人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《4.2.1等差數(shù)列的概念（第2課時）》教案

1、4.2.1 等差數(shù)列的概念（2） 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).B.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.C.能用等差數(shù)列的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題.1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的

2、性質(zhì) 2.邏輯推理：等差數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用 4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用等差數(shù)列解決實(shí)際問題 重點(diǎn)： 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)的推導(dǎo) 多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)溫故知新1等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的_的差都等于_，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個_叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母_表示符號語言an1and(d為常數(shù)，nN*)2 ;前一項(xiàng) ;同一個常數(shù) ;常數(shù) ;d 2等差中項(xiàng)(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)(3)滿足的關(guān)系式是ab2A 3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；ana1(n

3、1)d，nN*；4.通項(xiàng)公式的應(yīng)用；二、典例解析例3.某公司購置了一臺價值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價值會減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年 ，它的價值將低于購進(jìn)價值的5%，設(shè)備將報廢.請確定d的范圍.分析：該設(shè)備使用n年后的價值構(gòu)成數(shù)列an，由題意可知，anan1d (n2). 即：anan1d.所以an為公差為d的等差數(shù)列.10年之內(nèi)（含10年），該設(shè)備的價值不小于（2205%=）11萬元；10年后，該設(shè)備的價值需小于11萬元利用an的通項(xiàng)公式列不等式求解解：設(shè)使用n年后，這臺設(shè)備的價值為an萬元

4、，則可得數(shù)列an由已知條件，得anan1d（n2）所以數(shù)列an是一個公差為d的等差數(shù)列.因?yàn)閍1220d，所以an220d(n1)(d)220nd. 由題意，得a1011，a1111. 即：22010d1122011d11解得19d20.9所以，d的求值范圍為19820，解得n475由于nN*，則n10,2019+10-1=2028所以該市在2028年 建住房面積開始大于820萬平方米.例4. 已知等差數(shù)列an 的首項(xiàng)a12，d=8,在an 中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列bn.(1)求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式.(2) b29是不是數(shù)列an 的項(xiàng)？若是，它是

5、an 的第幾項(xiàng)？若不是 ，請說明理由.分析：（1） an是一個確定的數(shù)列，只要把a(bǔ)1 ，a2表示為bn中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)an中的第n項(xiàng)是bn中的第cn項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與cn的關(guān)系式，由此即可判斷b29是否為an的項(xiàng).解：（1）設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d.b1=a1, b5=a2, b5-b1 =a2 -a1=8b5-b1 =4d, 4d =8, d =2,bn=2+(n-1) 2=2n所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn=2n（2）數(shù)列an的各項(xiàng)依次是數(shù)列bn的第1,5,9,13，項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列cn，則cn=4n -3令4n

6、-3=29, 解得:n =8所以， b29是數(shù)列的第8項(xiàng)對于第（2）小題，你還有其他解法嗎？等差數(shù)列的性質(zhì) 如果在一個等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間都插入 k(kN*)個合適的數(shù)，仍然可以構(gòu)成一個新的等差 數(shù)列.例5. 已知數(shù)列an 是等差數(shù)列，p,q,s,tN*,且 p+q=s+t求證:ap+aq=as+at分析：利用等差數(shù)列的中的兩個基本量 a1, d ,再根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出ap，aq，as，at，即可得證.證明：設(shè)數(shù)列an 的公差為d,則ap=a1+(p-1) d,aq=a1+(q-1) d,as=a1+(s-1) d,at=a1+(t-1) d,所以: ap+aq=2a1+(p+q-2)

7、d,as+at=2a1+(s+t-2)d,因?yàn)閜+q=s+t，所以ap+aq=as+at.例5 是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？ 通過上節(jié)課我們知道等差數(shù)列對應(yīng)的點(diǎn)分布在一條直線上，那么你能從直線斜率的角度來解釋這一性質(zhì)嗎？思路：ap-asp-s=at-aqt-qp+q=s+t, p-s=t-qap-as=at-aqap+aq=as+at通過回顧等差數(shù)列的定義及其中項(xiàng)性質(zhì)，提出問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過實(shí)際問題的分析解決，體會等差數(shù)列的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列

8、及其性質(zhì)的理解和運(yùn)用，深化對等差數(shù)列的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解和運(yùn)用，深化對等差數(shù)列的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素三、達(dá)標(biāo)檢測1在等差數(shù)列an中，若a3a5a7a9a11100，則3a9a13的值為()A20B30 C40 D50【答案】Ca3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.2某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計費(fèi)10元如果某人乘坐該市的出租車去

9、往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費(fèi)_元23.2根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一個等差數(shù)列an來計算車費(fèi)令a111.2，表示4 km處的車費(fèi)，公差d1.2，那么當(dāng)出租車行至14 km處時，n11，此時需要支付車費(fèi)a1111.2(111)1.223.2(元)3已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477且ak13，則k_.【答案】18a4a7a103a717，a7eq f(17,3).又a4a5a13a1411a977，a97.故deq f(a9a7,97)eq f(

10、7f(17,3),2)eq f(2,3).aka9(k9)d13，137(k9)eq f(2,3)，k18.4在首項(xiàng)為31，公差為4的等差數(shù)列中，絕對值最小的項(xiàng)是_. 【答案】1可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an354n.則當(dāng)n8時an0；當(dāng)n9時an0.又a83，a91.故絕對值最小的項(xiàng)為a91.5已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù).【答案】法一：設(shè)這三個數(shù)為a，b，c(abc)，則由題意得eq blcrc (avs4alco1(2bac,abc18,a2b2c2116)，解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,b6，,c8.)法二：設(shè)這三個

11、數(shù)為ad，a，ad，由已知得eq blcrc (avs4alco1(adaad18，,ad2a2ad2116， )由得a6，代入得d2，該數(shù)列是遞增的，d2舍去，這三個數(shù)為4,6,8.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1) 應(yīng)用等差數(shù)列解決生活中實(shí)際問題的方法.2) 等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間都插入 k(kN*)個合適的數(shù)，仍然可以構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.3) 等差數(shù)列an，p,q,s,tN*, 若p+q=s+t，則ap+aq=as+at五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。普通高中學(xué)生經(jīng)過一年的高中的學(xué)習(xí)生活，已經(jīng)慢慢習(xí)慣的高中的學(xué)習(xí)氛圍，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，且對數(shù)列的知識有了初步的接觸和認(rèn)