非線性微分方程和穩(wěn)定性

1、第六章非線性微分方程和穩(wěn)定性例6-1試確定下列線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及其類型，求出它的平面軌線族，并做出相圖。1)dxdy出dx)dtdy dt-5xdx dt dy ,dtdx=-3x - 2 y dtdy = 2x + y.dt解1)因?yàn)?1原點(diǎn)(0,0用系統(tǒng)唯一的奇點(diǎn)。特征根為土 i，該奇點(diǎn)是中心型奇點(diǎn)。將原方程組化為dy dx易求得平面軌線族方程為是如圖6-1所以易知原方程組的相軌線是以原點(diǎn)為中心的圓周，它在xoy平面上的相圖所示的同心圓族。圖6-12)原點(diǎn)0(0,0)為系統(tǒng)的唯一奇點(diǎn)，特征方程為6 入1-5.=(X-1p-5)=0, X特征根九1 =1,九2 =5為同號(hào)相異實(shí)根且均大于零，奇

2、點(diǎn)0(0,0)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。將系統(tǒng)改寫為dy - 5xdx 6x y這是齊次方程，可以得通解，即得系統(tǒng)的平面軌線族為C(x + y)5 =5x + y , (C為任意常數(shù)且可以取1*C0 )?，F(xiàn)考慮軌線在相平面的圖象。從上面所求軌線方程易知方程組有兩個(gè)直線解為y = -x 和 y = -5x ,我們?nèi)菀浊蟮梅匠探M的通解(解法見(jiàn)第五章)為r_ t _ 5tx(t) =C1et 十C2e_ t _ 5t、y(t) = 5C1e -C2et - 5t則有 y(t)= - 5cle x(t) GeC?e4t-5ci - C2ey(t)4t ,可見(jiàn)上CiCzex(t)-5,當(dāng)tT 6,說(shuō)明除過(guò)軌線y =

3、-x ,其它軌線當(dāng)tT -0c時(shí)，切著軌線y =-5x進(jìn)入原點(diǎn)(奇點(diǎn))。在xoy平面上的相圖如圖6-2。,原方程組變?yōu)槌霰?dt(1)則0(0,0訥(1)的奇點(diǎn)，特征方程為-1 - -32=3二0_1 _、11i特征根 九12 二是一對(duì)共軻復(fù)根，實(shí)部為2由(1)得dn_ -32dl - I n1-,奇點(diǎn)0(0,0)為(1)穩(wěn)定焦點(diǎn)。這是齊次方程，易求得通解才-3 3 3 = C exparctan2 ”二v11311代回原變量，原系統(tǒng)的平面軌線族為y -32 -x y -3 3x2=Cexp2 2y-x-6arctan11. 11x在xoy平面上的相 圖如圖6-3。圖6-34)此系統(tǒng)唯一的奇點(diǎn)

4、為O(0,0 ),對(duì)應(yīng)的特征方程是特征根%=% = -1是二重根，且容易計(jì)算得兒=?、2 = -1的初等因子次數(shù)為 2,故奇點(diǎn)0（0,0尾穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)。將系統(tǒng)改寫為dy2x ydx3x 2y這是齊次方程，可以得通解，即得系統(tǒng)的平面軌線族為x（x+y）2=Cex七，（C占0為任意常數(shù)）。顯然直線x+y =0是原系統(tǒng)的軌線，且在x軸正半軸上任取一點(diǎn) （x,0）,在該點(diǎn)處dy =2x 0,因此，軌線從第四象限穿過(guò)x軸指向第一象限，相圖 如圖6-4。dt如圖6-4。評(píng)注：本例題給出了平面線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類型的典型代表。判斷奇點(diǎn)的類型可利用定理6.1 ;求解平面軌線族需要用第二章或第五章的求解方法；而要畫

5、出軌線圖就得熟悉各類奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線的結(jié)構(gòu)。比如，結(jié)點(diǎn)鄰域內(nèi)有兩對(duì)進(jìn)入（或遠(yuǎn)離）它的直線軌線，其中有一對(duì)軌線，有無(wú)數(shù)多條軌線沿（切）著這對(duì)軌線的方向進(jìn)入（或遠(yuǎn)離）此結(jié)點(diǎn)，在具體作圖時(shí)就需區(qū)分這兩對(duì)直線軌線；焦點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線不可能切著某一固定方向進(jìn)入（或遠(yuǎn)離）此焦點(diǎn)；臨界結(jié)點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線沿各自不同的方向進(jìn)入此奇點(diǎn)，而退化結(jié)點(diǎn)鄰域內(nèi)的軌線沿同一方向進(jìn) 入此奇點(diǎn)。dx=y例6-2確定系統(tǒng)出的奇點(diǎn)及類型。dy=a1-x2y-bx a 0,b 0, a2= 4bdt解將系統(tǒng)寫為dx 、，,、=y+X(x,y)dy=ay - bx Y x, y dt可考慮它的一次近似系統(tǒng)其中X(x,y )=0,Y(x,y)=a

6、x2y,滿足定理6.2的條件,dx二ydy .一二-bx aydt0(0,0是原系統(tǒng)及(1)唯一的奇點(diǎn)，特征方程為九 12a%+b=0,b a 九a 二，a2 - 4b特征根為 % 2 =。2當(dāng)a2 a 4b時(shí)，兩特征根 九1, %相異，并且都大于0,奇點(diǎn)0(0,0訪原系統(tǒng)的不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；當(dāng)a2 4b時(shí)，兩特征根 %,12為一對(duì)共軻復(fù)根，奇點(diǎn) 0(0,0 )為原系統(tǒng)的不穩(wěn)定焦點(diǎn)。評(píng)注：應(yīng)用定理6.2,借助于線性近似系統(tǒng)來(lái)研究非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型，注意參數(shù)的 變化對(duì)奇點(diǎn)類型的影響。例6-3舉例說(shuō)明線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)是中心時(shí)，加上非線性項(xiàng)后，奇點(diǎn)類型可能會(huì)發(fā)生改 變。dx,2.2.y y(x y )解1

7、)系統(tǒng)dt有奇點(diǎn)為0(0,0)。dy,2.2出=x -x(x y )作極坐標(biāo)變換，原系統(tǒng)可化為dr=0( dt ,電一1.r2dt可見(jiàn)，當(dāng) tT 時(shí)，r = C ,且8T (0 C 1),即在0(0,0)點(diǎn)外圍的軌線均為圓+ y2 =C2,且只要半徑C 1 ,軌線均沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。這個(gè)例子說(shuō)明加上非線性項(xiàng)后奇點(diǎn)0(0,0)仍為中心。dx2)系統(tǒng)一=-y -x x dt,dy2 32二=xyjx +yl dt22y有奇點(diǎn)為0(0,0)。dr 2一 =-r作極坐標(biāo)變換，原系統(tǒng)可化為d dt ,從而解得業(yè);1dt 1r =，口 - *0) t,tr(0)可見(jiàn)，當(dāng)tT +2時(shí)，6T收，T統(tǒng)奇點(diǎn)0(0

8、,0)是中心，加上非線性項(xiàng)后奇點(diǎn)0(0,0)變?yōu)榉€(wěn)定焦點(diǎn)，這種奇點(diǎn)我們稱為細(xì)焦3)系統(tǒng)=.y+- dtx(x2y2)k sinx2 y222x2 y2 = 00,dydt,2 ,2、k冗y(xy ) sin22x y:00 ,即0(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。這個(gè)例子說(shuō)明線性系有奇點(diǎn)為0(0,0),其中k為正整數(shù)。作極坐標(biāo)變換，原系統(tǒng)可化為dr 2k 1 二一 =r sin dt，空-1.出一11容易看出，沿r = ndr 八 10, 一dt 2n -11 0,使當(dāng)| x0I & e)的解X = x(t；tO , x0 )都在t之t0有定義，并且當(dāng)t之t0時(shí)，|x(t;t。，/ b0,只要|x 0I

9、心，都有l(wèi)im x(t;t, x )= 0 ,這 t時(shí)稱x三0是漸近穩(wěn)定的。dt例如，方程組 dtdy=xEt的相軌線是以原點(diǎn)為中心的圓周x2 +y2 =C2,所以其零解是穩(wěn)定的但非漸近穩(wěn)定。評(píng)注：注意穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的關(guān)系，漸近穩(wěn)定必穩(wěn)定，反之不然。例6-5對(duì)于方程組dx=-xydtdy24二一y xdt y1）求出它的所有軌線；2）求出它的全部解，并確定它們的存在區(qū)間;3）討論零解x =0, y =0的穩(wěn)定性。解i）原方程組可以化為24dy _ -y +x dx- xy/2令z = y ,可化為線性萬(wàn)程dz 2c 3=z 2x , dx x易求得通解為224y =C1x -xC1 _ 0這就

10、是原方程組的軌線族。2）將y = 土Jgx2 x4，代入方程組第一式得二x.Cix2 一x4這是分離變量方程，則dx2 丁r十出， xC1 xx兩邊積分得x = +VCiCi2 C2 .t2 1 那么_ 2 _y = _62-。Ci2 C2 -t2 1 是原方程組的通解為C C2 .t 2 iCi2(C2 -t) y -22C12 c2 .t 1其中C13)A0,C2為任意常數(shù)，它們的存在區(qū)間都是（-8,+B）。定。由2）知，當(dāng)tT +%時(shí)，x（t卜？ 0, y（tZ 0，由此易知零解x = 0,y = 0漸近穩(wěn)評(píng)注：正確區(qū)別軌線與解的意義。一次近似系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為零矩陣，無(wú)法用一次近似系統(tǒng)來(lái)

11、研究穩(wěn)定性。 此例是通過(guò)求出方程組的通解來(lái)判斷穩(wěn)定性的，這也是研究穩(wěn)定性的方 法。例6-6求證dx =+ x2的一次近似方程 吃=-的零解是漸近穩(wěn)定的，而原dt i tdt i t方程的零解是不穩(wěn)定的。證先證一次近似方程dx _ xdt 一 1 t零解是漸近穩(wěn)定的。易求出它的通解為x(t)=滿足初始條件x（0 ） = x0的解為對(duì)任給白0 EA0,取5 = 6,當(dāng)x0 0時(shí)，有x（t）T含卜泡 3所以一次近似方程零解是漸近穩(wěn)定的。再證明原方程dx x 2一二x的零解是不穩(wěn)定的。因?yàn)樗瞧扰匠蹋浊蟮猛ń鈞(t) =；r ,1 t C -ln1 t滿足初始條件x(0) = x0的解為xt;0

12、,x =1(1 +tln 1 +t1%對(duì) x0 3 ,I1 rr -當(dāng)In 1 +t =，即tx1= 6x0 1時(shí)，解x(t；0,x0比意義，所以原方程的零解是不穩(wěn)定的。評(píng)注：定理6.2中的一次近似系統(tǒng)是常系數(shù)的，而這里的一次近似系統(tǒng)是非自治的(是t函數(shù))，因此，不能用定理 6.2。例6-7討論方程組dxdt的零解的穩(wěn)定性。22. dV .22解選取th正函數(shù) V(x, y)=x +y ,則=2a(x +y ), dtdV .1)當(dāng)ot ,因?yàn)? 2x X3 2x Sin x y ) x y!2m0三 型m0”一其中r2所以由定理2)|2mo-2y Y2-2y In 1 y)y 122=x + y 。r充分小時(shí)2xX3y22yY2 卜：:x2 y2dVdt(x + y)2+|(x2+y2 ),6.6知dV是定正函數(shù)，而V是變號(hào)函數(shù)，所以方程組的零解是不穩(wěn)定的。 dt- 22- 2 一、=2x +y +3z是定正的，而dVdt4x y _3x-x(y-2zj 】+2yL2x+3z- y(x + z j +6z2x yziI 2 J=-2