高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案第二版數(shù)學(xué)系ch23課件

1、本節(jié)要點(diǎn)一、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 牛牛文庫(kù)文檔分享第1頁(yè)，共19頁(yè)。一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、連續(xù), 則其反函內(nèi)單調(diào), 連續(xù): 若設(shè) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo), 且 今來(lái)討論 的可導(dǎo)性. 給 以增量 由 的數(shù) 在對(duì)應(yīng)的區(qū)間單調(diào)性, 知 牛牛文庫(kù)文檔分享第2頁(yè)，共19頁(yè)。變形得到又由函數(shù)的連續(xù)性, 當(dāng) 時(shí)必有 從而有 牛牛文庫(kù)文檔分享第3頁(yè)，共19頁(yè)。由此說明了函數(shù) 在 處可導(dǎo), 且有簡(jiǎn)單地說, 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 牛牛文庫(kù)文檔分享第4頁(yè)，共19頁(yè)。例2.15 求反正弦函數(shù)解 是 的反函數(shù).注意到在區(qū)間 內(nèi)， 從而有所以. 在區(qū)間 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo), 且有而

2、 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 并且 的導(dǎo)數(shù). 牛牛文庫(kù)文檔分享第5頁(yè)，共19頁(yè)。 牛牛文庫(kù)文檔分享第6頁(yè)，共19頁(yè)。例2.16 求反正切函數(shù)解 函數(shù) 是 在 區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且所以 在 內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo), 且有:有的導(dǎo)數(shù). 牛牛文庫(kù)文檔分享第7頁(yè)，共19頁(yè)。注意到： 從而有同理可得其它幾個(gè)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 牛牛文庫(kù)文檔分享第8頁(yè)，共19頁(yè)。例2.17 求對(duì)數(shù)函數(shù)解 是 的反注意到, 特別地, 當(dāng) 時(shí), 有函數(shù), 且直接函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且的導(dǎo)數(shù).從而有 牛牛文庫(kù)文檔分享第9頁(yè)，共19頁(yè)。三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在眾多的函數(shù)中, 我們遇見的更多的是復(fù)合函數(shù). 例如函數(shù)

3、, 這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的函數(shù), 但我們要求它的導(dǎo)數(shù)就沒那么簡(jiǎn)單. 事實(shí)上, 由導(dǎo)數(shù)的乘積公式, 得 牛牛文庫(kù)文檔分享第10頁(yè)，共19頁(yè)。 對(duì)一個(gè)如此簡(jiǎn)單的函數(shù), 求其導(dǎo)數(shù)都那么困難, 這就提示我們有必要討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 利用相應(yīng)的法則來(lái)簡(jiǎn)化某些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算. 牛牛文庫(kù)文檔分享第11頁(yè)，共19頁(yè)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 如果函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo),證 設(shè)自變量 在 處有增量 , 則函數(shù)而函數(shù) 在 處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù) 在 處可導(dǎo), 并且有關(guān)系有增量 相應(yīng)地, 函數(shù)有增量 （2.4） 牛牛文庫(kù)文檔分享第12頁(yè)，共19頁(yè)。當(dāng) 時(shí), 有由函數(shù) 的可導(dǎo)性, 得函數(shù)在 是連續(xù)的, 因又此當(dāng) 時(shí), 有 由此得（2.5） 牛牛文庫(kù)文檔分享第13頁(yè)，共19頁(yè)。由此得到:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式常常表示為（2.6）公式（2.6）稱為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 牛牛文庫(kù)文檔分享第14頁(yè)，共19頁(yè)。此公式可以作進(jìn)一步的推廣: 若均為可導(dǎo)函數(shù), 則相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 牛牛文庫(kù)文檔分享第15頁(yè)，共19頁(yè)。例2.18 求函數(shù)解而成, 故此由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式, 得的導(dǎo)數(shù).可以看成由復(fù)合 牛牛文庫(kù)文檔分享第16頁(yè)，共19頁(yè)。例2.19 求函數(shù)解 因的導(dǎo)數(shù).可視為 復(fù)合而成, 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（2.6）得: 牛牛文庫(kù)文檔分享第17