高中數(shù)學(xué)新教材變式題10導(dǎo)數(shù)變式題

1、十、導(dǎo)數(shù)變式題(命題人：廣大附中 王映)一導(dǎo)數(shù)的概念與運算1。如果質(zhì)點A按規(guī)律s=2t3運動，則在t=3 s時的瞬時速度為()A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s解析：.$ =6t2,，s晨=54.答案：C變式：定義在D上的函數(shù)f (x),如果滿足：Vx D ,三常數(shù)M 0 ,都有| f (x)|M成立, 則稱f (x)是D上的有界函數(shù)，其中 M稱為函數(shù)的上界.1又(1)若已知質(zhì)點的運動萬程為 S(t)=+at,要使在tw0 ,十8)上的每一時刻的瞬t 1時速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.理(2)若已知質(zhì)點的運動方程為 S(t) = J2t +1

2、at,要使在tw 0 , +比)上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍.解：.-1(1) s (t) =2+a(t 1)，一.-1，由 |S(t)|w1,得 |r + a|w1(t 1)Jt+1)2一1(t 1)2a _1, a - -112(t1)1(t1)2人1,令g(t) =t+1，顯然g(t)在0,f)上單調(diào)遞減,(t 1)2則當(dāng) t一+8時，g(t) 1. a 0 0w aw 1 ；故所求a的取值范圍為0w aw 1.1.1(2) S(t) = .-a.由|S(t)|w1,得 | ,-a|w1. 2t 1, 2t - 1.2t 1 a1一 T12t 1

3、12t 1人1,1令 g(t)=,，則 g (t)=-.2t 1(2t 1)3+的)時，有 g (t) 0 ,當(dāng) t一+8時,g(t) = ,0,2t 1111,g(t) u (0, 1,從而有 .-11.0 a 1;.2t 1, 2t 1故所求a的取值范圍為0w a 1.2.已知x）=1，則鳴2+墨一2）的值是（A. - 1B. 2 C. 1D.44解：)-2由導(dǎo)數(shù)定義 f (x0) = limj(x0：x)-f(x0)得 lxm0f (2：x) - f (2)x=f(2)=12 x x=21、，=一選 A4變式1:設(shè)f _h2選B.變式2：設(shè)f （x詐x可導(dǎo)，則媽,一）0-3）等于A.2f

4、 xB . f (x。)3f x.4f x.解:嗯f XoLX - f Xo -3tXf Xo LX - f (Xo) f(Xo) - f Xo -3. xLXf Xo：X -f(Xo)Xf Xo ： X )-f(Xo)3叫33.xf Xo-3.：X)-f(Xo)3.x=f(Xo) 3f (Xo) =4f(Xo)二選D 3 人教版選修1 1第84頁例2,選修22第8頁例2:根據(jù)所給的函數(shù)圖像比較曲線h在to,t1,t2附近得變化情況。變式:函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是(A.o 二 f/(2)二 f 73)二 f(3) - f(2)B.o 1(3)二 f(3) -f(2):：

5、-(2)C.o :二 f/(3)二 1(2)二 f (3) - f(2)D.o 二 f(3) - f (2) f (2) ； f (3)解：設(shè)X=2,X=3時曲線上的點為 A、B,點A處的切線為 AT 點B處的切線為BQ,yOf(3) - f(2) f(3)-f(2) =3.2f (3) =kBQ, f 二!,如圖所示，切線 BQ的傾斜角小于 直線AB的傾斜角小于切線AT的傾斜角3所以選B4 人教版選修1 1第93頁習(xí)題A組第4題，選修22第18頁習(xí)題A組第4題, 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(文科)y =x3 log2 x; y = xnex; y =sinx 。(理科)y = (x+1)99; y=

6、2e*y =2xsin(2x+5)變式：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)xv 0時，f 0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x) 0的解集是()A. (-3,0)U(3,+ oo)B. (-3,0)U (0, 3)C.(巴3)U(3,+ 8)D. (8, 3) U (0, 3)解：由已知得當(dāng)x :二川,(f (x)Lg(x) . 0即當(dāng)x 0,. xq =1/.切點為(1,e), k =e,由點斜式，得：y _e = e(x_1)，即：y = ex. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 變

7、式2：函數(shù)y= ax2+ 1的圖象與直線y= x相切，則a=()A. 1 B. 1 C. - D. 1842解：設(shè)切點為 名/),；y|x點= 2aM,，k =2ax0 =1，又:點(x0,y0)在曲線與直線上， HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 即3 y。二或十11y0 = xo1由、得a=z ,選b說明：1.在“某點處的切線”與“過某點的切線”意義不同，注意審題，后者一定要先“設(shè)切點的坐標(biāo)” 2.求切線方程的步驟是：(1)明確切點；(2)確定該點處的切線的斜率(即該點處的 導(dǎo)數(shù)值)；(3)若切點不明確，則應(yīng)考慮先設(shè)切點 .6.人教版選修1

8、1第99頁例2選彳2 2第25頁例2判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間： 一3一2(1)f(x)=x 3x;(2) f(x)=x -2x -3;f (x) =sin x -x, x (0,二)；f (x) =2x3 3x2 -24x 1.變式1：函數(shù)f(x) =x e/的一個單調(diào)遞增區(qū)間是A. 1-1,01 B. 2,81 C. 1,21 D. 0,21解：f(x) = x e,=2(x)e/x ex /ie 0,A x0.v e 0,，x1.(理科要求：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo))1變式2：(1)已知函數(shù)y =-x3+x2+ax-5(1)若函數(shù)的單倜遞減區(qū)間是(-3, 1),則a的值 3是. (2)若函

9、數(shù)在1,+s)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是.解：(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3 , 1) u (-3,1)=卜f(x)0, (2)若函數(shù)在1,收)上是單調(diào)增函數(shù)=1,f 以f (x) 一0： 解：(1) y = x2+2x+a,因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3, 1) u (3,1) = k f(x) 1=a：a = 3 (草圖略)(2)若函數(shù)在1,收)上是單調(diào)增函數(shù)如圖示，分類討論：當(dāng)AW0,即44aw0,即a1產(chǎn)a 0： 0當(dāng)卜10綜上，a之4產(chǎn)條件成立，a蘭一3為所求.變式3：設(shè)t#0-忒p (t, 0)是函數(shù)f(x) =x3+ax與g(x) =bx2+c的圖象的一個公共點,兩函數(shù)

10、的圖象在點 P處有相同的切線.(I)用 t表示 a, b, c；(n )若函數(shù)y = f (x) - g (x)在(1, 3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍.解：(I)因為函數(shù)f(x), g(x)的圖象都過點(t, 0),所以f(t) = 0, .32即 t +at=0.因為 t#0,所以2 = t . 2g(t) =0,即 bt +c =0,所以c = ab.又因為f(x), g(x)在點(t, 0)處有相同的切線，所以 f(t) = g(t).而 f (x) =3x2 +a, g(x) =2bx,所以3t2 +a = 2bt.將a = H2代入上式得b=t.因此c=ab =佇故a = t2 ,

11、 b = t, c = t3.(II)解法一 y = f (x) -g(x) =x3 t2xtx2 +t3,y = 3x2 2txt2 =(3x + t)(x t).當(dāng) y = (3x +t)(xt) 0 時，函數(shù) y = f (x) g (x)單調(diào)遞減.由 y0,則t xt；若 t 0,則t x t . 33由題意，函數(shù) y= f (x) - g(x)在(一1, 3)上單調(diào)遞減，則(-1,3產(chǎn)(-=t)或(-1,3)匚(t,一；).33所以t -3或-工-3.即1三-9或t -3.3所以t的取值范圍為(,923,收).解法二：y = f (x) - g(x) = x3 t2x -tx2 t3

12、, y = 3x2 - 2tx -12 = (3x t)(x -t)因為函數(shù) y = f (x) -g(x)在(一1, 3)上單調(diào)遞減，且 y=(3x + t)(x t)是(一1, 3)V|x”0, jD.上的拋物線,73+t)(-1-t) 0._解得tM9或t之3.(9+t)(3t) 0.所以t的取值范圍為(-二，-9 一 3,二).7.人教版選修1 1第103頁例4 ,選修2 2第29頁例43 一 一求函數(shù)f(x)=x 4x + 4的極值.3人教版選修1 1第106頁例5 ,選修2 2第32頁例5求函數(shù)f (x) =1x3 -4x + 4在10,3上的最大值與最小值.變式1：函數(shù)f(x)的

13、定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點()1個2個3個4個解：注意審題，題目給出的是導(dǎo)函數(shù)的圖像。先由導(dǎo)函數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后列表可判斷函數(shù)極小值點的個數(shù)。選A變式2：已知函數(shù)f(x) = ax3 + bx2 + cx在點Xo處取得極大值5 ,其導(dǎo)函數(shù) y = f (x)的圖象經(jīng)過點(1,0), (2,0),如圖所示.求：x0的值；(n) a,b,c 的值.解：(I)由圖得 TOC o 1-5 h z X (0,1) 1 (1,2) 2(2,二)f(x)0-0f(X)，極、極/大小值值則 x0 =1；f(1)

14、=5a+b+c = 5(n)依題意得 f f (1)= 0 即 ,3a+2b+c=0f (2) =0 J2 a + 4b + c = 0a = 2, b = -9, c = 12 .變式3:4右函數(shù)f (x) = ax bx+4 ,當(dāng)x = 2時，函數(shù) “*)有極值一一，3(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)=k有3個解，求實數(shù)k的取值范圍.解：f x = 3ax 3 函數(shù)f(x)= - x 4x + 4 的圖 -b(1)由題意：4 f(2)-3f(2) =01a 二一解彳# a 3b =41 3所求解析式為f x = x -4x 4 3由(1)可得：f x = x2 -4 = x -2

15、 x 24當(dāng)x = 2時，f (x )有極小值一 一3y=k令 f(x)=0,得 * = 2或* = 2當(dāng)x變化時，f (x )、f (x)的變化情況如下表:x(-毛,-2 )- 2(-2,2)2(2尸)f僅)+0一0+f (x )單調(diào)遞增/283單調(diào)遞減43單調(diào)遞增/因此，當(dāng)x=-2時，f(x)有極大值283由圖可知:k ：283312O ,、變式4：已知函數(shù)f(x)=x -一x 2x + c,對xw一1,2，不等式f (x) c恒成立, 2求c的取值范圍。解：f (x) =3x2-x-2= (3x + 2) (x-1),函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表：X/2、323/2(一 一，1)31

16、(1,十f(x)十0一0十f (x)極大值極小值f (x) =x3 x22x + c, xw一1, 2，當(dāng) x = - 2 時，f (x) = + c 為極大值,2327而f(2) =2 + c,則f(2) =2+ c為最大值。要使 f (x) f (2) =2+c解得c 2三、導(dǎo)數(shù)的在研究函數(shù)中的應(yīng)用及生活中的優(yōu)化問題8.人教版選修1 1第108頁B組習(xí)題，選修2 2第34頁B組習(xí)題利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：lnx :二x :二ex,x 01.變式 1：證明：1 一 Wln(x+1)wx, x -1 x 1證明：(1)構(gòu)造函數(shù) f (x) = ln(x+1 )x,1-x一 .一 一 f (x)

17、=1=(x-1),當(dāng) x = 0, f (0)=0,得下表x 1 x 1-1 x 0f以)+0一f(x)單調(diào)遞增極大值f(0)=0單調(diào)遞減二 x a1,總有 f(x) -1),當(dāng) x = 0, f (0)=0,x 1 x 1當(dāng)1x0, f(x)單調(diào)遞增，,1x0, f(x)0, f(x)0, f (x) _1 時，f (x) 0, 1 ln(x +1 J- x 0,ln(x +1 ) x. TOC o 1-5 h z 1，11x(2)構(gòu)造函數(shù) g(x) = ln(x +1) +-1, = g (x) =-2 =r ，x 1x 1 x 1 i ix 1當(dāng) x=0, g(0)=0,當(dāng)1x0, g(

18、x)0, g(x)A0,g(x)單調(diào)遞增；, x = 0, g(x)極小值= baNmin =g(0)=0,11-、二 x a1,總有 g(x)之 g(0) =0,. ln(x +1) +1 之0,即：1 一 ln(1 + x).x 1x 11綜上(1) (2)不等式1 ln(x+1 )0,得 x1,由 g (x)01 x x 1得1x1.所以g(x)在0, 1上遞減，在1, 2上遞增，為使f(x)=x2+x+a在0, 2上恰好有兩個相異的實根，只須g(x)=0在0,1)和(1,2上各有一個實根，于是有g(shù)(0) -0,4g(1) 0,解得22m2 a 0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：由 f (

19、x) =3x2 +3 30,得 xw 10 產(chǎn))f (x) A0, f (x)單調(diào)遞增；又 xW (笛,收)x wf (x) =(x 3 +3(x )= -x3 -3x = -f (x),所以 f (x)是奇函數(shù). f (mx2 )+f (1 mx)0. f (mx2 )f (1 mx)= f (mx 1), f (x)在(一,依)上單調(diào)遞增，二mx2 mx1恒成立，即：mx2 mx + 1 )0恒成立，分類：當(dāng)m=0時,10恒成立，m=0適合；一. 一 2m0-當(dāng)m#0, mx mx+10恒成立u2解得：0Mm 4;、 = m - 4m 0 0 e i,恒成立，求實數(shù) m 3 0 ,得 x三

20、(-0o,+=c , f (x) 0, f (x)單調(diào)遞增；又 x W s” , _xW( o,) f (-x) =(-x 3 +3(x )= -x3 -3x = -f (x),所以 f (x)是奇函數(shù).1 f (msin ef (1 m )= f (m -1), TOC o 1-5 h z (it(it: msin 9 m -1 0 9 i恒成立，即. m(1 -sin 6) 1 0 9 i恒成立.2 J2；1當(dāng)日=一,01 成立；m w R；當(dāng) 0 wH 一，, m(1sine )1u m 。221 - sinm :二/11 c .八八/1/ , 0 sin6 1,. 0 1 -sin6

21、1,. m1v1-sine Jmin1sine210.如圖，曲線段OMB是函數(shù)f(x) = x (0 WxW6)的圖象，BA_Lx軸于點A,曲線段OMB上一點M(t,t2)處的切線PQ交x軸于點P交線段AB于點Q若t已知，求切線PQ的方程 (2)求AQAP的面積的最大值解：(1) f (x)=2x,所以過點M的切線的斜率為k = f (t)=2t由點斜式得切線 PQ方程為y -t2 =2t(x t),2即y =2txt TOC o 1-5 h z 1Tli(2) S為AP =g|AP Laq| =&(6 -xp)JyQ對令x=6得yQ =12tt2令y=0得xP =工2代入得 S QAP J(

22、6 -)L(12t -t2) -1t3 -6t2 36tQ 2243 2S &ap = t -12t +36 ,令 S4ap =0 解得 t =4或t =12(舍去) 4T(0,4)S+S增4(4,6)0-極大值64減所以當(dāng)t=4時SSAP有極大值64, 所以當(dāng)t=4時，AQAP的面積的最大值為 64.11.用長為90cm寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一 個小正方形，然后把四邊翻折 90角，冉焊接而成，問該容器的高為多少時，容器的 容積最大？最大的容積是多少？解:設(shè)容器的高為x,容器的體積為V.則 V =(90 -2x)(48 -2x)x,(0 x 24)=4x3 -276x2 +4320 x. V =12x2 -552x 4320 x由 V =0得 x1 =10,x2 =36(舍去)一， 一， 0 x 0;10 x24 時，V0所以 當(dāng)x=10,V有最大值 Vg =19600又 V(0) =0 ,V(24) = 0所以當(dāng)x = 10 時，V(10)=19600答：該容器的高為10cm時，容器有最大容積1960