公務(wù)員行測(cè)考試容斥問(wèn)題速解寶典題集

1、公務(wù)員行測(cè)考試容斥問(wèn)題速解寶典題集一、兩集合類(lèi)型.解題技巧題目中所涉及事物屬于兩集合時(shí)，容斥原理適用于條件與問(wèn)題都可以直接帶入公式題目，如下：AUB=A+B-A AB快速解題：總數(shù)二兩集合之和+兩集合之外數(shù)-兩集合公共數(shù)。.真題示例【例1】現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理，化學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果物理實(shí)驗(yàn)做正確的有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做正確的有31人，兩種實(shí)驗(yàn)都錯(cuò)的有 4人，則兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)有：A27人B25人C19人D10人【解析】B。50=31+40+4-AAB,得 A AB=25。二、三集合類(lèi)型.解題步驟解題步驟分三步：畫(huà)文氏圖；弄清圖形中每一部分所代表含義；代入公式(AUBUC=A+B+C-A AB-A AC

2、-B AC+A ABAC)進(jìn)行求解。.解題技巧解題技巧主要包括一個(gè)計(jì)算公式和文氏圖?？倲?shù)=各集合數(shù)之和-兩集合數(shù)之和+三集合公共數(shù)+三集合之外數(shù).真題示例【例2】某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加會(huì)計(jì)師考試的有63人,準(zhǔn)備參加英語(yǔ)六級(jí)考試的有 89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參加的有46人，不參加任何一種考試的有15人。問(wèn)接受調(diào)查問(wèn)卷的學(xué)生共有多少人？【解析】Ao填充三個(gè)集合公共部分?jǐn)?shù)字 24;根據(jù)每個(gè)區(qū)域含義應(yīng)用公式：總數(shù)=各集合之和-兩兩集合數(shù)之和+三集合公共數(shù)+三集合之外數(shù)=63+89+47-(x+24)+(

3、z+24)+(y+24)+24+15=199-(x+y+z)+24+24+24 +24+15 。x+y+z 只屬于兩集合數(shù)之和，該題所講只選擇兩種考試參加人數(shù)，所以 x+y+z值為46人；得本題答案為120?！纠?】對(duì)某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中 58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看又劇的有 16人，三種都喜歡看的有 12人，則只喜歡看電影的有多少人？人人人人【解析】A?？倲?shù)=各集合之和-兩兩集合數(shù)之和+三集合公共數(shù)+三集合之外數(shù)。100=58+38+52-18+16+(12+x

4、) +12+0 ,該題沒(méi)有三種都不喜歡的，所以三集合之外數(shù)為0,解方程得：x=14 。 52=x+12+4+y=14+12+4+y,得到 y=22 人。一、工具的應(yīng)用容斥問(wèn)題研究的是集合與集合之間關(guān)系，對(duì)應(yīng)于不同的題型，我們往往要選擇不同的工具展示題目中的關(guān)系，簡(jiǎn)化分析過(guò)程。題型不同時(shí)要借助的工具也不一樣。普通二者或三者容斥借助文氏圖分析；四者容斥往往借助表格；而一些有比較或排序類(lèi)的容斥題目往往借助線段?？忌獏^(qū)分不同題型、考點(diǎn)，明確做題工具。二、結(jié)論的不同不同題型不但解題工具不同，結(jié)論、公式也是不同的。普通的二者和三者容斥考生往往都比較熟悉，下面幾個(gè)特殊容斥的題目一樣值得考生注意：1、四者容

5、斥例：有 100 件襯衫， 其中白色和黑色的各 50% ， 大號(hào)有 25% ，小號(hào)占 75% ， 白色大號(hào)的有10 件，請(qǐng)問(wèn)黑色小號(hào)的有幾件?中公分析：這是一道四者容斥的題目，用表格法解決。依據(jù)比例將白色、黑色襯衣的件數(shù)和大小號(hào)襯衣的件數(shù)寫(xiě)在表格最右列和最下行。大號(hào)白色10 件，標(biāo)在大號(hào)一列和白色一行的交叉格中，如下表所示：則大號(hào)黑色有25-10=15 件，小號(hào)黑色有50-15=35 件?？偨Y(jié)：四者容斥的題目一般都是描述某一事務(wù)在兩個(gè)不同方面的四個(gè)不同屬性。利用表格可以快速解題。2、容斥全極值N 者容斥問(wèn) N 者重合部分的最值即為容斥全極值問(wèn)題?？荚嚭苌倏甲畲笾?，一般都是問(wèn) N 者重合部分最小

6、的時(shí)候，直接利用結(jié)論做： N 者極值 =N 個(gè)大集合的和減去(N-1) 個(gè)全集。例：某班有100 人，其中語(yǔ)文好的有80 人，數(shù)學(xué)好的有78 人，英語(yǔ)好的有82 人，請(qǐng)問(wèn)三個(gè)科目都好的至少有幾人 ?中公分析：此題屬于三者全極值的問(wèn)題，帶入公式：80+78+82-100 X2=40 。即三個(gè)科目都好的人至少 40 人。3、三者容斥二者最多三者容斥求其中二者重復(fù)部分最多，直接三個(gè)大集合之和除以2 ，求整數(shù)部分。例：某班有100 人，其中語(yǔ)文好的有40 人，數(shù)學(xué)好的有32 人，英語(yǔ)好的有48 人，請(qǐng)問(wèn)其中只有兩科好的至多有幾人 ?中公分析：三者容斥求二者最多，可以直接計(jì)算：(40+32+48) +2

7、=60人。以上是中公教育專(zhuān)家總結(jié)的幾種可能考查容斥問(wèn)題的特殊題型，因?yàn)槠渑c常規(guī)題目的差異性，考生如若沒(méi)能掌握正確的思路則很難做對(duì)。以上題目所體現(xiàn)的思想，希望考生好好體會(huì)，力爭(zhēng)在考場(chǎng)上遇到 這類(lèi)題目時(shí)能快速準(zhǔn)確地求解。. 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)容斥原理:容斥原理是指計(jì)數(shù)時(shí)先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去。容斥問(wèn)題主要分為：兩者容斥問(wèn)題、三者容斥問(wèn)題。如何解決容斥問(wèn)題：利用文氏圖（劃圈法） 。兩者容斥問(wèn)題解決兩者容斥問(wèn)題的方法：如果被計(jì)數(shù)的事物有A 、 B 兩類(lèi)，那么，先把A 、 B 兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，然后減掉重復(fù)計(jì)算的部分。簡(jiǎn)記：元素的總個(gè)

8、數(shù)= 大圈 - 中圈 （A 、 B 為大圈， x 為中圈 ）方法核心：讓每個(gè)重疊區(qū)域變?yōu)橐粚印?TOC o 1-5 h z （x 為重疊區(qū)域）例： 班級(jí)一共有240 人， 每個(gè)人必須至少有一門(mén)是好的， 已知行測(cè)好的是160 人， 申論好的是120人，問(wèn)既行測(cè)好又申論好的有多少人 ?（x 為既行測(cè)好又申論好的人）中公解析：首先我們只需把行測(cè)好、申論好的分別看成集合，然后用文氏圖表示出來(lái)，其中 x 為重疊區(qū)域，我們需將其變?yōu)閱螌印?160+120-x=240 ，解得 x=40 。三者容斥問(wèn)題解決三者解決容斥問(wèn)題的方法：如果被計(jì)數(shù)的事物有A 、 B 、 C 三類(lèi)，那么，先把A 、 B 、 C 三個(gè)集

9、合的元素個(gè)數(shù)相加，然后減掉重復(fù)計(jì)算的部分。（1 、 2 、 3 、 x 均為重疊區(qū)域 ）簡(jiǎn)記： 元素的總個(gè)數(shù)= 大圈 - 中圈 + 數(shù)小圈（大圈指三類(lèi)元素的個(gè)數(shù)和，中圈指題目中所給重疊區(qū)域 （1 、2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x），小圈為三層重疊區(qū)域x,利用此公式，我們只需數(shù)小圈即可。方法核心：讓每個(gè)重疊區(qū)域變?yōu)橐粚印?TOC o 1-5 h z 例：有 140 人，每個(gè)人都至少喜歡一種花，已知喜歡玫瑰花的有80 人，喜歡牡丹花的有70 人，喜歡百合花的有60 人，則分別在以下三種條件下，三種花都喜歡的有多少人?(1)喜歡玫瑰和牡丹的有30 人，喜歡玫瑰和百合的有40 人，喜歡

10、牡丹和百合的有50 人 ;(2)只喜歡兩種花的有40 人 ;(3)至少喜歡兩種花的有50 人。中公解析：首先分析三個(gè)條件中重疊區(qū)域是哪部分，利用元素的總個(gè)數(shù)= 大圈 - 中圈 + 數(shù)小圈，則大圈 =80+70+60， 中圈 =30+40+50， 其中大圈中 x 被加了三次， 減中圈時(shí) x 被減了三次， 還需加一次x ，故，解得 x=50 。 (2) 大圈 =80+70+60 ，中圈 =40 ，其中大圈中 x 被加了三次，減中圈時(shí)x 一次也沒(méi)有被減，因此需減 2x,故，解得x=15。大圈=80+70+60,中圈=50 ,其中大圈中x被加了三次，減中圈時(shí) x 被減了一次，因此需再減一次x ，故，解

11、得 x=20 ?？偨Y(jié)：解決容斥問(wèn)題，最重要的就是要分清題干中所給的重疊區(qū)域，然后從三層區(qū)域入手 (小圈 )將 重疊區(qū)域變?yōu)橐粚?。容斥中的極值問(wèn)題二.經(jīng)典例題接受采訪的 100 個(gè)大學(xué)生中， 88 人有手機(jī)， 76 人有電腦，其中有手機(jī)沒(méi)電腦的共15 人，則這100 個(gè)學(xué)生中有電腦但沒(méi)手機(jī)的共有多少人?【答案】 D 。中公解析：畫(huà)出文氏圖。 88 人有手機(jī)， 15 人有手機(jī)沒(méi)電腦，則 88-15=73 人既有手機(jī)又有電腦，已知 76 人有電腦，所以有電腦沒(méi)手機(jī)的有76-73=3 人。某公司招聘員工，按規(guī)定每人最多可報(bào)考兩個(gè)職位。結(jié)果共 42 人報(bào)名，甲、乙、丙三個(gè)職位報(bào)名人數(shù)分別是22 人、 16 人、 25