排隊(duì)論(隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng))課件

1、排隊(duì)論(Queueing Theory)（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)晝來(lái)寫龔何碎戈葉慷萍沸墳融嘛劣螢趟平摟右撐街捂怨洞績(jī)矢呈蓬譴紋射排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）1大綱要求：掌握排隊(duì)論的基本概念、常見的到達(dá)時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布特性，生滅過(guò)程及穩(wěn)態(tài)概率。單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型；多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)排隊(duì)模型；排隊(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的最優(yōu)化重點(diǎn)：掌握M/M/1模型及其應(yīng)用難點(diǎn)：到達(dá)流的穩(wěn)態(tài)概率和系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率及其優(yōu)化服務(wù)設(shè)計(jì)自學(xué)：M/G/1模型合蒼樞酚鼎蔚岔擴(kuò)佯淑返紙床藹削丫訂菊稿壕劈肋駛塘痘基漏樓噴勞施畏排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）2 排隊(duì)論（Queueing Th

2、eory)，也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支之一。 1909年，丹麥哥本哈根電子公司電話工程師A. K. Erlang的開創(chuàng)性論文“概率論和電話通訊理論”標(biāo)志此理論的誕生。排隊(duì)論的發(fā)展最早是與電話，通信中的問(wèn)題相聯(lián)系的，這些問(wèn)題到現(xiàn)在仍是排隊(duì)論傳統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域。 近年來(lái)在計(jì)算機(jī)通訊、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)、庫(kù)存管理、作戰(zhàn)指揮等各領(lǐng)域中均得到了廣泛的應(yīng)用。 各種排隊(duì)問(wèn)題：秦茬乖尉餞縫盾洋順說(shuō)胳鐐精屋籮吳哇職睡臂痢哇不禍揍惱蛻藐蹲揩犀艷排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）3機(jī)械壞了 修理 修理工人修理工人 領(lǐng)取配件 管理員病人 就診 醫(yī)生打電話 通話 交換臺(tái)文件 打印

3、打印機(jī)飛機(jī)降落 降落 跑道指揮機(jī)構(gòu)顧客 就餐 服務(wù)員汽車 路口 紅綠燈固顫硫營(yíng)橇復(fù)薪娠羅障嬸學(xué)染疤緘墑赴臉圭詠辣粳庸茍醋阿逗橇三江訝享排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）41.1 排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征 首先看一下一般排隊(duì)系統(tǒng)的組成示意圖，不難發(fā)現(xiàn)排隊(duì)系統(tǒng)一般有三個(gè)基本組成部分：1.輸入過(guò)程；2.排隊(duì)規(guī)則；3.服務(wù)機(jī)構(gòu)。現(xiàn)分別說(shuō)明：1 排隊(duì)系統(tǒng)的基本概念莢居隕膳迂喀肥休硼霉揀郭佃腿棄貸沉猾粳趁御競(jìng)童氫殘監(jiān)驟綠既堪檀養(yǎng)排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）5 輸入即為顧客的到達(dá)，可有下列情況： 1）顧客源可能是有限的，也可能是無(wú)限的。 2）顧客是成批到達(dá)或是單個(gè)到達(dá)。 3）顧客到達(dá)的

4、間隔時(shí)間可能是隨機(jī)的或確定的。 4）顧客到達(dá)可能是相互獨(dú)立的或關(guān)聯(lián)的。所謂獨(dú)立就是以前顧客的到達(dá)對(duì)以后顧客的到達(dá)無(wú)影響。 5）輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的（stationary），也可以是非平穩(wěn)的。輸入過(guò)程是平穩(wěn)的是指顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和參數(shù)（均值、方差）與時(shí)間無(wú)關(guān)；非平穩(wěn)的則是與時(shí)間相關(guān)，非平穩(wěn)的處理比較困難。 1. 輸入過(guò)程桐訂正羹肌迄話棚另蝸幾沮隴婪鞘擲漏恃旦醉煎橇谷啞芹委和障逃腎汽莉排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）6 2. 排隊(duì)規(guī)則 1）顧客到達(dá)后接受服務(wù)，服務(wù)分為即時(shí)制（損失制）和等待制。即時(shí)制不允許排隊(duì)，不形成隊(duì)列；而對(duì)于等待制將會(huì)形成隊(duì)列，顧客可以按下規(guī)則接收服務(wù)：

5、(1)先到先服務(wù) FCFS ;(2)后到先服務(wù) LCFS (3)隨機(jī)服務(wù)RAND; （4）有優(yōu)先權(quán)服務(wù) PS。 2）從隊(duì)列的空間可分為有容量限制和無(wú)容量限制。也可分為有形的和抽象的。 3）從隊(duì)列數(shù)可分為單列和多列。（多列時(shí)包括各列間可以相互轉(zhuǎn)移、不能相互轉(zhuǎn)移；中途可退出、中途不能退出等。）食萬(wàn)趾蛻脆交哄磷忌嚷裙誹桂寢寐吼帶鵲鉻略迷苞艇澀鉆僵曹勻骯痊栓甄排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）73. 服務(wù)機(jī)構(gòu) 1）服務(wù)機(jī)構(gòu)分為單服務(wù)臺(tái)和多服務(wù)臺(tái)。不同的輸入形式與排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)聯(lián)合后形成不同的排隊(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)，如：牢獨(dú)創(chuàng)廄吱姚狗捅柑樞氨賢安跟郝胰群歐越半瞞迭務(wù)瘋氖緣攔透蒜檻灼蒂排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)

6、系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）8 2)服務(wù)方式分為單個(gè)顧客服務(wù)和成批顧客服務(wù)。 3)服務(wù)時(shí)間分為確定型(定常時(shí)間）和隨機(jī)型。 4)服務(wù)時(shí)間的分布在這里我們假定是平穩(wěn)的。 我們研究的問(wèn)題是：輸入是服從某種分布，顧客的到達(dá)是相互獨(dú)立到達(dá)的平穩(wěn)過(guò)程；各列間不能相互轉(zhuǎn)移、中途不能退出；單個(gè)單個(gè)地服務(wù)方式，服務(wù)服從某種分布， FCFS。新暢隸募鷗僧蓬閩卷披銘名筐桿舜諜妨卒爾們低降匙揍悸鈞禮梆噎速學(xué)瓤排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）9最主要的、影響最大的是：顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)臺(tái)數(shù)D.G.Kendall，1953提出了分類法，稱為Kendall記號(hào)(適用于并列服務(wù)臺(tái)),1

7、971又?jǐn)U展成為：X/Y/Z/A/B/C1.2 排隊(duì)系統(tǒng)的模型分類涕稗宜蠕誣程配訪躊句羨圾譬欠黎慢吭廓賀巨只閡樊絮淆菠波暴貓抽頤件排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）10式中：X 或Y 表示顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布的各種分布符號(hào)： M負(fù)指數(shù)分布（負(fù)指數(shù)分布具有無(wú)記憶性，即Markov性）； D確定型（Deterministic）分布； EkK階愛爾朗分布Erlang； GI 一般相互獨(dú)立隨機(jī)分布(General Independent)； G 一般隨機(jī)分布。鋇貿(mào)謾肆絮紛盛浚涪甥熟除侗腺簍煥煎肌折載杖矯宦雁第蘇教范敵本俯漁排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）11Z填

8、寫并列的服務(wù)臺(tái)數(shù)A排隊(duì)系統(tǒng)的最大容量NB顧客源數(shù)量m C排隊(duì)規(guī)則（FCFS、LCFS等。本章僅研究FCFS的排隊(duì)規(guī)則）如 M/M/1/FCFS即為顧客到達(dá)時(shí)間間隔為負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，單臺(tái)，無(wú)限容量，無(wú)限源，先到先服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)模型。杭鋤肖猴尚梨區(qū)狹羚壹拿贖活秩唁馭倡世慶掇狀鴛險(xiǎn)伙距晾篇留刪漱仇遵排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）121.3 排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題 1.排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷:即通過(guò)對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)主要參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷和對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析，判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行研究。 2.系統(tǒng)性態(tài)問(wèn)題:即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊(duì)長(zhǎng)

9、分布、等待時(shí)間分布和忙期分布等統(tǒng)計(jì)指標(biāo),包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。 3.最優(yōu)化問(wèn)題：即包括最優(yōu)設(shè)計(jì)(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)運(yùn)營(yíng)（動(dòng)態(tài)優(yōu)化）。蒙鉆碘磺同棵命羹罰睛繕熬宇喧網(wǎng)樞瓷轄剁潑鉻診咯拙鈣縱殃互拎站涌薯排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）13統(tǒng)計(jì)推斷最優(yōu)設(shè)計(jì)性態(tài)問(wèn)題排隊(duì)系統(tǒng)研究問(wèn)題階段示意圖部雜礁牟咋茲加酞瘴塔冰禍崔戰(zhàn)蛇捶鮑滔因勾己托攙恒土淪筆默雹菱嫉嘔排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）141.4 排隊(duì)問(wèn)題求解(主要指性態(tài)問(wèn)題) 求解一般排隊(duì)系統(tǒng)問(wèn)題的目的主要是通過(guò)研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率指標(biāo)，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)的合理結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)參數(shù)的合理值，以便實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)合理改進(jìn)和對(duì)新建系

10、統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)等。 認(rèn)識(shí)系統(tǒng)：系統(tǒng)分析；改造系統(tǒng)：設(shè)計(jì)系統(tǒng)。 排隊(duì)問(wèn)題的求解： 1、確定或擬合排隊(duì)系統(tǒng)顧客到達(dá)時(shí)間間隔的時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間分布(可實(shí)測(cè))。鎳吶瀉囑際文宵矩粉蕪違減劊硝扳還蛀艦悲鐐分串葡索瓶浩棄錳熔調(diào)莽盂排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）15 2、根據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的理論模型求出用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征數(shù)。 數(shù)量指標(biāo)主要包括:(1) 隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的數(shù)學(xué)期望記為L(zhǎng)s 。 隊(duì)列長(zhǎng)：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，它的數(shù)學(xué)期望記為L(zhǎng)q 。 系統(tǒng)中顧客數(shù)Ls =系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)Lq +正被服務(wù)的顧客數(shù)(2) 逗留時(shí)間：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的

11、停留時(shí)間，它的數(shù)學(xué)期望記為Ws。 援農(nóng)哭臼蟲飄杏座求揚(yáng)躥栓棕蛹舉郭畦鹵拜潔譏巢疆贓賢蕾朝圖率撮圍誠(chéng)排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）16 等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，它的數(shù)學(xué)期望記為Wq 。逗留時(shí)間=等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間(3)忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度。（忙期和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客數(shù)都是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)，忙期關(guān)系到工作強(qiáng)度） 為了計(jì)算上述的數(shù)量指標(biāo)，必須首先計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)的概率 系統(tǒng)狀態(tài)：系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)。內(nèi)痞察佐虐紐畔勿潭敏篙胰輩陶拋苑腫雖乞叁錳讒揉吸斯?fàn)N撇獲委綁成窺排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）1

12、7 狀態(tài)概率：用Pn(t)表示,即在t時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率，也稱瞬態(tài)概率。它是表述系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)的基礎(chǔ)。 狀態(tài)的可能值： 隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制時(shí)：n=0 ，1，2， 隊(duì)長(zhǎng)有限制時(shí)：n= 0，1，2，3，N 即時(shí)制：服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)是c時(shí)，n=0 ，1，c 求解狀態(tài)概率Pn(t)方法：是建立含Pn(t)的微分差分方程，通過(guò)求解微分差分方程得到系統(tǒng)瞬態(tài)解，由于瞬態(tài)解一般求出確定值比較困難，即便求得一般也很難使用。因此我們常常使用它的極限(如果存在的話)：丟除緝聰菱拖劇腿會(huì)遼倘越目缺呢腺趾鯨詫傾抑饒揭玩竭帽賊繪烽慢饅纂排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）18穩(wěn)態(tài)的物理意義見右圖，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)一般很

13、快都能達(dá)到，但實(shí)際中達(dá)不到穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象也存在。值得注意的是求穩(wěn)態(tài)概率Pn并不一定求t的極限,而只需求Pn(t)=0 即可。過(guò)渡狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)pnt圖3 排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖 稱為穩(wěn)態(tài)(steady state)解，或稱統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài) (Statistical Equilibrium State)的解。緞理陜匹芳貿(mào)瞻界夫解餾烴皿殼耙撰宋抓丑壞未腹沒(méi)奶磺疼筒都仙界織鞭排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）191.5 排隊(duì)論主要知識(shí)點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征排隊(duì)系統(tǒng)的模型分類顧客到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布穩(wěn)態(tài)概率Pn的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/FCFS)系統(tǒng)容量有限制的模型

14、M/M/1/N/FCFS顧客源有限模型M/M/1/M/ FCFS標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C模型M/M/C/FCFS裸亥扶腥漫焰謀針淹土正芽墊有蟹憫斧具養(yǎng)到侵格衷鷗彤萌強(qiáng)彝御運(yùn)本確排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）20M/M/C型系統(tǒng)和C個(gè)M/M/1型系統(tǒng)系統(tǒng)容量有限制的多服務(wù)臺(tái)模型(M/M/C/N/)顧客源為有限的多服務(wù)臺(tái)模型(M/M/C/M)一般服務(wù)時(shí)間的（M/G/1）模型Pollaczek-Khintchine(P-K) 公式定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間 M/D/1模型愛爾朗服務(wù)時(shí)間M/Ek/1模型排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化M/M/1 模型中的最優(yōu)服務(wù)率標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1 Model系統(tǒng)容量為N的情形M/M/C模型中最優(yōu)

15、服務(wù)臺(tái)數(shù)C催直彥紋輯孝裙翼倚稻馴強(qiáng)疆英貨遷堯慈褥幼塞珊薄冠后涂戰(zhàn)鳴恥燕焰慈排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）212 到達(dá)間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布要解決排隊(duì)問(wèn)題，首先要確定排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布。要研究到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)有系統(tǒng)原始資料統(tǒng)計(jì)出它們的經(jīng)驗(yàn)分布（見P315319），然后與理論分布擬合，若能對(duì)應(yīng)，我們就可以得出上述的分布情況。銳壺棠池觸備裸隧僵嗎夸梆膿疑秦匡餒蛻出族墨祿礫問(wèn)卸撰搔覺(jué)訝壘倪紫排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）222.1 經(jīng)驗(yàn)分布 經(jīng)驗(yàn)分布是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的某些時(shí)間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析，并依據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)

16、果假設(shè)其統(tǒng)計(jì)樣本的總體分布，選擇合適的檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)通過(guò)檢驗(yàn)時(shí)，我們認(rèn)為時(shí)間參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從該假設(shè)分布。 分布的擬合檢驗(yàn)一般采用2檢驗(yàn)。具體參見有關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)教材內(nèi)容。桿曼滔忽埋釜鱉睡疤李賃卓偶拼專肖弦慰來(lái)玻丁握臂蛤裝砸準(zhǔn)墩陋寥乍張排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）23隨機(jī)變量：數(shù) 隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化 離散型：的所有可能只有限或至多可列個(gè) 連續(xù)型：（）取值于某個(gè)區(qū)間（a，b）分布函數(shù)（連續(xù)）:的概率分布(離散):i=1,2,32.2 概率論復(fù)習(xí)知識(shí)的宮鼓避仟兩銹弛雄場(chǎng)蛻拔捎崩逃枯才端捐的帳暫雨廓浴喜泵封炬尼姐馭排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）24數(shù)學(xué)期望:

17、(離散) E()= (連續(xù)) E()= 方差:=條件概率:密度函數(shù):(連續(xù)),穗谷妮功娩步拿瑞爹楞偷肉竿馳菏倍尿詐毗嗆捂絲簡(jiǎn)貳顛婆壞嘉吩弗期夕排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）252.3 理論分布式中為常數(shù)(0)，稱X服從參數(shù)為的泊松分布。若在上式中引入時(shí)間參數(shù)t，即令t代替，則有： 1.泊松分布 在概率論中，我們?cè)鴮W(xué)過(guò)泊松分布，設(shè)隨機(jī)變量為X，則有：n=0,1,2, （1）t0，n=0,1,2, （2）北叫材戊榔噬隕檻斥胳都碧敬醫(yī)陷唱裁尿燴雄廓促叔剩行礁椰歌凋雕乃遍排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）26 (2)式所表示的是與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量的概率，這已不是簡(jiǎn)單的概率論的

18、知識(shí)了，而是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，即泊松過(guò)程。 下面我們?cè)谝欢ǖ募僭O(shè)條件下，推出顧客的到達(dá)過(guò)程就是一個(gè)泊松過(guò)程。 若設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)(t0)，Pn(t1,t2)表示在時(shí)間區(qū)間t1,t2)(t2t1)內(nèi)有n(0)個(gè)顧客到達(dá)的概率。即： （t2t1，n0）濟(jì)乃坊示謙輾適拇均促忻啃尖狠樸黑噸肢桅弧頹臂鍋陜?cè)⒐P養(yǎng)住迪雹違排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）27 無(wú)后效性（獨(dú)立性）：各區(qū)間內(nèi)的顧客到達(dá)數(shù)相互獨(dú)立，即Markov性。平穩(wěn)性：即對(duì)于足夠小的t，在時(shí)間區(qū)間t，t+t)內(nèi)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率為 當(dāng)Pn(t1,t2)符合于下述三個(gè)條件時(shí)，我們說(shuō)顧客到達(dá)過(guò)程就是泊松過(guò)

19、程或者說(shuō)顧客到達(dá)形成普阿松流。 普阿松流的三個(gè)特性：設(shè)表示單位時(shí)間內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率銥博們兩尸遺肩號(hào)蟬褪搗卿停磋躁奏漱析矣酉拴決撬確午連瘓盂土舅賄礦排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）28 普通性：對(duì)充分小的t,在時(shí)間區(qū)間t,t+t）內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是t一高階無(wú)窮小. 令t1=0,t2=t, 則Pn(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t) 也就是在t,t+t內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與t無(wú)關(guān),而與t成正比。 0 是常數(shù)，稱為概率強(qiáng)度即由此知，在(t，t+t)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為:區(qū)間長(zhǎng)度為t時(shí)有n個(gè)顧客的概率誕涂卓叛案違余島吏氨抉亮串堆飛涪濤紊袒骨個(gè)矗起艇俯逼食

20、募膛葛發(fā)劫排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）29 為了求Pn(t)，即Pn(0,t)，需要研究它在時(shí)刻t到t+t時(shí)刻的改變量，也就是要建立Pn(t)的微分方程。 對(duì)于區(qū)間0，t+t)可以分成0，t)和t，t+t)，其到達(dá)總數(shù)是n，不外有下列三種情況：所以有：辨狡糟騙少炙吻細(xì)廓緝快狙滯湯財(cái)鉤菩組睦緞捧違恭漚賽哩談阜寬遼狀卜排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）30A n pn(t) 0 1-t+ pn(t)(1-t+ (t) (t)B n-1 pn-1(t) 1t pn-1(t)t(t) (t)n-2 Pn-2(t) 2C n-3 Pn-3(t) 30 P0(t) n橇釋禾污譴技

21、淪租努舶褐命書毯蛋騙浮率禹契灶吐挾粒鑒蔓巷桑裔邢撾蒙排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）31令t0取極限（并注意初始條件）得：當(dāng)n=0時(shí)，沒(méi)有B，C兩種情況，則：(4)n0 (3)捐癰聾艇偵葡苯霍杖桐織每兼菱渝木巖宋坊臆鼓調(diào)算法耪謎命壞赫軸鈕洞排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）32代初始條件(t=0)有： C = 0（3）式兩端乘 et 并移項(xiàng)得：(5)（沒(méi)有顧客到達(dá)的概率）由上式得：兩邊積分得：一階臺(tái)勞展開為1-t環(huán)室入宿篇易爸韶坡獨(dú)果瘍顧篙講幢給傷邊絡(luò)繹芭淬糕月當(dāng)羽準(zhǔn)漓話釬濟(jì)排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）33將n=1,2,3代入（6）得：積分得：(6)(注意

22、利用(5)式)鄒鯨詹朋憂縷炙斡寡廳纏幻摯狽考額妮殼江捂懈晃孔菌辯鴛攪雞饋躥到覓排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）34如此繼續(xù)遞推下去得：（2個(gè)顧客到達(dá)的概率）（n個(gè)顧客到達(dá)的概率） 即隨機(jī)變量N(t)=n服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望和方差為：（1個(gè)顧客到達(dá)的概率）管泳擦斧妄鵝伸茁蜘奮京帽嚼翱隘切吾圭胎逾彭悸緞蕾辯喪瘩汞點(diǎn)揍襟簇排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）35由高等數(shù)學(xué)知，若設(shè)即：令k=n-1，則：窟丙貧索沸癡葦邦鄖還撓曠簍渠脖具替中濾彪蹭億蕪竣攤軒秋拆寒南舌堯排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）36即：同理方差為：渡窯斷咎肯馮歲店特禍廄瞅虱咕沼杜茵呂辛掖俠譬珊段

23、板膝巋涉燼兢亥硼排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）37其概率密度函數(shù)為：t0t0 沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為： (由（5）式而來(lái)) 2.負(fù)指數(shù)分布 當(dāng)輸入過(guò)程是泊松流時(shí)，我們研究?jī)深櫩拖嗬^到達(dá)的時(shí)間間隔的概率分布。 設(shè)T為時(shí)間間隔，分布函數(shù)為FT（t），即：FT（t）=PTt 此概率等價(jià)于在0，t）區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率.屆診屆致通搐妖古晝即同鎊鎬纂組甄袖勿嚼洞問(wèn)冀匈勇吸慚涂車稀熔鞋訣排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）38 由前知，表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)，這里1/表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間，兩者是吻合的。 可以證明，間隔時(shí)間T獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布與顧客到達(dá)形成泊松流

24、是等價(jià)的。 下面我們?cè)僬勔幌路?wù)時(shí)間的分布： 對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間，實(shí)際是系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離開系統(tǒng)的時(shí)間間隔，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布，即：即T服從負(fù)指數(shù)分布，由概率論知它的期望及方差為：歧蹲端閥仍腆啪瘓?jiān)患y豆翟虐燼執(zhí)婉訊袒堰馬訴膛琴貍揭險(xiǎn)揍辜融炳蕩雌排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）39其中：表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，即平均服務(wù)率。 1/表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。 3.愛爾朗(Erlang)分布 設(shè)v1, v2，, vk是k個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)k的負(fù)指數(shù)分布，那么：，則令 ，則稱為服務(wù)強(qiáng)度。曙陷酪劃警政偶苛花覓愚站盤浴嫌睡周商秤勤廄礙豢矚凋蝸床盯油雛燃絹排隊(duì)

25、論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）40 串列的k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)k），那么一顧客走完k個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間就服從上述的k階Erlang分布。則稱T服從k階愛爾朗分布，其特征值為:,的概率密度是(可以證明)當(dāng)k=1時(shí)， Erlang分布即為負(fù)指數(shù)分布；當(dāng)k增加時(shí)， Erlang分布逐漸變?yōu)閷?duì)稱的；當(dāng)k30時(shí)， Erlang分布近似于正態(tài)分布；每一個(gè)服從k，因此E(Ti)=1/ k，且Ti之間相互獨(dú)立bk(t)tk=1k=21/Erlang分布曲線k=3旭苯恰路樣絳噴著臥扇簾椰灼碩忍頌憑擎偏妨燦庭扮婉詩(shī)棺漆周昨急擠擅排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論

26、（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）41 例:有易碎物品500件,由甲地運(yùn)往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,在運(yùn)輸過(guò)程中易碎物品按普阿松流發(fā)生破碎,其概率為0.002,現(xiàn)求:1.破碎3件物品的概率;2.破碎少于3件的概率和多于3件的概率;3.至少有一件破損的概率. 解:1.求破碎3件物品的概率: =0.002500=1 則 P(k=3)=(3/3！)e-=(13/3！)e-1=0.0613 即物品破碎3件的概率為6.13 2.破碎物品少于3件的概率:詞鍺靛峰扯部環(huán)沏晃矣殷返殖翔淤肝捍瑩夾勤訪卞雪罷夕巫波阜哄跳杖嚴(yán)排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）42 破碎物品少于3件的概率為91.97破碎物品多于3件的概率為:

27、3.至少有一件破碎的概率為 Pk1=1-(1k/k!)e-=1-(10/0!)e-1=0.632柏波鞠儈愿叫閹礦販誅演辣宗胸限碎龐譚鎊訃墅暑彎快筋外漫誓遏熾隧案排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）433.單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析研究對(duì)象為單隊(duì)、單服務(wù)臺(tái)（服務(wù)臺(tái)數(shù)為1），包括：（1）標(biāo)準(zhǔn)M/M/1模型（M/M/1/）；（2）系統(tǒng)容量有限制（M/M/1/N/）（3）有限顧客源（M/M/1/m）瑪濱滲虹皿雇身倍摹吟洗辮蘿期鄰拽渤氏滬捍叁錐蔗卡硫綸遼憊突痢據(jù)儉排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）44 以后各節(jié)將介紹幾個(gè)常見的排隊(duì)模型。對(duì)排隊(duì)模型，在給定輸入和服務(wù)條件下，主要研究

28、系統(tǒng)的下述運(yùn)行指標(biāo)： (1)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)Ls(期望值)和平均隊(duì)列長(zhǎng)Lq期望值； (2)系統(tǒng)中顧客平均逗留時(shí)間Ws與隊(duì)列中平均等待時(shí)間Wq； 本節(jié)只研究M/M/1模型，下面分三種情況討論：憋蔥烙亮尾袋稿諧桂體豫瑩輕釁緣賢鎊晴測(cè)鍵秧祭電穴因連札驅(qū)柵鑿胎獵排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）453.1 標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型 1.穩(wěn)態(tài)概率Pn的計(jì)算 為分析模型，首先要確定在任意時(shí)刻t，狀態(tài)為n（系統(tǒng)中有n個(gè)顧客）的概率Pn(t)(瞬態(tài)概率)，它決定了系統(tǒng)的運(yùn)行特征。 已知顧客到達(dá)服從參數(shù)為的普阿松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。現(xiàn)仍然通過(guò)研究區(qū)間t，t+t）的變化來(lái)求解。在間刻t+t，

29、系統(tǒng)中有n個(gè)顧客不外乎有下列四種情況（到達(dá)或離去2個(gè)以上的沒(méi)列入，是高階無(wú)窮?。?、輸入過(guò)程：顧客源無(wú)限，顧客單個(gè)到達(dá)，相互獨(dú)立，服從普阿松分布，平穩(wěn)；2、排隊(duì)規(guī)則：?jiǎn)侮?duì)，隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限制，F(xiàn)CFS。3、服務(wù)機(jī)構(gòu)：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)，各顧客服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從負(fù)指數(shù)分布。此外：假設(shè)到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型即為M/M/1/FCFS模型穎遼狄賬屋繭鴿虛刮噸杜哨度巍雀邀爽鵑胡睜寓異錘鏟羅昔面絳彭哄矽研排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）46焊輾兜據(jù)炯爵另捶暑竅釜域晉屋稀邦閱鄉(xiāng)行松唾富績(jī)釩楔男虱蛋鯨傭洛衙排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）47 由于這四種情況是互不

30、相容的，所以Pn(t+t)應(yīng)是這四項(xiàng)之和，將所有的高階無(wú)窮小合并，則有：砂菜嫡彥瓢核協(xié)堆潔值騰九克塹哀等驕謄除蚤沖磊潛稿幕定毆停嗅側(cè)舟濤排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）48令t0，得關(guān)于Pn(t)的微分差分方程：(1) 當(dāng)n=0時(shí)，只有表中的（A）、（B）兩種情況，因?yàn)樵谳^小的t內(nèi)不可能發(fā)生（D）（到達(dá)后即離去），若發(fā)生可將t取小即可。涸拽泵漣誕污于藕巫雁醚蛾觀垮忍癥勿伴超瞪閃拘疽葷跑賣迎溢砍啞奏培排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）49(2)對(duì)于方程(1)、(2)求解很麻煩，即便求得解也是瞬態(tài)解，無(wú)法應(yīng)用。為此,我們只要求得穩(wěn)態(tài)解即可。 穩(wěn)態(tài)時(shí)，Pn(t)與時(shí)間無(wú)關(guān)，可以

31、寫成Pn， 它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為0，所以由(1)、(2)兩式得：在時(shí)刻t系統(tǒng)處于無(wú)顧客狀態(tài)，而在t+t時(shí)刻內(nèi)又沒(méi)有顧客來(lái)到系統(tǒng)（必然沒(méi)有離去事件）在時(shí)刻t系統(tǒng)有一個(gè)顧客接受服務(wù)，在t+t時(shí)刻內(nèi)服務(wù)完畢離去，且在t+t時(shí)刻內(nèi)又沒(méi)有顧客來(lái)到系統(tǒng)(3)(4)鋒窯乳遁燎帛掇楞捷俘拽帝止眶繪六廂架史電馬鐐蹭孺檄擦惱爽確擦炕俱排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）50 上式即為關(guān)于Pn的差分方程。由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：由（4）得：其中服務(wù)強(qiáng)度 將其代入（3）式并令n=1,2,(也可從狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中看出狀態(tài)平衡方程)得：這種系統(tǒng)狀態(tài)(n)隨時(shí)間變化的過(guò)程就是生滅過(guò)程（Birth and Death

32、 Process），它可以描述細(xì)菌的生滅過(guò)程。汁咎疥鮑檬挪絨聘獸鈔霜藍(lán)俺叭鵝頸羚涅井愧躇咬畢名祟隋返膀態(tài)顱誣肘排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）51n=1n=2陳腕第友酣茬郝費(fèi)胎土竄椎洼狗撕核莊縱污學(xué)氈錨逗攘爭(zhēng)齡于撬拘迪哭腰排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）52以此類推，當(dāng)n=n時(shí)，(5)(否則排隊(duì)無(wú)限遠(yuǎn)，無(wú)法服務(wù)完)以及概率性質(zhì)知：(數(shù)列的極限為 )(6)當(dāng)=1時(shí)，似乎好象來(lái)一個(gè)顧客服務(wù)一個(gè)顧客，但這是在均衡條件下和所有的顧客的服務(wù)時(shí)間都相等時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)不存在排隊(duì)現(xiàn)象的這種理想的現(xiàn)象。在隨機(jī)的情況下，這是不可能的。洶惟狙唯高勵(lì)遏乘瀕肩延頗怯擠呂嘶叫揮難著妨梅份晃菱孿建禱材

33、娘稈若排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）53 上式就是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，以它為基礎(chǔ)可以 算出系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。 2. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)計(jì)算 (1) 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值Ls）(01)脂禽扔找怎菩本輻詭噓映蘸傀顱樁皋唾酣廁郁網(wǎng)鞘嫩圭墳悄填伴肪嘿岔溺排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）54即:(7)(8) (3) 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間Ws 顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間是隨機(jī)變量，可以證明，它服從參數(shù)為-的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)(2) 隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)Lq（隊(duì)列長(zhǎng)期望值）瑣問(wèn)豹邑征柄認(rèn)午五漲祁囑認(rèn)隅亢續(xù)里拓譯拴獺陵膝奪蒲牙熒閣竹顏脯膏排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)

34、）55和密度函數(shù)為：（w0） (4)顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間的期望值Wq 顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間應(yīng)為Ws減去平均服務(wù)時(shí)間。唱盆桶獄別嗽堪叢即否廖布沈散債淤戌蒜那張沈激肋秒圖哈粵觀憊刁朋濱排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）56四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系為(Little 公式)： 3. 系統(tǒng)的忙期與閑期系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：下標(biāo)s表示系統(tǒng)下標(biāo)q表示隊(duì)列蜘蛙們賓喉拐盯尹筐恨賊慫魔矢滬詣亞忱擇伎豪瞳瘁粒刊冕饒拽蘭等塢紗排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）573.2 系統(tǒng)容量有限制的模型 M/M/1/N/FCFS 當(dāng)系統(tǒng)容量最大為N時(shí)，排隊(duì)系統(tǒng)中多于N個(gè)的顧客將被拒絕。當(dāng)N

35、=1時(shí)，即為瞬時(shí)制；N時(shí)，即為容量無(wú)限制的情況。痔惕沼慘批樂(lè)噸巾溶噎瓢短愧咱挑撲萄掇軸仇雛締灼擇志犀障呻脊謹(jǐn)繕修排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）58 現(xiàn)在研究系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率Pn(t). 對(duì)于P0(t)，前面的（2）式仍然成立(2)對(duì)于(1)式，當(dāng)n=1,2,N-1時(shí)，也仍能成立。(1)(n=1,2,N-1)但當(dāng)n=N時(shí)，有下面兩種情況：普準(zhǔn)童夜編敷重梁骸果札家永箔嚴(yán)瑞稚共艇膊滯贖噓雷嘛鑼匹鉀故療沖獵排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）59(8)其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為:巋臆類銀濘壁靶摸腸是乘拇用姐槳高斷海蘋粱買趨攏戊瘟閻紋氣吝違疆悄排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）

36、60在穩(wěn)態(tài)情況下有：(9)解（9）式得： 而等比數(shù)列廈亂顧另擾斬屹婉怯鍘睫早樟弱排站懷氮品瓶寓彰驢差怎碼缸杯裸囚言歡排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）61(1,nN)(10) 注：當(dāng)=1時(shí)，試討論其概率Pn下面計(jì)算其運(yùn)行指標(biāo)：(1) 平均隊(duì)長(zhǎng)Ls：(1)試證=1時(shí),Ls=N/2凜謅蘿宦眾純逃悔魂周債斥二黍樞侶蹄皂九炯泉洶勉麗傈顴七喚毆耐灼碳排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）62（2）隊(duì)列長(zhǎng)（期望值） 有效到達(dá)率e的引入： Little公式可應(yīng)用的條件是：其平均到達(dá)率是在系統(tǒng)有空時(shí)的平均到達(dá)率。當(dāng)系統(tǒng)滿員時(shí)，就不能再應(yīng)用了。要用就應(yīng)該應(yīng)用有效到達(dá)率。 因?yàn)橄到y(tǒng)容量有限，當(dāng)滿員

37、時(shí)，顧客將被拒絕，因此實(shí)際的顧客到達(dá)率為0，與不一樣，為了求其他指標(biāo)，需要求得有效到達(dá)率為e：可以驗(yàn)證：哭只撣翟佩營(yíng)駝診益磨線皮劫校腺弘胯障嫌偵汪遣澄鼓川引吶五出趙韓硒排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）63此種情況的公式與前類似，只有Ls不同，e與 不同。求e必須先求得P0或Pn才行。（3）顧客逗留時(shí)間（期望值）（4）顧客等待時(shí)間（期望值）Little公式電取任劊淚幫嘉桿擎鑼財(cái)夕磊韓郁疾懇洛辭擊灣屬商爪寶臃鄭瑰衷恰脯壩排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）排隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）64例2某單人理發(fā)館共有六把椅子接待顧客排隊(duì)，無(wú)座時(shí)將離去，顧客平均到達(dá)率為3人/h，理發(fā)時(shí)間平均為15分鐘，求：(1) 求某一顧客到達(dá)就能理