新高考藝術生數(shù)學基礎復習講義 考點27 空間幾何體的外接球（教師版含解析）

1、30/30考點27 空間幾何體的外接球知識理解1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合(2)推導過程：長方體的體對角線就是外接球的直徑秒殺公式：(4)圖示過程秒殺公式：2.漢堡模型(1)使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體(2)推導過程第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長度相等，在該線上中點為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得(3)秒殺公式：(4)圖示過程3.斗笠模型(1)使用范圍：正棱錐或頂點的投影在底面的外心上(2)推導過程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點與外心，該線為空間幾何體的高h第二步：在h上取一點作為球心O

2、第三步：根據(jù)勾股定理(3)秒殺公式：(4)圖示過程4.切瓜模型(1)使用范圍：有兩個平面互相垂直的棱錐(2)推導過程：第一步：分別在兩個互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個外心做兩個垂面的垂線，兩條垂線的交點即為球心O，取BC的中點為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：(3)秒殺公式：(4)圖示過程考向分析考向一 墻角模型【例1】(2021平羅中學高三期末)已知長方體的兩個底面是邊長為的正方形，長方體的一條體對角線與底面成角，則此長方體的外接球表面積為( )ABCD【答案】A【解析】記該長方體為，為該長方體的一條體對角線，其與底面所成角為，因為在長方體中，側(cè)棱底面，則為與底面所成角，即，因為

3、長方體的兩個底面是邊長為的正方形，所以，則，所以，又長方體的外接球直徑等于其體對角線的長，即該長方體外接球的直徑為，所以此長方體的外接球表面積為.故選：A.【舉一反三】1(2020天津靜海區(qū)高三月考)若棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為( )ABCD【答案】A【解析】因為正方體的外接球的直徑，所以棱長為2的正方體外接球的直徑，所以該球的表面積.故選：A.2(2020河南高三月考)已知長方體中，與平面所成角的正弦值為，則該長方體的外接球的表面積為( )ABCD【答案】B【解析】作，垂足為，連接，.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是與平面所成的平面角.又，.所以，解

4、得.故該長方體的體對角線為.設長方體的外接球的半徑為，則，解得.所以該長方體的外接球的表面積為.故選B.3(2020四川瀘州市高三一模)已知四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為( )ABCD【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，其中長方體的長、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長方體的外接球表示同一個球，設四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.考向二 漢堡包模型【例2】(2021陜西西安市高三一模)三棱柱中，棱兩兩垂直，底面是面積為2的等腰直角三角形，若

5、該三棱柱的頂點都在同一個球O的表面上，則球O的表面積為( )A8BCD【答案】C【解析】底面是面積為2的等腰直角三角形，所以直角邊長為2，所以三棱柱可以補充成邊長為2的正方體，其外接球半徑為：，所以球O的表面積為，故選：C【舉一反三】1(2021陜西咸陽市高三一模)在直三棱柱中，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為( )A4B3CD【答案】D【解析】因為，所以將直三棱柱補成長方體，則直三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，設球的半徑為，則，解得，設直三棱柱的高為，則，即，解得，所以直三棱柱的高為，故選：D2(2021山西呂梁市高三一模)四面體中，面，則

6、四面體外接球的表面積為( )ABCD【答案】A【解析】設外接圓的圓心為，四面體外接球的球心為，半徑為連接由正弦定理可得，即，即四面體外接球的表面積為故選：A3(2021山東德州市高三期末)如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，O為對角線與的交點，若，則三棱錐的外接球表面積為_【答案】【解析】取中點，中點，連接，則，因為底面，所以平面，是菱形，則，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四點距離相等，即為三棱錐的外接球球心又，所以，所以，所以三棱錐的外接球表面積為故答案為：考向三 斗笠模型【例3】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為( )ABCD【答案】A

7、【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，=4-R，在Rt中，由勾股定理得，球的表面積，故選A.【舉一反三】1(2020江西吉安市高三其他模擬)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的表面積為( )ABCD【答案】B【解析】如圖示：正四棱錐中，高，底面正方形邊長,設正四棱錐的外接球半徑為，底面正四邊形外接圓半徑為則，由得：，解得：，.故選：B.2(2021安徽蕪湖市高三期末)已知正四棱錐的體積為，側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱錐外接球的表面積為_.【答案】【解析】如下圖所示，設正四棱錐的底面的中心為，連接、，設正四棱錐的底面邊長為

8、，則，由于為正四棱錐的底面的中心，則平面，由于正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，則，所以，是以為直角的等腰直角三角形，同理可知，是以為直角的等腰直角三角形，為的中點，解得，由直角三角形的性質(zhì)可得，即，所以，為正四棱錐外接球的球心，球的半徑為，該球的表面積為.故答案為：.3(2020秦皇島市撫寧區(qū)第一中學)已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是_.【答案】【解析】過點作平面于點，記球心為.在正三棱錐中，底面邊長為6，側(cè)棱長為，.球心到四個頂點的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長，.在中，即，解得，外接球的表面積為.故答案為：.考向四 切瓜模型【例4】(2021江西

9、高三其他模擬)已知三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABC底面BCD，三角形ABC是邊長為3的正三角形，三角形BCD是直角三角形，且BCD=90，CD=2，則此三棱錐外接球的體積等于( )ABC16D32【答案】A【解析】三棱錐中，側(cè)面底面，把該三棱錐放入長方體中，如圖所示；設三棱錐外接球的球心為，取BC的中點M，BD的中點N，三角形ABC的重心G，連接OG，則，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積為故選：A【舉一反三】1(2020內(nèi)蒙古赤峰市高三月考)已知三棱錐中，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為( )ABCD【答案】B【解析】如圖，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點,，為等腰三角形.取的中

10、點，連接，,又 面面，面面，面，面，過點作的平行線，則球心一定在該直線上.設的外接圓的圓心為，,則點在上，連接,由球的性質(zhì)則，平面，則為矩形.在中，,則所以的外接圓的半徑 所以，則 則 所以球的半徑為 所以三棱錐的外接球的表面積為 故選：B2(2020四川瀘州市高三一模)已知三棱錐中，和是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，該三棱錐外接球的表面積為( )ABCD【答案】D【解析】取的中點，連接，則，因為平面平面，所以可證得平面，平面，取的外心，作，則四點共面，取的外心，過點作的平行線交于點，因為垂直平面，則平面，所以點到四點的距離相等，所以點為三棱錐外接球的球心，連接，可求得，所以，所以外接球的

11、表面積為.故選：D.3(2021全國高三專題練習)已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為( )ABCD【答案】D【解析】如圖，由已知可得，與均為等邊三角形，取中點，連接，則，平面平面，則平面，分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，由與均為邊長為的等邊三角形，可得，三棱錐ABCD的外接球的表面積為.故選：D.強化練習1(2020江西高三其他模擬(理)在三棱錐中，則該三棱錐的外接球的表面積為( )ABCD【答案】A【解析】在中，即，又，為等邊三角形根據(jù)題意，有如下示意圖：如圖，設的外接圓的圓心為，連接，連接PH.由題意可得，

12、且，.由上知：且，又，由，平面ABC.設O為三棱錐外接球的球心，連接，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足， ，代入解得，即有，三棱錐外接球的表面積為.故選：A.2(2020四川瀘州市高三一模)已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，且，則該四棱錐外接球的表面積為( )ABCD【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，其中長方體的長、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長方體的外接球表示同一個球，設四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.3(2020四川宜賓市高三一模)已知點P，A，B

13、，C在同一個球的球表面上，PA平面ABC，ABAC，PB=，BC=，PC=，則該球的表面積為( )A6B8C12D16【答案】A【解析】如圖，三棱錐補體在長方體中，三棱錐的外接球就是補體后長方體的外接球，長方體的外接球的直徑 ，即，則該球的表面積.故選：A4(2020廣東廣州市高三月考)在長方體中，點在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為( )ABCD【答案】C【解析】長方體中，平面，平面，又平面，平面，平面，而平面，是正方形，是與交點，即為的中點，也是的中點是直角三角形，設是中點，是中點，則由可得平面(長方體中棱與相交面垂直)，是的外心，三棱錐的外接球球心在直線上(線段或的延長線上)設，

14、則，解得，外接球半徑為，表面積為故選：C5(2020全國高三月考)三棱柱中，平面，則該三棱柱的外接球的體積為( )ABCD【答案】B【解析】如圖，取中點，連交于點， ，為的外接圓圓心，外接圓半徑為,，平面，平面，又，點為三棱柱的外接球球心，外接球半徑，外接球體積.故選：B.6(2020江西贛州市高三)四面體中，底面，則四面體的外接球表面積為( )ABCD【答案】B【解析】如圖，在四面體中，底面，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1其表面積為故選：B7(2021天津濱海新區(qū)高三月考)直三棱柱的所有頂點都在同一球面上，且，則該球的

15、表面積為( )ABCD【答案】A【解析】如圖所示，直三棱柱的所有頂點都在同一球面上，且，可將直三棱柱補成長方體，其中，長方體的對角線，即為球的直徑，則球的半徑為.球的表面積為.故選: A.8(2020江蘇南通市高三期中)正三棱錐中，則該棱錐外接球的表面積為( )ABCD【答案】C【解析】正三棱錐中，,所以,故,同理可得, ,以為棱構(gòu)造正方體，則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，如圖，所以，故球的表面積為,故選：C9(2021安徽宣城市高三期末(文)在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積是( )ABCD【答案】D【解析】如圖所示，取BC中點M，連接AM并延長到N使AM=MN，則四邊形ABNC

16、是兩個等邊三角形組成的菱形，AN=BN=CN，點N是的外接圓圓心，過N作平面ABC的垂線NG，則球心一定在垂線NG上，因為平面，則PA/NG，PA與NG共面，在面內(nèi)作PA的中垂線，交NG于O ，則O是外接球球心，半徑R=OA，中，故，故外接球的表面積.故選:D.10(2020江蘇南京市第二十九中學高三期中)已知直三棱柱的頂點都在球上，且，則此直三棱柱的外接球的表面積是( )ABCD【答案】C【解析】如圖所示：設點為外接圓的圓心，因為，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又直三棱柱的頂點都在球上，所以外接球的半徑為，所以直三棱柱的外接球的表面積是，故選：C11(2021平?jīng)鍪星f浪縣第一中學高三其他

17、模擬(理)已知，平面ABC，若，則四面體PABC的外接球(頂點都在球面上)的體積為( )ABCD【答案】D【解析】取PC的中點O，連接OA，OB，由題意得，又因為，所以平面，所以，在，同理，所以，因此P，A，B，C四點在以O為球心的球面上，在中，在中，球O的半徑，所以球的體積為，故選：D.12(2020甘肅省民樂縣第一中學高三其他模擬(理)在四棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為( )ABCD【答案】D【解析】如圖，取的兩個三等分點、，連接、，設，連接、.則，又，所以，四邊形為平行四邊形，為的中點，所以，由勾股定理可得，則，在中，又，則為等邊三角形，則是的外接圓的圓心.因為，為的中點，又，平面，且

18、.設為三棱錐外接球的球心，連接、，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，設，則，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為.故選：D.13(2021固原市第五中學高三期末(理)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為24，則這個球的體積為_.【答案】【解析】設正方體邊長，正方體外接球的半徑為R，由正方體的表面積為24，所以，則，又，所以，所以外接球的體積為：.故答案為：.14(2021安徽池州市高三期末(理)已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面，則四棱錐的外接球的表面積為_.【答案】【解析】如圖所示：平面，平面，則有，解得，又，構(gòu)造正三棱柱，其上下底面邊長為2，高為2，則其外接球的球心是上下中心連線的中點，設外接球半徑，則，所以外接球的表面積為.故答案為：15(2021吉林四平市高三期末)已知直三棱柱其外接球的體積為_.【答案】【解析】已知AB=AC,三角形為等腰三角形，取M為BC的中點，連接AM,則AMBC,由已知得BC=,又,，再由正弦定理,(r為三角形外接圓半徑)，r=2,設兩底面的外接圓的圓心分別為，外接球球心為的中點，外接球的半徑,所以球的體積為,故答案為：.16(2021河南鄭州市高三一模)已知是球的內(nèi)接三棱錐，則球的表面積