數(shù)據(jù)有噪聲，即對應(yīng)點(diǎn)不精確時，由 8 點(diǎn)算法給出的基本矩陣 F 的解精度很低。存在一種規(guī)一化坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系下估計的基本矩陣優(yōu)于其它坐標(biāo)系?；揪仃嘑 的估計方法8點(diǎn)算法:2. 兩視幾何規(guī)一化變換：1) 對圖像點(diǎn)做位移變換，使得圖像的原點(diǎn)位于圖像點(diǎn)集的質(zhì)心；2) 對圖像點(diǎn)做縮放變換，使得圖像點(diǎn)分布在以質(zhì)心為圓心半徑為 的圓內(nèi)?；揪仃嘑 的估計方法8點(diǎn)算法:H規(guī)一化 8 點(diǎn)算法：由對應(yīng)點(diǎn) ，求F 1) 對兩幅圖像分別做規(guī)一化變換 , 得到新的對應(yīng)點(diǎn)集； 2) 有新的對應(yīng)點(diǎn)集和8點(diǎn)算法估計 ； 3）基本矩陣 2. 兩視幾何基本矩陣F 的估計方法8點(diǎn)算法:2. 兩視幾何 如果求解的基本矩陣

9、F 不滿足約束 ，即 那么不存在向量 e 使得 Fe=0，則在圖像中的對極線不交于同一點(diǎn) (對極點(diǎn) e )。由于基本矩陣的秩為 2 ，因此基本矩陣僅具有7個自由度，所以已知7對匹配點(diǎn)便足以確定基本矩陣?；揪仃嘑 的估計方法7點(diǎn)算法:2. 兩視幾何利用SVD分解的方法得到兩個對應(yīng)于系數(shù)矩陣A 的右零空間的基向量 和 的矩陣基 和 ，然后利用det(F)=0性質(zhì)來解出F通解 中的比例因子 ，來確定所要估計的基本矩陣。由于基本矩陣行列式為零所對應(yīng)的約束是一個三次方程，因此最后所可能得到的基本矩陣的解的個數(shù)對應(yīng)于上述三次方程實數(shù)解的個數(shù)，最多可以得到 3 個解?；揪仃嘑 的估計方法7點(diǎn)算法:2.

10、兩視幾何將估計基本矩陣的問題化為數(shù)學(xué)的最優(yōu)化問題，然后使用某種優(yōu)化迭代算法求解. 算法如下：（1）構(gòu)造基于幾何意義的目標(biāo)函數(shù)（2）選取8點(diǎn)算法的結(jié)果作為迭代算法的初始值（3）選取一種迭代方法（L-M方法），迭代求解最小化問題基本矩陣F 的估計方法基于幾何誤差的優(yōu)化:2. 兩視幾何常用準(zhǔn)則：(1)點(diǎn)到對應(yīng)極線距離的平方和 (2)反投影距離基本矩陣F 的估計方法基于幾何誤差的優(yōu)化:構(gòu)造基于幾何意義的目標(biāo)函數(shù)2. 兩視幾何mmleelOO基本矩陣F 的估計方法基于幾何誤差的優(yōu)化:準(zhǔn)則 (1)點(diǎn)到對應(yīng)極線距離的平方和其中 和 是通過一定的方法進(jìn)行射影重建所得到空間點(diǎn)的反投影圖像點(diǎn).2. 兩視幾何準(zhǔn)則

11、(2)反投影距離基本矩陣F 的估計方法基于幾何誤差的優(yōu)化:mmeeOO基于準(zhǔn)則 (2)步驟：1. 由線性算法求出基本矩陣的初始值 ;2. 由對應(yīng)點(diǎn) 和基本矩陣 射影重建得到三維空間點(diǎn)坐標(biāo) ；3. 由三維空間點(diǎn)得到新的圖像點(diǎn)： .2. 兩視幾何基本矩陣F 的估計方法基于幾何誤差的優(yōu)化:2. 兩視幾何例：利用 RANSAC 思想估計直線 給定7點(diǎn)，找最匹配的直線，使有效點(diǎn)到直線的距離小于0.8個單位，找到的點(diǎn)集為 1,2,3,4,5, 6，然后用最小二乘法計算直線方程。x01123234578645910yPOINTX Y12345670 01 12 23 23 34 410 2理想直線基本矩陣F

12、 的估計方法RANSAC估計2. 兩視幾何前面所講的所有的方法都假設(shè)沒有錯誤匹配點(diǎn)(Outliers)。實際處理過程中可能會出現(xiàn)錯誤的匹配點(diǎn)?？梢杂?RANSAC 方法剔除錯誤的匹配點(diǎn)基本思想：1. 通過迭代地隨機(jī)抽取最小點(diǎn)集來找出能夠使得所謂Inliers所占比例最高的最小點(diǎn)集 2.用此最小點(diǎn)集估計的基本矩陣和所識別出的Inliers一起進(jìn)行進(jìn)一步非線性優(yōu)化，從而得到最終的基本矩陣估計值基本矩陣F 的估計方法RANSAC估計2. 兩視幾何 本質(zhì)矩陣 E (Essential Matrix) 由攝像機(jī)的外參數(shù)確定，與攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)無關(guān)。本質(zhì)矩陣 EO攝像機(jī)坐標(biāo)系v圖像像素坐標(biāo)系Ouxymm2.

13、兩視幾何 本質(zhì)矩陣 E當(dāng)攝像機(jī)內(nèi)參數(shù) K 已知時，當(dāng) F 被求出時，重建即要求出 R，t。tR給定一基本矩陣 F，構(gòu)造投影矩陣對 2. 兩視幾何重建 有了投影矩陣和圖像點(diǎn)就可以通過三角化實現(xiàn)重建2. 兩視幾何重建H是一個44的可逆射影變換矩陣，則HH2. 兩視幾何例子 2. 兩視幾何例子概念已知基本矩陣 F 確定單應(yīng)矩陣H已知單應(yīng)矩陣H確定基本矩陣 F無窮遠(yuǎn)平面的單應(yīng)矩陣2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣兩幅圖像上的點(diǎn)如果來自空間的同一個平面，則在它們之間存在一個射影變換，可以用一個33矩陣表示，稱為單應(yīng)矩陣, 記為H。xmmee2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣概念H33建立世界坐標(biāo)系，使得 X

14、-Y 平面為空間平面，即為 平面，則2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣概念若 是空間平面上的點(diǎn)在兩幅圖像上對應(yīng)點(diǎn)對，則存在矩陣H使得s為非零常數(shù)因子，H是一33矩陣，一般可由4對對應(yīng)點(diǎn)求得。2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣概念若兩視點(diǎn)投影矩陣為則空間平面 的單應(yīng)矩陣H可表示為2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣概念2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣由F 確定H給定三對對應(yīng)點(diǎn)：它們對應(yīng)的空間的景物點(diǎn)為：M1，M2，M3則這三個景物點(diǎn)唯一確定了一個空間平面如果F已求出，則這個平面的H也可以求出：e, eH2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣由F 確定Hxmmee一. 由共面的4對對應(yīng)點(diǎn)求得 H二. 由直線 和

15、 確定極點(diǎn)e 三. 由6個點(diǎn)，其中4個點(diǎn)共面，來求解基本矩陣F：2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣由H 確定F當(dāng)空間平面為無窮遠(yuǎn)平面時，對應(yīng)的單應(yīng)矩陣為無窮遠(yuǎn)平面的H：如果H已知后，則可進(jìn)行標(biāo)定、重建。2. 兩視幾何景物平面與單應(yīng)矩陣無窮遠(yuǎn)平面的單應(yīng)矩陣引言點(diǎn)、線關(guān)聯(lián)關(guān)系基本矩陣、投影矩陣3. 三視幾何主要內(nèi)容兩幅圖像之間存在約束：基本矩陣F；三幅圖像之間存在約束：三焦張量T（Trifocal Tensor）；四幅或更多幅圖像之間不存在獨(dú)立的約束，它們可以由F和T生成。3. 三視幾何引言三幅圖像間的獨(dú)立的幾何約束OLOOlll3. 三視幾何兩幅圖像間不能對直線產(chǎn)生約束LOOll引言三焦張量由三個33矩陣T1，T2，T3組成。3. 三視幾何在兩幅圖像之間有約束：在三幅圖像之間有約束：其中，l，l，l為在三幅圖像中對應(yīng)的直線。引言線 - 線 - 線點(diǎn) - 線 - 線點(diǎn) - 線 - 點(diǎn)點(diǎn) - 點(diǎn)- 線點(diǎn) - 點(diǎn) - 點(diǎn)點(diǎn)、線關(guān)聯(lián)關(guān)系3. 三視幾何點(diǎn)、線關(guān)聯(lián)關(guān)系Point line line3. 三視幾何點(diǎn)、線關(guān)聯(lián)關(guān)系Point line point3. 三視幾何點(diǎn)