電動(dòng)力學(xué)教程時(shí)變電磁場(chǎng)

1、第四章 時(shí)變(sh bin)電磁場(chǎng)共三十一頁(yè) 4.1 波動(dòng)(bdng)方程 在時(shí)變得情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)(cchng)相互激勵(lì)，在空間形成電磁波，其能量以波的形式向前傳播，電磁波的傳播規(guī)律服從波動(dòng)方程。由麥?zhǔn)戏匠炭梢酝茖?dǎo)出電磁場(chǎng)(cchng)的波動(dòng)方程。下面建立無(wú)源空間 的波動(dòng)方程。取限定形式的麥?zhǔn)戏匠?(1)式兩邊取旋度共三十一頁(yè)代入(2)式再利用矢量恒等式和 (3)式 可得到同樣地，(2)式兩邊取旋度后可得無(wú)源空間電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程 波動(dòng)方程的解是空間中沿某一特定方向的電磁波。所有電磁波的傳播問(wèn)題(wnt)就歸結(jié)為在給定邊界條件和初值條件下求波動(dòng)方程的解。共三十一頁(yè)在有源空間 ，電磁場(chǎng)的波動(dòng)方

2、程表示為：證明：和無(wú)源空間的波動(dòng)方程的證明類(lèi)似，差別在于算子對(duì)源變量(binling)、J作用時(shí)不為0，要保留。 (作業(yè))共三十一頁(yè) 4.2 時(shí)變(sh bin)場(chǎng)中的位函數(shù)1. 動(dòng)態(tài)(dngti)矢量位和標(biāo)量矢量位代入麥?zhǔn)戏匠?，有 也隨時(shí)間變化稱(chēng)為動(dòng)態(tài)標(biāo)量位。故可令對(duì)于磁感應(yīng)強(qiáng)度： 隨時(shí)間變化為動(dòng)態(tài)矢量位(5)(6)共三十一頁(yè)2. 達(dá)朗貝方程(fngchng)到A和滿(mǎn)足(mnz)的微分方程引入洛倫茨規(guī)范將(5)和(6)式分別代入麥克斯韋方程組得得到-達(dá)朗貝方程共三十一頁(yè)4.3 Poynting矢量(shling)和Poynting定理1. Poynting矢量(shling)的定義電磁場(chǎng)中

3、電能密度和磁能密度時(shí)變場(chǎng)中的能量密度由于場(chǎng)隨時(shí)間變化，故空間各點(diǎn)的電磁能量密度也隨時(shí)間變化，從而引起能量的流動(dòng)。為了描述能量的流動(dòng)情況，引入一個(gè)新的矢量-能流密度矢量，即Poynting矢量(符號(hào)S)。共三十一頁(yè)其大小(dxio)定義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間流過(guò)與能量(nngling)流動(dòng)方向垂直的單位面積的能量(nngling)。故又稱(chēng)為功率密度矢量。其方向規(guī)定為： 能量的流動(dòng)方向 (=波的傳播方向)。2. Poynting定理-電磁能量守恒定律 利用麥?zhǔn)戏匠探M可以導(dǎo)出Poynting矢量和Poynting定理的表達(dá)式。共三十一頁(yè)上兩式相減若介質(zhì)是線性、均勻且各向同性的，則介質(zhì)參數(shù)(、)均為常數(shù)(chn

4、gsh)，那么上式右邊各項(xiàng)：因此上式改寫(xiě)為：利用矢量恒等式共三十一頁(yè)上式寫(xiě)為：兩端體積分，并利用散度定理式中右邊第一項(xiàng)就是焦耳定理的積分式，代表體積的介質(zhì)中所消耗的功率，即單位時(shí)間體積中消耗的電磁能量；第二項(xiàng)中的積分是體積中的電磁能量，因此該項(xiàng)代表單位時(shí)間體積中增加的電磁能量。故等式右邊實(shí)際上代表單位時(shí)間內(nèi)，經(jīng)邊界流入體積的總的電磁能量，即流入功率共三十一頁(yè) 另一方面，根據(jù)Poynting矢量的定義(dngy)，單位時(shí)間流過(guò)任意曲面A的能量(i.e.功率)為A流入閉合曲面A的功率對(duì)比(a)、(b)兩式，可得Poynting矢量S的表達(dá)式說(shuō)明：該式給出的是Poynting矢量S的瞬時(shí)值表達(dá)式。共

5、三十一頁(yè) S、E、H三者彼此正交且構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。 將Poynting矢量的表達(dá)式代入(*)式，得到(為避免混淆，將面積S改寫(xiě)成A)稱(chēng)為Poynting定理，也就是電磁能量的守恒定律。定理的物理意義：流入體積V內(nèi)的電磁(dinc)功率等于體積V內(nèi)電磁能量的增加率與體積V內(nèi)損耗的電磁功率之和。共三十一頁(yè)例題： 已知無(wú)源的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度求：(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度；(2)瞬時(shí)坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量。解: (1)共三十一頁(yè)(2)(3)共三十一頁(yè) 物理量的某種“流”顯然是個(gè)和時(shí)間有關(guān)的概念。比如能量的流動(dòng)(“能流”)、動(dòng)量的流動(dòng)(“動(dòng)量流”)、電荷的流動(dòng)(“電荷流”，即電流(din

6、li)、粒子的流動(dòng)(“粒子流”)。流的概念反映了物理量的時(shí)空上的動(dòng)態(tài)變化。物理量的“流”及“流密度(md)” 流 物理場(chǎng)T中物理量T的流定義為單位時(shí)間內(nèi)垂直流過(guò)面積dA上的T的值，或者單位時(shí)間內(nèi)面元dA上物理量T的變化量， i.e. dT/dt。 流密度 為單位時(shí)間內(nèi)垂直流過(guò)單位面積的T的值，或者單位時(shí)間內(nèi)單位面積上物理量T的變化量， i.e. dT/dt/dA。共三十一頁(yè) 電荷分布場(chǎng)(標(biāo)量(bioling)場(chǎng))中的電荷流（即電流）及電荷流密度（即電流密度） （q是電荷(dinh)量） 粒子流和粒子流密度動(dòng)量場(chǎng)中的動(dòng)量流和動(dòng)量流密度 （p是動(dòng)量）（N是粒子數(shù)）共三十一頁(yè) 4.4 時(shí)諧電磁場(chǎng)1.

7、 時(shí)諧場(chǎng)的復(fù)數(shù)(fsh)表示時(shí)諧場(chǎng)： 電磁場(chǎng)變量隨時(shí)間正弦(zhngxin)或余弦式地變化。 時(shí)變電磁場(chǎng)的任一坐標(biāo)分量隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)。 以電場(chǎng)強(qiáng)度為例， 在直角坐標(biāo)系中，實(shí)振幅初相共三十一頁(yè)利用復(fù)數(shù)(fsh)來(lái)描述時(shí)諧電磁場(chǎng)場(chǎng)量，可使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化：復(fù)振幅共三十一頁(yè)場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)(fsh)表示其中稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量。它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。這樣我們就把時(shí)間t和空間x、y、z的四維(x, y, z, t)矢量函數(shù)簡(jiǎn)化成了空間(x, y, z)的三維函數(shù)，即 時(shí)間(shjin)因子共三十一頁(yè)若要得出瞬時(shí)值，只要將其復(fù)振幅矢量乘以ejt并取實(shí)部，便得到(

8、d do)其相應(yīng)的瞬時(shí)值： 時(shí)諧場(chǎng)復(fù)數(shù)場(chǎng)矢量的時(shí)間(shjin)導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)共三十一頁(yè)其它場(chǎng)變量的復(fù)數(shù)(fsh)形式可 依照寫(xiě)出：例題： 已知場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值 請(qǐng)寫(xiě)出其復(fù)數(shù)形式。解：共三十一頁(yè)2. 麥克斯韋(mi k s wi)方程的復(fù)數(shù)形式是分別對(duì)其實(shí)部和虛部進(jìn)行(jnxng)的，并不改變其實(shí)部和虛部的性質(zhì)，故在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，對(duì)復(fù)數(shù)的微分和積分運(yùn)算其中L是實(shí)線性算子，如 等，因此麥?zhǔn)戏匠坦踩豁?yè)故當(dāng)t任意時(shí)， 類(lèi)似地 復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠坦踩豁?yè)說(shuō)明： 復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠讨?，所有?chǎng)、源變量均為復(fù)數(shù)。所有場(chǎng)變量都僅僅是空間的函數(shù)(hnsh)(反映場(chǎng)的空間分布)，方程的解剩以時(shí)間因子ej

9、t后再取實(shí)部就是真實(shí)的時(shí)諧場(chǎng)的解。復(fù)數(shù)(fsh)形式的麥?zhǔn)戏匠? 與含時(shí)的麥?zhǔn)戏匠瘫容^，其復(fù)數(shù)形式實(shí)現(xiàn)了時(shí)空分離，因此使方程的求解更簡(jiǎn)單。對(duì)時(shí)諧平面波 -jk共三十一頁(yè)3. 亥姆霍茲方程(fngchng)在無(wú)源空間(kngjin)中，電磁波滿(mǎn)足波動(dòng)方程在時(shí)諧場(chǎng)的情況下，（I）式中（II）亥姆霍茲方程共三十一頁(yè)空間的函數(shù)，該方程就是復(fù)場(chǎng)矢量滿(mǎn)足的波動(dòng)方程，稱(chēng)為(chn wi)亥姆霍茲方程。與方程(I)比較，亥姆霍茲方程實(shí)現(xiàn)了時(shí)空分離，求解更容易。因此時(shí)諧場(chǎng)的傳播問(wèn)題就歸結(jié)為亥姆霍茲方程的求解。亥姆霍茲方程的解乘以時(shí)間因子ejt后再取實(shí)部就是真實(shí)的時(shí)諧場(chǎng)的解，即方程(fngchng)(II)中的場(chǎng)

10、矢量是復(fù)場(chǎng)矢量，僅僅是亥姆霍茲方程的每一個(gè)解代表電磁波在空間的一種可能的分布形式；每一種分布形式稱(chēng)為一種電磁波模式或波型。共三十一頁(yè)4. 平均(pngjn)能流密度矢量電磁場(chǎng)能流密度矢量S的瞬時(shí)值的表達(dá)式這里對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)(實(shí)際上應(yīng)取實(shí)部)在實(shí)際(shj)應(yīng)用時(shí)，能流密度的時(shí)間平均值，即平均能流密度矢量（或平均Poynting矢量），更有意義。共三十一頁(yè)對(duì)時(shí)諧電磁場(chǎng)，當(dāng)場(chǎng)矢量用復(fù)數(shù)(fsh)表示時(shí)： 從而坡印廷矢量瞬時(shí)值可寫(xiě)為 共三十一頁(yè)它在一個(gè)(y )周期T=2/內(nèi)的平均值為 注意式中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度是復(fù)振幅(zhnf)值而不是有效值；E*、 H*是E、H的共扼復(fù)數(shù)。重做4.3節(jié)的例題(鏈接) 共三十一頁(yè) 類(lèi)似地可得到(d do)電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度和導(dǎo)電損耗功率密度的平均值表示式： 共三十一頁(yè)內(nèi)容摘要第四章 時(shí)變電磁場(chǎng)。波動(dòng)方程的解是空間中沿某一特定方向的電磁波。所有電磁波的傳播問(wèn)題就歸結(jié)為在給定邊界條件和初值條件下求波動(dòng)方程的解。利用麥?zhǔn)戏匠探M可以導(dǎo)出Poynting矢量和Poynting定理的表達(dá)式。該式給出的是Poynting矢量S的瞬時(shí)值表達(dá)式。物理量的某種“流”顯然是個(gè)和時(shí)間有關(guān)的概念。流