解析函數(shù)詳解

1、第2章解析函數(shù)解析函數(shù)的概念及C-R條件 TOC o 1-5 h z 復(fù)數(shù)作為復(fù)數(shù)域的向量，是一維向量，或復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)域上的一維線性空間2-1 f(z)在4 =%+iy0點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是().(A)在(Xo，y0)點(diǎn) u,v可導(dǎo)，且滿足C-R條件，即色更一身在(,%)成立；:x；:y ；:y；:xf (z)在(x0,y0)點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)(C)在(x0,y0)點(diǎn)u,v可微，且滿足C-R條件(D)在(xo,y)點(diǎn)u,v具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 C-R條件解 由上題的推導(dǎo)過程知，若f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，則u,v在(x0,y0)可微，且；uFvFujv ,=a, -=b.jxFyZjx在(x,

2、 y)點(diǎn)成立.反之，若u,v在(x0,yo)可微，且滿足C-R條件，則Lf(z)LU iLVzzzUx x Uy y i(Vx x Vy y) o(|. z|)zz_ Ux( x i . y) i(Vx x Vxi y) . o(| z|)zz(UxM) z , o(|，z|)z.f(z)lim .z0 ；：z選(C).二0,v(x, y) = xy, f (z) = u + iv ,則函數(shù) f (z)=0().二 uxivxxy2-2u(x, y)=/x上+y0,(A)僅在原點(diǎn)可導(dǎo)(B)處處不可導(dǎo)(C)除原點(diǎn)外處處可導(dǎo)(D)處處可微解 u(x, y在原點(diǎn)雖有 = = 0但不可微；而除原點(diǎn)外u

3、,v可微但不滿足 C-R條 TOC o 1-5 h z ：:x：:y件，因此，f(z)處處不可導(dǎo).選(B).f (z) =z如此簡單一個(gè)函數(shù)卻處處連續(xù)但不可導(dǎo)！ 222-3 若 f(z)=(x -y +ax + by)+i(cxy + 3x + 2y)處處解析，貝U(a,b,c)=().(A) (3,2,2)(B) (-2,-3,2)(C)(23 -(D) (-2,3, 2)解由C-R條件及=2x +a, = -2y +b, = cy +3, = cx +2.故 c = 2,a = 2,b = -3.x二 y二 x二 y2 一 22-3 右 f (z) = xy +ix y 則 f (z)()

4、.(A)令在直線 y = x上可導(dǎo) (B)僅在直線 y = -x上可導(dǎo)(C)僅在(0, 0)點(diǎn)解析 (D)僅在(0, 0)點(diǎn)可導(dǎo) TOC o 1-5 h z 解 Ux = y2,Uy =2xy,Vx =2xy,Vy =x2,要滿足 C-R 條件，要求 22y =x及2xy = 2xy ,只有（0, 0）點(diǎn)能滿足此條件.選（D）要記住在極坐標(biāo)下的 C-R條件.z ri 日e田+Arei中”表示等價(jià)（無窮?。┑囊馑迹ˋzt 0）.這里由于是極坐標(biāo)故Au =u(r +Ar,6+A9)-u(r,6);Av =v(r+用+A8)v(r,H)而Az =(r +Ar)ei(承陽一re出當(dāng) A0 =0,Az

5、= Arei令 Ar =0,Az = re咱(sinAB 1 + isin A)屋色日(日t 0)幺”是等價(jià)無窮小的等價(jià)符號(hào).2-4 導(dǎo)出在極坐標(biāo)下的 C-R條件.解 即 z = reie, u = u(r,H v = v(r,0), f (z) = u(r,6) +iv(r,8), f (z)在(r,8)處可導(dǎo) 的C-R條件，分兩種解法.1.用坐標(biāo)變換法.:u ju x ；:u -y ；:u Fu yFu x1 t * 1 1 + t 1111 +,.x二r r .二 r cy ；r r .【r,的變化與之一樣，故由 C-R條件改 ；:y/日.:u x y ；:u N y x ：:v行-2

6、=.-2 -二r r r 二 r r r ：二及Ju y . _x_2u = _Ax . _y_2v；:r rr2 f r r r2 ：fI : v：:ur x (2) -y (1府 ；T 汴y (2) - x (1)iu _ 立.:r這便是在極坐標(biāo)下 C-R條件.2.直接用定義f ( z 二 z - f( z = u( r 口 r ) -up r, )3v=u i v而 z =(r - r)ei(m -Tei71國飛固一1) .二 re；：。當(dāng) t 0,0 時(shí)，Az 日80+ Areif3 mu/存在，令u(r rr,i) -u(r,1)i lim(駕)v(r ：r,)-u(r,u)1 ,F

7、u . ：:v- =-( i reiur-.r-.二 r二 r令A(yù)r =0, t 0亦有f二.?。?，劃u(r, ) -u(r尸)v(r, )-v(r,u)(U =0)rei?11 v i 1 ：u )ei71 r 71 r ；-比較上面等式得；:r氐向r1 ：:u與解1所得結(jié)果一致.2-5研究下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性2(1) f (z) =x iy f(z) =2x3+3iy3f (z) = ex cosy iexsin yf (z) =sin xchy+i cosxshy TOC o 1-5 h z 解 (i)蟲=2x,=0；2=0,2=1.僅當(dāng)x = 1時(shí)C-R條件成立，故此函數(shù)在直 x

8、ty :x ：x2八、1線x =-上處處可導(dǎo).而在復(fù)平面上處處不解析.2(2)四=6x2，蟲=0;空=0,史=9y2 ,因此，f(z)僅在兩相交直線2x2=3y2上 jx2 yjxjx處處可導(dǎo)，在全平面處處不解析.，一、；:u x ：:u x . Ax. Ax = ecosy,一 = _esin y; -=e siny, - = ecosy.C-R條件處處成立，；x；:y；:x；:y且u,v偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，因而處處可微，即f(z)處處解析./八：u 一 ：uvv_ _=cosxchy,=sinxshy;=-sinxshy,= cosxchy.jx2y;xFyu,v的偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，且 C-R條

9、件成立，故f(z)處處解析.2-6 若u+iv是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么， v + iu在D內(nèi)是否也是解析函數(shù)？解 只有當(dāng)f(z)=u+iv在D內(nèi)為常數(shù)時(shí)，v+iu才在D內(nèi)解析，否則v + iu不解析.由C-R條件,：:v_ fvfv:x ：:xfy：:uFv：:u一 , 一:xFy：:y:v , :v fv,故一=.:y ；:x ：:y.:vvFu Fv一,右v+iu也解析，則有一=一,一.x：:xFy Fy=0,v三P為常數(shù)，從而u 7也是常數(shù).u：:x結(jié)論，若u +iv是D內(nèi)不為常數(shù)值的解析函數(shù)，則 v +iu在D內(nèi)不解析.0n22-2.x2-7 如果 f(z)=u+iv 是解析函數(shù)，證

10、明(丁 | f (z)|)2 +(| f(z)|)2 =| f (z)|2 .證 | f (z) |= u2 v2 ,故Fuu vvuuy Wy-|f(z)|= x- ；,一 |f(z)|=Fy y：x. u2 v2 0y、u2 v2由 C-R 條件得 f |f(z)|=vux(u2 +v2)ux2+(u K )Vx 27；u2 v222故 (一| f(x)|)2 (一 | f(z)|)2=u： v =| f (z) 2 .2二)| f(z)|2 = 4|f (z)|2 y2-8 如果f (z) =u +iv是解析函數(shù)，證明：2(-:x2 . 22證 | f (z) uv故一 | f (z)

11、|2=2(uux vvx),x_2-222、| f (z)| =2(Ux +Vx +uuxx +vvxx)(1)一 x：2同樣 J| f (Z) |2 = 2(uj +V2 +UUyy +Wyy) jx由 C-R 條件，知 f (z) =ux +ivy =vy -iuy.2 2 2 2 2 | f (Z)| =Ux Vy =Uy Vy及Uxx Uyy . Vxx - Vyy =0將(1)、(2)兩式相加得-2.222()| f(z)|2 = 4|f (z)|2.二 x二 y2-9如果f (z)與f (z)均在D內(nèi)解析，證明f(z)是常數(shù).設(shè) f (z) =u +iv ,則f (z) =u -i

12、v.由 C-R 條件.:u：:v:x y.:v u,:y；:yCV二 V；:x；xV：:vu；:u付=0,從而 =:x；:y:x.:y= 0,u=a是實(shí)常數(shù)，v = P是實(shí)常數(shù)，f(z)=a+iP是常2-10 設(shè)f (z)在z點(diǎn)可導(dǎo)(z#0),證明f，(z) = r 型+_1)其中 z = r/ z 二 rcr.,一,，. .1證在極坐標(biāo)下f(z)=F(后面的式子是順便寫出來的)故.：U . .：V.1 ,1 .：V.1 .：U 3不二力；?？：擠(、r ；:u . Z(z) =一( i )z 二 r 二 r也可寫作 TOC o 1-5 h z 1 Fv：:u(z) = (- - i -).z

13、 f?F2.2初等函數(shù)及其解析性復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)具有周期性.2-11 若 ez1 =ez2 ,則().(A) Zi=Z2(B) z1 =z2+2kn (k為任意整數(shù))(C) 4 =z2+iM(D)乙=z2-2ikn解 由于ez的周期為23 ,故有z1 -z2 =2md (取m = k, k為任意整數(shù))得 4 = z2 -2k d.要注意Lnz與ln z的聯(lián)系與區(qū)別.2-12 關(guān)于復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)，下面公式正確的是().(A) Ln(4z2) = Ln4+Lnz2(B)g(4.)=1nzi +ln.22(C)Lnz =2Lnz(D) In z =2ln z解由定義Ln(z1z2)= Ln | z1

14、z2 | iArg(4z2)=Ln | z1 | iArg 乙 Ln | z2 | iArg zl Lnz1 Lnz2.(B)不正確在于 Ln(ziz2)= Ln | zjz2 |+iArg( ziz2)而當(dāng) arg4 +argz2 r或 argzi +argz2 冗時(shí)，argQz?) # arg4 +argz2,故(B)不成立.2-13 Ln(-1)和它的主值分別是().-1，、一Ln(1)=(k+.或(k 為整數(shù))主值 ln(1) = 0Ln( 1)=(2k 1)死主值 ln( 1)=4Ln( 1)=(2k 1)死主值 ln( 1)=4Ln(-1) = ln1 +iA rg(-1),主值

15、ln(-1) = d解 L n 1 ln+1i A-rg(=m)+仇2Wm=k1(m為整數(shù)，k也是整數(shù))得Ln( 1)=i(2k1)區(qū) ln(1)=疝選(B). TOC o 1-5 h z 注意復(fù)變量的三角函數(shù)與實(shí)變量三角函數(shù)的聯(lián)系與差別2-14 設(shè)k為整數(shù)，則方程sinz = 0的根是().(A) z = kd (B) z =2ku (C) z=k?t (D) z = 2k?t iz_i.z解 即 e 2.，=0 ,即 e2iz=1.設(shè) z = x + iy,e2iz =ey(cos2x + isin 2x) = 1 ,故y =0, cos x = 1x =4選(C)2-15 證明對(duì)數(shù)函數(shù)的

16、下列性質(zhì).(1) Ln(z1z2) = Lnz1 +Lnz2(2) Ln一 = Lnzj-Lnz2z2并說明以上性質(zhì)對(duì)于函數(shù)ln z未必成立.證 (1) Ln(z1z2) =Ln |z1z2 | +iArg(z1z2)=Ln | z1 | iArg z1 Ln | z21 iArg z2=Lnz1 Lnz2(2)可用(1)的結(jié)果：z1、 , z1.Lnz1 = Ln( 一 z2) = Ln Lnz2. z2z2故 Ln 二=Lnz1 -Lnz2.z2以上等式成立的意思是說Arg( z1Z2)與Arg4 +Argz2是相同的集合.而對(duì)于主值：ln(4z2) =ln |zz21 iarg(z1z2

17、),ln z1 = ln | 4 | iarg z1ln z2 = ln | 4 | iarg z2.不一定總有 argz argz2 = arg(4Z2).如乙=一1 一i, z2 = -i,則 44 = 一1 + i TOC o 1-5 h z ，333arg(zi)=“arg z?= ,arg( zz)2=-n 424一 5,、a r gz1 + a=冗 a r g (z1 z2 ). 4故1nzi+lnz2一般不一定與1nziz2相等，但當(dāng)a argz1 +argz2 n時(shí)，公式成立,如 1 n -1 n (上i +或(=冗不成立.1nz2 #21n z這是復(fù)函數(shù)與實(shí)函數(shù)不同之處，值得

18、注意。1n Jz = lln z都是成立的.22-16說明下列等式是否正確.21(1) Lnz =2Lnz ；(2) Lnjz = Lnz2解 (1)不正確，因?yàn)長nz2 =2ln | z| iArgz2而 2Lnz=21n | z| 2iArg z.由于 2Argz = 2arg z + 4k1n,(k1 是整數(shù))而 Argz2 =2arg z+2k2 (k2 是整數(shù))兩個(gè)集合不相同.(2)正確arg Jz 一般有兩個(gè)值，一個(gè)是 -arg z ,另一個(gè)是-arg z +冗 TOC o 1-5 h z 22- 一11故 Ln、. z 1n | z| i( argz k二)22.1 .1 . .

19、 i. .一而Lnz = lnz +卜(azr-g ) 22221=In | z| +i( argz + m e.2而J2i=1或1 i.冗Ln(1 +i) = 1n2+i( +2m1 月43Ln( -1-i) = In 2 +i(2 m2 u-)4= 11n2+i(2m21)冗+ 124式對(duì)應(yīng)于式k =2m,為偶數(shù)時(shí)的值；式對(duì)應(yīng)于式k = 2m2 -1即奇數(shù)的值，故它們是相等的.反過來，便可以看出(1)不成立的原因.若Ln(1 i)2 =ln2 2iArg(1 i) TOC o 1-5 h z = 1n2+i( ； + 4k：t)一.2冗而Ln(1 +i) =1n 2i=1n2 +i( 2+

20、2k2 死)式比式中的虛部少了 “一半”原因是尚有Ln(1 i)2 =Ln(-1 -i)2而 2Ln(1+i)與2Ln( 1 i)是不一樣的.2-17 求下列各式的值：(1) exp(1 +i /)/4(2)3i (3)(1+i)i (4) ln(1+i)i一、A Jin(1) exp(1+i /4 =e4(cos+isin )(2)力 iln33 =e(3)(1 i)i =ei1 1= T2e4(1).二6血3*=ek(cosln3+isinln3),( k 是整數(shù))iLn(1 A)i：ln2 i(，2k1)，再二)卜n(1 i) = e 24= e 4 (cosln2 isin ln , 2)1(4)2-18ln（1+i）i=（- +2k：i）+i In J2（k 是整數(shù)）.4討論函數(shù)ln z和Lnz的解析性及其導(dǎo)數(shù).解 co =ln z = ln