電子能量損失譜人原理及其應(yīng)用(資源)課件

1、電子能量損失譜原理與應(yīng)用內(nèi) 容1、電子與物質(zhì)交互作用2、電子顯微鏡/電子能量損失譜儀組合3、電子能量損失譜儀的一些重要參數(shù)4、電子能量損失譜的譜圖及譜圖處理5、電子通道效應(yīng)和 momentum- resolved ENEFS6、能量過(guò)濾像和Z-襯度像電子與物質(zhì)交互作用彈性散射與非彈性散射非彈性散射：PhononsInterband transitionPlasmaionization電子衍射圖中包含了彈性和非彈性散射的信息電子能量損失譜和非彈性散射1：零損失峰和phonons損失2：等離子振蕩和帶間躍遷損失3：電離化過(guò)程損失4：本底Al的電子能量損失譜圖和其它譜儀的比較由收集原子中電子躍遷信號(hào)

2、提供電子結(jié)構(gòu)信息XANES： X射線(xiàn)吸收邊精細(xì)結(jié)構(gòu)XPS(ESCA)：X射線(xiàn)光電子譜 KE=h-Eb （binding energy)UPS: 紫外光電子譜，bonding energy. 0.1-1mm空間分辨率XES: X-ray Emission SpectroscopyAES: Auger Electron Spectroscopy, 20nm空間分辨率ELNES: 電離損失峰精 細(xì)結(jié)構(gòu)電子顯微鏡/電子能量損失譜儀組合組合要求具不同能量的電子有不同通道能量色散面上顯示具不同能量的電子的分布動(dòng)能相同的電子聚焦在同一線(xiàn)上 磁棱鏡能量色散面的共軛面 TEM：投影鏡的后焦面 DSTEM：物平面

3、 TEMFEF：在？?jī)煞N類(lèi)型的TEM-EELS結(jié)構(gòu)內(nèi)置型外置（后置）譜儀型內(nèi)置型 JEM2010FEFEnergy dispersion內(nèi)置型 JEM2010FEFX orbit (the plane perpendicular to the magnetic field)Y orbit (the plane parallel to the magnetic field)內(nèi)置型 JEM2010FEFGATAN PEELS 外（后）置系統(tǒng)GATAN PEELS 系統(tǒng)譜儀的能量色散面的共軛面是投影鏡的后焦面 譜儀的物即為投影鏡后焦面上的襯度分布TEM Image mode: Screen: “im

4、age” 投影鏡后焦面 “diff. pattern” diffraction coupling 譜儀的物 “diff. pattern” TEM Diff mode: Screen: “diff. pattern” 投影鏡后焦面 “image” image coupling 譜儀的物 “image”電子能量損失譜儀的一些重要參數(shù)譜儀的一些重要參數(shù)色散度dispersion: dx/dE 色散度 x: 色散面上的空間坐標(biāo) E: 電子能量 色散度隨 入射電子的能量變化而變化 磁棱鏡的磁場(chǎng)變化而變化 對(duì)PEELS, dx/dE 1.5 m/eV 譜儀的一些重要參數(shù)能量分辨率energy resol

5、ution E：能量分辨率定義：E：零損失峰的半高寬 E 與電子源種類(lèi)有關(guān) (EW ELaB6 EFEG) 冷場(chǎng)發(fā)射槍的能量分辨率可達(dá)0.3eV隨損失能量增加，能量分辨率變差譜儀的一些重要參數(shù)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)Point spread function由于系統(tǒng)，特別是YAG，存在的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，使得到的信號(hào) “delocalization”在EELS譜圖中，若原信息只占一個(gè)Channel，但由于點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)效應(yīng)，信號(hào)可占大于一個(gè)或幾個(gè)Channels采用對(duì)測(cè)量的信號(hào)解卷的方法，消除點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)的影響譜儀的一些重要參數(shù)譜儀接收角STEM: = d/2h譜儀的一些重要參數(shù)譜儀接收角TEM image mode

6、= ob/M 100mrad. 無(wú)物鏡光欄TEM diff. mode = deffB/R譜儀的一些重要參數(shù)空間分辨率Spatial resolution取決于采集譜時(shí)，所選擇的電子顯微鏡的模式 TEM mode: 譜儀光欄直徑/放大倍率 1mm/100000 = 10nm 能量損失大時(shí)，受物鏡色差影響，可造成偏離物位置約 100nm 適合于采用大的譜儀接收角，獲得好的能量分辨率，空間分辨率差 TEM diff. : 空間分辨率 樣品上的束斑直徑 一般電鏡：由選區(qū)衍射光欄確定樣品上對(duì)EELS譜有貢獻(xiàn)的區(qū)域 DSTEM: 由聚焦電子束確定樣品上對(duì)EELS譜有貢獻(xiàn)的區(qū)域 有可能獲得接近一個(gè)原子柱的

7、空間分辨率三種模式的光路圖虛線(xiàn)表示沿著角的束散射三種模式采集EELS譜時(shí)的參數(shù)考慮電子能量損失譜的譜圖、譜圖處理及應(yīng)用電子能量損失與動(dòng)量轉(zhuǎn)換入射束具能量E0，波矢K0，散射角損失能量為E，損失能量后，波矢為K樣品的動(dòng)量轉(zhuǎn)換 qq = K0 K 在E很小時(shí)，近似可得 q2 = K02(2+ E2)E 是一表征能量損失的特征角Al的譜圖1：零損失峰和phonons 損失2：等離子振蕩和帶間躍 遷損失3：離子化過(guò)程損失4：本底零損失峰零損失峰不包含樣品信息 入射電子與樣品未發(fā)生交互作用入射電子與樣品發(fā)生彈性交互作用（但不包括大散射角的Bragg衍射）入射電子造成樣品中原子振動(dòng)，聲子 激發(fā)，損失能量小

8、于0.1eV零損失峰的半高寬表征譜儀的能量分 辨率零損失峰可用作于： 譜儀的調(diào)整 定量分析低能損失范圍譜圖低能損失等離子損失峰（plasmons)等離子損失峰：入射電子與導(dǎo)體或半導(dǎo)體樣品中的自由電子氣交互作用，使電子氣振蕩.入射電子損失能量（等離子振蕩能量） EP = hP = h (ne2/0m)1/2 n: 自由電子氣的局域態(tài)密度可利用上式測(cè)定樣品的濃度在電子顯微鏡中需同時(shí)考慮體等離子振蕩（縱向電荷密度波）和表面等離子振蕩（橫向電荷密度波）用Fourier-ratio反卷積的方法校正低能損失范圍的多重散射效應(yīng)。（高能損失部分，在扣除本底后，用Fourier-ratio方法加以校正）可利用

9、t/=ln(Io/It) 測(cè)量樣品的厚度 ：此能量范圍的非彈性散射平均自由程 100nm t：樣品厚度，Io: 零峰強(qiáng)度，It：等離子損失峰強(qiáng)度Al樣品的不同厚度的等離子損失峰低能損失帶間躍遷低能損失帶間躍遷：由原子核庫(kù)侖場(chǎng)弱束縛的自由電子的被激發(fā)，能量損失小于25eV?？衫肒ramers-Kroning分析，分別得到介電常數(shù)中的實(shí)數(shù)r 和虛數(shù)i 部分不同化合物中Al的低能損失譜低能損失納米碳管實(shí)例單壁納米碳管束: (Kuzuo等)Ep=h64re2/3a2(d+2r)2m01/2 2r:單壁納米碳管平均直徑，d:管間距實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)： 2r=1.36nm, d0.34nm計(jì)算 Ep =19eV實(shí)

10、驗(yàn) Ep =20eV多壁納米碳管：（賀榮蕤等）單胞中外殼層電子數(shù)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) d1=5nm， dn=16.4nm，a=0.246nm，l=18計(jì)算 Ep=24eV實(shí)驗(yàn) Ep=24.3eVHe, Jin, Zhu, CPL,298(1998)170高能損失范圍譜圖高能損失范圍的譜圖電離損失峰 (ionization edge)Ec：onset energy核對(duì)內(nèi)殼層電子的束縛能 (binding energy)EEc 時(shí)，才能被電離，Ec 是能被電離的最小的能量值E=Ec 時(shí)，散射截面達(dá)最大值隨損失能量增加，散射截面減小，電離損失峰強(qiáng)度減小高能損失范圍的譜圖電離損失峰的形狀a) K-edge 陡峭

11、齒形b) 第三周期元素 (Na-Cl)、第四周期元素（Zn-Br) L2,3 edges、第五周期元素的 M4,5 edges的緩發(fā)的極大值c) 過(guò)渡族和稀土元素的 White lined) 第四周期元素 (K-Ti) 的 M4,5 edges ( 50eV高能損失范圍譜圖:本底電離損失峰(absorption edge) E=Ec 近閾精細(xì)結(jié)構(gòu)(ELNES) E=Ec to Ec+50eV 廣延精細(xì)結(jié)構(gòu)(EXELFS) EEc+50eV 等離子散射后電離 E=Ec+15.25eV 高能損失范圍的譜圖本底本底(background)來(lái)源于： 多重非彈性散射 前一電離損失峰的尾巴本底以指數(shù)衰減本

12、底的扣除采用擬合一函數(shù)的方法 Iu = AE-Iu :本底強(qiáng)度，E：損失能量， A和為擬合的參數(shù) 值一般在25，隨樣品厚度增加、隨譜儀接收角增加、隨損失能量增加而減小。高能損失范圍的譜圖本底扣除采用擬合兩個(gè)參數(shù)的方法采用原始譜微分的方法譜儀的 jump ratio表征譜儀采譜的質(zhì)量：驗(yàn)收時(shí)樣品：50nm厚碳膜Jump ratio 應(yīng)大于5EELS 和能帶結(jié)構(gòu)EELS 和 XEDS的比較EELS散射的一次過(guò)程散射方向主要為入射束前進(jìn)方向效率高適于分析輕元素提供空態(tài)態(tài)密度、氧化態(tài)、局域的相鄰原子成分和距離、能帶結(jié)構(gòu)信息缺點(diǎn)：峰形復(fù)雜、本底變化 EDS散射的二次過(guò)程散射方向不是入射束前進(jìn)方向效率低適

13、于分析重元素多重散射ELNES 和 一次彈性散射EXELFS具有能量EEc的入射電子將樣品中原子的內(nèi)殼層電子激發(fā)。多余少量的能量（幾個(gè)或十幾個(gè)eV)，發(fā)生與相鄰原子的多重散射ELNES；多余大一些的能量(大于50eV)，只發(fā)生一次彈性散射EXELFS。近閾精細(xì)結(jié)構(gòu)ELNES ELNES 類(lèi)同于 XANES 的解釋。 Fingerprinting 電離損失峰的強(qiáng)度不僅取決于原子的微分散射截面，而且，與電子躍遷過(guò)程的末態(tài)態(tài)密度有關(guān)，由此，可得相關(guān)原子的化學(xué)價(jià)態(tài)信息。 ELNES表示了原子的未被占據(jù)的軌道的空態(tài)態(tài)密度 ELNES能反映Symmetry-projected DOS K edge p-l

14、ike 特征, L edge d-like 特征 電離損失峰化學(xué)位移 (Chemical shift) 兩類(lèi)原子形成離子晶體，正（負(fù)）離子由于失去（得到）電子，使它們的內(nèi)殼層電子處于更深（更外）的軌道能級(jí)上，電離所需能量更大（?。┮恍?。由此產(chǎn)生edge Ec的位移。 過(guò)渡族和稀土元素的White line ELNES和樣品晶體取向和入射電子束方向有關(guān) 近閾精細(xì)結(jié)構(gòu)ELNES同素異構(gòu)碳碳的K電離損失峰284eV 1s 躍遷至 * 空帶292eV 1s 躍遷至 *空帶金剛石 SP3石墨 SP2Carbyne SP(a) Morphology of the carbyne-like species

15、appeared at the edge of expanded graphite; (b) SAED pattern of this area; (c) Enlargement from the area marked by white square in (a).What isCarbynehexagonal-formPolyyne-formPolycumuleneComparison of electronic structure of carbyne with other carbon allotropesAtomic arrangement of Carbyneas compared

16、 with Diamond and Graphite.Quantitative AnalysisI*n* , I*n* (n: orbital number)wherex = 0,diamond ; x = 1 graphite ; x = 2 carbyneAll of the orbital numbers from carbyne like region are larger than 1 and smaller than 1.48.Calculation ofP-orbital Number Xx=0 for Diamondx=1 for Graphitex=2 for Carbyne

17、The typical value we got is x=1.48Comparison of carbyne low-loss EELS spectrum with other carbon allotropes. Note the strong p plasmon peak at 4.85 eV and the p-subband transition peak at 9.35 eV. 近閾精細(xì)結(jié)構(gòu)ELNES化學(xué)位移電離損失峰化學(xué)位移 (Chemical shift) 兩類(lèi)原子形成離子晶體，正（負(fù)）離子由于失去（得到）電子，使它們的內(nèi)殼層電子處于更深（更外）的軌道能級(jí)上，電離所需能量更大（

18、小）一些。由此產(chǎn)生edge Ec的位移。近閾精細(xì)結(jié)構(gòu)ELNES云母輻照損傷過(guò)程中氧的K edge的變化主峰由7eV寬度逐漸變窄輻照過(guò)程，主峰前出現(xiàn)4eV寬的小峰，樣品完全變位非晶態(tài)時(shí)，小峰消失。這可能是因?yàn)樵谳椪者^(guò)程中，氧處于零價(jià)和負(fù)二價(jià)之間，有可能提供兩個(gè)P態(tài)的空位。繼續(xù)輻照，原子間化學(xué)價(jià)態(tài)重新平衡，氧又恢復(fù)了負(fù)二價(jià)，小峰消失。近閾精細(xì)結(jié)構(gòu)ELNES過(guò)渡族元素的電子能量損失譜圖White line3d態(tài)空態(tài)態(tài)密度第四周期3d過(guò)渡族元素的L-edges峰值能量的分裂反映了躍遷過(guò)程中初態(tài)的自旋軌道的分裂L2 峰: 2p1/2 3d, L3 峰: 2p3/2 3d利用 White line 中 L

19、3/L2 峰的峰高比或者總的 L2,3（或M4,5）的強(qiáng)度與連接在L2,3 峰后連續(xù)譜的強(qiáng)度之比，可測(cè)量電荷的遷移。Nanocrystalline-amorphous Fe73.5Cu1M3Si13.5B9 alloys (M = Nb, Mo, W): Excellent soft magnetic propertiesWhy?Annealing temp. dependenceEffect of Cu and Nb addit.Structural featuresChemical composition features: Transition metals: predominant F

20、e73.5Cu1Mo3Si13.5B9 Fe, Cu, Mo: transition metals “White-Line”非晶微晶軟磁材料中過(guò)渡族元素間電荷遷移6807007207407607808008208408600123456Count (x10000)Energy Loss (eV)precipitateamorphousFe-L3Fe-L27047067087107127147167187207227247267287300123456Count (x10000)Energy Loss (eV)precipitateamorphousFe-L3Fe-L2EELS spectra

21、of the iron L2,3 edges taken from -(Fe,Si) precipitate and adjacent amorphous phaseA redisplay of the Fe L2 edge region for illustrating the enhancement of the white linesEELS: The L ionization edges of transition metal and compounds usually display sharp peaks at the near-edge region.3d transition

22、metal: (Fe 3d6, Cu 3d10) The unoccupied 3d states form a narrow energy band, the transition of a 2p state electron to the 3d levels leading to formation of white lines observed experimentally.L3 white line: 2p3/2 3d3/23d5/2, initial state: 4 2p3/2 e-L2 white line: 2p1/2 3d3/2, initial state: 2 2p1/2

23、 e-The total intensity of the transformation I(L3) + I(L2)is related to the number of unoccupied 3d states A number of EELS experiments have shown that a change in valence states of transition metals introduce a significant change in the ratio of the white-lines intensity, leading to the possibility

24、 of identifying the occupation number of 3d orbital (n3d). Empirical method: I3d = 10.8 (1-0.10n3d) Pearson et al. have found a charge transfer of 0.120.05 electrons per atom to the copper 3d states after the amorphouscrystalline transformation by measuring the change of the normalized sum of the wh

25、ite lines intensity.Empirical method for isolating and normalizing L2,3 white lines in spectra for -(Fe,Si) precipitate and amorphous phases. The white lines being isolated by modeling the background with a double step function. 6807007207407607808008208408600123456Count (x10000)Energy Loss (eV)prec

26、ipitateFe-L3Fe-L26807007207407607808008208408600123456Count (x10000)Energy Loss (eV)amorphousFe-L3Fe-L2Fe in amorphous: n3d = 6.750.06 electrons/atomFe in precipitate: n3d = 6.500.06 electrons/atom n3d = 0.250.06 electrons / atomWhere does the Fe 3d electron in amorphous phase transfer to? 024681012

27、1416182001000200030004000Energy (keV)FeFeSiMoFeCuMoCountsamorphous0246810121416182001000200030004000Energy (keV)CountsprecipitateFeSiMoFeFeCuMoEnergy X-ray dispersive spectra of the precipitates and amorphous matrixShowing the various elements presented in the Fe73.5Cu1Mo3Si13.5B9 alloy Possibility

28、I: transfer to Cu in the precipitateA charge transfer of 0.120.06 electron/atom to the Cu 3d states after the amorphouscrystalline transformationElectronegativity: Cu+: 1.90, Cu2+: 2.00Fe2+: 1.83, Fe3+: 1.96 Cu gets easily electrons Possibility II: Precipitates with positive charge Amorphous with ne

29、gative chargeSuggestion: strong charge effects would occur. The local charge balance between the precipitates and the amorphous phase might be expected to severely inhibit precipitate growth.Conclusion The microstructure consists of body-centered cubic (b.c.c) -(Fe,Si) nano-crystallites embedded hom

30、ogeneously in a residual amorphous phase. The enhancements of normalized white line intensities in crystalline phase compared to amorphous phase indicates a depletion of about 0.250.06 electron/atom from the outer d states in amorphous phase during amorphouscrystalline transformation. Local charge b

31、alance might be expected to severely inhibit precipitate growth.Subramania and Muller et al, Materials Science and Engineering A192/193(1995)936-944從Ni的L-edge研究硼對(duì)多晶Ni3Al的影響高能損失范圍廣延精細(xì)結(jié)構(gòu)損失能量范圍：EEc+50eV表現(xiàn)為在電離損失峰之后幾百個(gè)電子伏特范圍內(nèi)存在的微弱的振蕩中心是一被電離的原子入射電子經(jīng)電離損失能量后，多余的能量可使由于電離而被激發(fā)的電子產(chǎn)生幾率波 =12.25/(E Ec)1/2若 E=Ec+10

32、0eV, 則 =0.12nm此幾率波被相鄰原子散射，散射波與幾率波相干，形成振蕩。振蕩波振幅受相鄰原子的種類(lèi)和距離影響。譜 圖 處 理消除多重散射影響本底扣除成分的定量分析散射截面的測(cè)量和計(jì)算ELNES的擬合和計(jì)算EXELFS的擬合和計(jì)算成分的定量分析考慮在EELS譜中，元素的K-edge IT： 入射電子束強(qiáng)度，IK：扣除本底后的電離損失 峰強(qiáng)度，PK：電離幾率假設(shè)滿(mǎn)足單電子散射，不考慮有限接收角 K殼層的非彈性散射截面，K: 非彈性散射 平均自由程，N: 投影的單位面積原子數(shù), t: 樣品厚度設(shè)：指數(shù)函數(shù)部分為1，則所以，兩元素的相對(duì)濃度便可求得 也可由此式求得同一元素的兩個(gè)不同殼層的 電

33、離損失峰的強(qiáng)度比 部分散射截面在EELS中，測(cè)量的強(qiáng)度是在限制的能量窗口范圍的。例如：50eV 則： 在EELS中，出射電子的測(cè)量是限制在一立體角范圍的 則： （，）：部分散射截面兩元素的濃度比比例 類(lèi)似 X 射線(xiàn)能譜(XEDS)中的 K 因子部分散射截面的測(cè)定理論計(jì)算方法：不能計(jì)算出精細(xì)結(jié)構(gòu)和White line部分散射截面的測(cè)定實(shí)驗(yàn)測(cè)定： 采用標(biāo)樣 在實(shí)驗(yàn)中，注意各參數(shù)的正確性電子通道效應(yīng)和momentum- resolved ENEFS取向效應(yīng)電子能量損失譜的取向效應(yīng)EELS K-edgesMg in Olivine (oct.)Al in spinel (oct.)Mg in spin

34、el (tet.)Al in orthoclase (tet.)Si in olivine (tet.)獲得momentum- resolved ENEFS方法確定原子位置的通道增強(qiáng)微分析(ALCHEMI)方法通道增強(qiáng)微分析 人們知道，隨著衍射條件變化，入射波在晶體中不同原子面的強(qiáng)度分布是不同的。1964年J.M.Cowley提出了利用這種效應(yīng)確定原子位置的設(shè)想。1969年Batterman首次進(jìn)行了利用x射線(xiàn)確定晶體中微量雜質(zhì)的原子位置的實(shí)驗(yàn)。這些實(shí)驗(yàn)有效地確定了雜質(zhì)是置換型的還是間隙型的，以及它們占據(jù)了什么樣的位置。但是，該實(shí)驗(yàn)方法要求樣品是大的單晶，所以，它的應(yīng)用僅限于Si等一部分晶體材

35、料。此原理可應(yīng)用于電子射線(xiàn)的情況 該方法的最大優(yōu)點(diǎn)是，可以一邊看著電子衍射花樣一邊很容易地改變衍射條件，利用分析電子顯微鏡的EDS和EELS就可以對(duì)微米和小于微米的晶粒進(jìn)行分析。另外，無(wú)需知道成分分析時(shí)所必須知道的k因子和入射電子束在晶體內(nèi)的密度分布，只要得到特征x射線(xiàn)或能量損失峰的強(qiáng)度就可以定量確定它的位置占有率。電子通道效應(yīng)增強(qiáng)化學(xué)成分分析技術(shù) Bloch Wave由于周期勢(shì)場(chǎng)的微擾，電子運(yùn)動(dòng)薛定諤方程的解不再具有exp(2pikr)的形式。電子衍射動(dòng)力學(xué)理論的計(jì)算表明，對(duì)于雙光束的情況，電子波函數(shù)是 上式中第一個(gè)等號(hào)表示對(duì)不同的倒易矢 g 求和，即對(duì)不同方向的散射波求和。第二個(gè)等號(hào)是對(duì)不

36、同的j求和，這涉及到色散面及布里淵區(qū)的概念。 電子通道效應(yīng)增強(qiáng)化學(xué)成分分析技術(shù) 色散面表示波矢和能量關(guān)系的方程叫做色散面方程，一般把波矢起點(diǎn)組成的面稱(chēng)為色散面。真空中電子運(yùn)動(dòng)的波矢束縛在以(2meE/h)1/2為半徑的球面狀的色散面上。 （ 在二維時(shí)，用園周表示） 選擇0作為倒易點(diǎn)陣的原點(diǎn)，將入射波矢的端點(diǎn)指向0，以波矢k的絕對(duì)長(zhǎng)度為半徑作園，園心在入射波矢k的起點(diǎn)。這稱(chēng)為Ewald球（園）構(gòu)圖。反射球截割倒易矢g端點(diǎn)乃是滿(mǎn)足布拉格衍射條件的充要條件。右圖是當(dāng)晶體中倒易矢g對(duì)應(yīng)的點(diǎn)陣平面嚴(yán)格位于布拉格衍射條件時(shí)的構(gòu)圖。這時(shí)入射波波矢的起點(diǎn)位于g的中垂面上，即布里淵區(qū)邊界。雙光束理論中的色散關(guān)系

37、。運(yùn)動(dòng)學(xué)理論的色散面是在倒易空間中分別以0和G為園心，作所有可能的波矢 k 和 kg 的軌跡。結(jié)果產(chǎn)生兩個(gè)半徑為k的球面。（圖中二維表示為兩個(gè)圓）。這些是運(yùn)動(dòng)學(xué)理論的色散面。從圖的幾何可見(jiàn)，兩個(gè)球的交截圓位于g的布里淵區(qū)邊界。當(dāng)推廣到動(dòng)力學(xué)衍射時(shí)，在兩個(gè)球的交截點(diǎn)，或者說(shuō)在布里淵區(qū)邊界上的波點(diǎn)，不符合運(yùn)動(dòng)學(xué)理論假設(shè)的入射束能量大大于衍射束能量，因此運(yùn)動(dòng)學(xué)理論失效。計(jì)算指出，表示能量與波矢關(guān)系的方程將是k的n次冪的多項(xiàng)式。在n等于2的情況下，波函數(shù)將是2重簡(jiǎn)并。雙束動(dòng)力學(xué)理論的色散面包含2個(gè)分支。左圖畫(huà)出雙束理論中色散面在布里淵區(qū)邊界附近是雙曲面。右圖是放大圖。色散面作圖步驟：插圖表示晶體入射表

38、面的法線(xiàn)方向。藍(lán)垂直線(xiàn)是雙光束對(duì)應(yīng)倒易矢g的中垂面，即布里淵區(qū)邊界。在電子束未進(jìn)入晶體前，波矢波點(diǎn)的軌跡是以0為心，k0為半徑的園（球）（圖中接近水平位置的虛線(xiàn)）。當(dāng)電子進(jìn)入晶體后，受平均勢(shì)場(chǎng)的作用產(chǎn)生折射，波矢變?yōu)閗，比真空波矢稍長(zhǎng)。并且由于動(dòng)力學(xué)作用，在布里淵區(qū)邊界色散面是雙曲面。圖中綠點(diǎn)是真空波矢的波點(diǎn)，按邊界條件波函數(shù)及其一級(jí)微商在真空與晶體兩邊連續(xù)的要求，從綠點(diǎn)出發(fā)，沿晶體入射表面的法線(xiàn)方向作直線(xiàn)（紅線(xiàn)），此線(xiàn)交色散面得出兩點(diǎn)（紫色），即雙光束動(dòng)力學(xué)衍射的兩個(gè)波點(diǎn)。分別從此兩點(diǎn)向倒易原點(diǎn)及 g 倒易矢端點(diǎn)引出四支波矢，便是入射電子束在晶體中激發(fā)起來(lái)的電子波。電子在晶體中是以波場(chǎng)傳播（相對(duì)于透射波與衍射波傳播是不同的）兩支色散面上的兩個(gè)波點(diǎn)產(chǎn)生四個(gè)波矢。這四個(gè)波矢按來(lái)自色散面支用 j 上標(biāo)標(biāo)記。因此下式第二個(gè)等式是把晶體中的總波場(chǎng)理解為各色散面支對(duì)應(yīng)的布洛赫波的疊加。（四支布洛赫波）布洛赫波的電子束沿點(diǎn)陣平面方向傳播布洛赫波的電子束在k+g/2方向，即平行于點(diǎn)陣平面方向；布洛赫波的振輻被正弦或余弦函數(shù)調(diào)制。它